基于凸集模型的结构地震多维易损性分析

贾大卫， 吴子燕， 何 乡

(西北工业大学 力学与土木建筑学院，西安 710129)

1 引 言

地震易损性定义为在不同强度的地震激励下，结构超过给定性能极限状态的概率。易损性分析是评价工程结构抗震性能的主要方法之一，也是应用最广泛的方法。结构在地震激励下的动力响应具有较强的不确定性，因此在传统地震易损性研究中，基于概率理论的随机模型得到了广泛应用[1,2]。如Wang等[1]将桥梁结构的响应参数视为服从对数正态分布的随机变量，通过极大似然估计法得到对数均值和标准差，建立了在不同强度地震下结构的概率地震需求模型，通过蒙特卡洛模拟法计算结构的破坏概率。Mosallam等[2]基于概率易损性理论，建立了钢框架结构的易损性函数。

在传统的地震易损性研究中，首先需要假定地震响应参数服从对数正态分布。但文献[3]表明，这种假设只是一种近似假设，多数参数并不符合这一假定。且概率理论通常需要较多的样本点，而在地震易损性研究中，非线性时程分析数据通常较为有限，因此该方法仍具有一定局限性。

为克服传统模型的不足，本文将凸集模型应用于结构的地震易损性分析。考虑多种地震响应参数，在不假设参数服从对数正态分布的基础上，将地震响应视为凸集变量，建立一种基于凸集模型的结构地震多维易损性分析方法，并将该方法与传统概率模型进行对比，论述本文方法的优劣势。

2 凸集模型

凸集模型强调的是不确定参数未知但有界这一属性，在应用中仅需确定变量的边界值，而不需要考虑变量的分布类型[4,5]。可表示为

X= [XL,XR]

(1)

Xw= (XR-XL)/2

(2)

X0= (XL+XR)/2

(3)

式中XR和XL分别为凸集变量取值的上下界，Xw为变量中值，X0为取值半径。

在凸集模型中，常用的模型包括区间模型和椭球模型。

2.1 区间模型

二维区间模型的数学表达式为

(4)

式中| ·|为绝对值符号。根据式(2),区间模型Xc可由标准空间内的单位正方形εc通过矩阵变换得到，

(5)

2.2 椭球模型

二维椭球模型的几何描述和相应的数学表达式如图(2)和式(6)所示[7]。

(6)

式中ΩX为不确定变量的协方差矩阵的逆矩阵，r1和r2分别为椭球的长短半轴长，θ为姿态角，通过ΩX体现。Jiang等[7]指出，高维的椭球模型Xe同样可由标准空间内的单位圆εe通过矩阵变化得到。该转换过程可表示为

(7)

3 基于平均信息熵理论的不确定变量区间估计

在凸集模型中，获得不确定变量的取值区间是开展不确定性分析的必要前提。本文采用平均信息熵理论对不确定变量的区间进行估计。

2.1 平均信息熵的基本定义

Shannon将物理学中熵的概念推广到平均信息熵用来衡量变量的不确定性。平均信息熵的概念可以在离散和连续两种情况下给出定义，本文采用离散信息熵用于衡量参数的取值区间，定义可表示为

(8)

图2 椭球模型

式中p(i)为事件i发生的概率，因此有

(9)

2.2 区间估计的基本思想

对一组实际测得的数据，若在真实值附近区间的测量值越多，则表明数据离散度越低。若有初始数据集为X= {x(1),x(2),…,x(n)}，将集合中所有元素按从小到大的顺序排列，可得到一个新的数据集X(1)= {x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。令

p(1)= [x(1)(n)-x(1)(1)]/n

(10)

从X(1)剔除x(1)(1)或x(1)(n)，使得新的数据集中最大值和最小值之差变小，进而可得到新的数据集X(2)= {x(2)(1),x(2)(2),…x(2)(n-1)}。令

p(2)= [x(2)(n-1)-x(2)(1)]/(n-1)

