排序不等式

万维钢

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如果你在中学时代参加过奥数，你可能听说过“排序不等式”。这是一个非常简单的不等式，能告诉你“效率”和“公平”的本质关系。

比如，你开了一家商场，平时客流量少，周末客流量多。我们把平时和周末的流量设为x1和x2，而x1

答案当然是周末。你关心的是总销量，而不是特定某一天的销量。

因此， 就总销量而论，x1·y1+x2·y2>x1·y2+x2·y1，也就是“大数乘大数加上小数乘小数”，大于“大数乘小数加小数乘大数”。这就叫排序不等式。

再说得简单点，就是让最大的和最大的结合、最小的和最小的结合，总的效果总是好于让大的和小的结合。

排序不等式是底层的“不平等关系”。而正是因为这个逻辑，“效率”和“公平”本质上是矛盾的。

比如，你是某个决策者，手里有个大项目，放在哪个地区都能提升当地的经济发展。那请问，你是把它放在经济发达地区呢，还是边远落后地区呢？

大数最能让大数发挥作用。

世界上的很多配合不是加法，而是乘法关系。所以最好的资源应该用在最赚钱的地方，最厉害的人员应该放在最关键的岗位。

这就是为什么好东西总爱扎堆，有志向的年轻人非得去大城市。这也是为什么会有马太效应，为什么人人都想跟最好的人合作。这也是为什么市场总是让财富分布不平等。

排序不等式，是资源配置的“零阶道理”。

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有几种情况，会让排序不等式不起作用。

教育系统有重点大学、重点中学，同一所学校里还会有重点班，重点班的老师是全校最好的。

这完全符合排序不等式，教育系统希望培养高水平人才。但你注意到没有，在任何一个班级里，老师重点关注的，往往不是最好的学生。这是为什么呢？

因为学习成绩有上限。你分数再高，也不能比满分还高。第一名有时考97 分有时考100 分，在满分附近随机波动，对全班总成绩几乎没有影响。而如果老师能把60 分的同学提高到75 分，那可是显著的提高。

很多系统对组成部分的要求是有上限的。你造一架大桥，不会重点打造其中一个桥墩，汽车上的零件也不是越“好”越好，最理想的情况是所有难以更换的零件的磨损寿命是一样的。

还有一种系统，比如福利系统，则要求各个相加项的大小有一个下限。在贫困山区建设通讯基站效率不高，但是贫困山区需要通讯基站。福利系统解决的是公平问题。这种系统有时候会把最好的官员派到最贫困的地区，并不指望他们创造什么效益，只是希望提高那些地区的下限。

安全系统也强调下限。只要是防守，我们最关心的一定是最薄弱的地方，要把最好的资源和人手放在那个地方。

个人只能做一个乘法因子，管理者要的却是相乘再相加。如果你是一个系统的运行者，你必须清楚判断这是一个不设限系统，还是一个有上限或者下限的系统。

而作为个体，如果你认为自己是个大数因子，那最好不要待在有上限的系统中。

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这个道理很容易明白，但是我感觉人们对它贯彻得还不够。我们过多地受到了“公平”这个直觉的影响，总想把什么东西都弄均匀一点。

假设一个车间有两条生产线，每条生产线需要两个人先后动作，共同完成一件产品。现在你有四个工人，老张和老李的良品率都是95%，小张和小李的良品率都是75%。请问，你应该把这四个人怎么分组呢？

直觉的分法，是让老张和小张一组