(11)

重复上述过程，得到序列p(1),p(2),…，p(n -1)。当序列开始单调递减时，说明剔除的数据已经导致了数据序列变稀疏，剩余的数据点已经足够密集，可将包含这些数据的区间作为真实值的区间估计。

2.3 基于平均信息熵的区间估计

基于区间估计的基本思想，将初始数据进行排序后，定义rk为

(12)

式中F(x)为x的累积概率分布函数,因此有0

(13)

联立式(8，13)，平均信息熵可表示为

(14)

熵值越大表明变量的离散程度越大，相应的拓展不确定变量定义为

Ue=eH(x)/2

(15)

则有限样本条件下基于信息熵理论的变量区间估计值可表示为[8]

(16)

4 基于凸集模型的多维易损性分析

多维易损性是综合考虑多种地震响应参数达到给定性能极限状态的概率，可表示为

PF=P(L>0 |IM)

(17)

式中PF为结构的失效概率，IM为给定的地震动强度，本文采用地面峰值加速度PGA描述[6]；L为多维性能极限状态方程。孙鸿宾等[9]给出了L的表达式

(18)

式中R为地震响应参数EDP，rlim为性能极限状态EDP的阈值，n为选取的工程需求参数的个数，a为统计参数。当只考虑两种地震响应参数时，可取其中一种EDP的a为1[1]。

由式(17，18)可知，多维易损性分析的实质，是在给定的地震强度下计算L>0的概率。本文将R视为凸集变量，刘骁骁等[10]将重要抽样法与凸集模型结合，指出在凸集变量的可靠性分析中，可采用拉丁超立方抽样法抽取均匀覆盖在标准空间中的样本点，并将这些样本点映射到原始空间，建立基于重要抽样法的凸集模型可靠性分析法。据此本文提出基于凸集模型的多维易损性分析流程。

(1) 通过增量动力分析法IDA，获得结构在不同PGA下的响应。根据平均信息熵理论，分别在每个PGA水平下获得R的区间估计。

(2) 通过拉丁超立方抽样生成n个均匀覆盖在凸集变量标准空间内的样本点，取n=104，并将这些样本根据凸集变量类型利用式(5)或式(7)映射到原始凸集空间，得到多组凸集变量的样本点，建立R的凸集模型。

(3) 将步骤(2)得到的凸集变量样本点代入性能极限状态方程中，统计使L>0的样本点个数N，则破坏概率可表示为PF=N/n。

5 算例分析

5.1 结构模型建立与性能极限状态划分

以SAP2000结构分析软件为平台，建立钢筋混凝土框架结构，模型如图3所示。

在整个模型中，混凝土楼板利用SAP2000的Shell单元模拟，梁和柱采用Beam单元模拟。结构的弹塑性行为主要表现在梁和柱上。在梁两端设置M3铰，在柱两端设置P-M2-M3铰，并考虑其拉伸强化效应P-Δ。

在基于性能的地震工程研究中，通常将结构的性能极限状态划分为多个等级。本文将多维性能极限状态分为正常使用NO、可以使用IO、生命安全LF和防止倒塌CP四个等级，选择最大层间位移角IDR和最大层加速度PFA衡量多维性能极限状态。孙鸿宾等[9]给出了RC框架结构两种EDP的取值，列入表1。

图3 框架结构模型(单位：mm)

表1 性能极限状态阈值

5.2 结构响应参数的凸集模型建立

拟定该框架所处的场地土类别为II，设计基本地震动加速度为0.2 g；阻尼比取0.05，特征周期为0.35 s，震中距取20 km，利用条件均值反应谱作为目标反应谱[11]，从Pacific Earthquake Engineering Research Center数据库中拟合了30条地震波，反应谱如图4所示。

利用IDA法，将所选30条地震波的PGA分别调幅至0.05 g～1.0 g，间隔取0.05 g，并分别加载到结构上进行弹塑性时程分析，每条地震波的加载方均为水平双向，幅值比例为1 ∶ 1，根据第4节的步骤(1，2)建立R的椭球模型和区间模型。选择离散情况下的平均信息熵作为结构响应区间估计的依据。以PGA=0.4 g为例，底层R的二维凸集模型如图5所示。

图4 地震波反应谱

图5 地震响应凸集模型

5.3 易损性分析

选择两种EDP衡量性能极限状态，基于式(18)建立性能极限状态方程，可表示为

L= (PFA/pfalim)+(IDR/idrlim)a-1

(19)

式中pfalim和idrlim分别为IDR和PFA的阈值。将表1的数值代入式(19)即可得到四种性能极限状态下的极限状态方程。取未知参数a=2，将 5.2节得到的凸集变量样本点分别代入极限状态方程中，计算破坏概率，将各个PGA下的结果进行拟合即可得到凸集模型下的易损性曲线。为对比凸集模型与概率模型的差异，采用概率模型进行对比计算。假定IDR和PFA服从二维对数正态分布[11]，利用最大似然估计法得到对数均值和标准差，建立二维概率地震需求模型。以PGA=0.4 g为例，顶层的概率地震需求模型如图6所示。

图6 概率地震需求模型

当采用概率模型时，利用蒙特卡洛模拟法对式(19)进行失效概率的求解即可得到破坏概率。以底层和第二层为例，易损性曲线如图7所示。

可以看出，凸集模型与概率模型的易损性曲线差异较大。在易损性曲线中存在一个拐点，当PGA小于该拐点处的PGA时，凸集模型的破坏概率大于概率模型，而当PGA大于该拐点处的PGA值时，概率模型的破坏概率高于凸集模型。如底层的NO性能极限状态，区间模型拐点处的PGA约为0.18 g，椭球模型的PGA约为0.17 g。徐强等[12]指出，在较大震级下结构响应通常超过规范的阈值，但并未达到相应的性能极限状态，在较小震级下的地震响应往往没有达到阈值，但已发生相应程度的破坏。本文的计算结果印证了这个观点。

图7表明，在NO和IO两种性能极限状态下，区间模型得到的易损性曲线略高于椭球模型，而在LF和CP两种性能极限状态下，区间模型的易损性曲线略低于椭球模型，但两种凸集模型的曲线差异并不显著，在各个PGA下，四种性能极限状态下破坏概率的差值均在0.05～0.1之间，因此凸集模型的类型对易损性的影响较小。

5.4 参数灵敏度分析

在本文的易损性分析中，取参数a=2。孙鸿宾等[9]指出，该参数反应了EDP性能极限状态之间的相关性。a越大，则相关性越弱。因此本节讨论a值对易损性曲线的影响。分别再取经验值a=1,5,10,15，在椭球模型和区间模型下分析易损性。以底层为例，易损性曲线如图8和图9所示。

从图9可以看出，随着a的增大，结构破坏概率变小。因此若不考虑性能极限状态之间的相关性，会明显高估结构的抗震能力。

图7 易损性曲线

图8 底层区间灵敏度

图9 底层椭球灵敏度

6 总 结

本文建立了基于凸集模型的结构地震易损性分析方法，将地震响应视为凸集变量，通过平均信息熵理论得到区间估计值，分别建立了椭球模型和区间模型，得到了易损性曲线。结论如下。

(1) 与概率模型相比，当PGA较小时，凸集模型的破坏概率较大，而PGA较大时，凸集模型的破坏概率较小。该结论更符合已有研究成果。

(2) 椭球模型和凸集模型的易损性分析结果具有一定差异，但差距并不明显，因此可以不考虑凸集类型不同对易损性的分析结果的差异。

(3) 在多维性能极限状态方程中，不同EDP性能极限状态之间的相关性不能忽略。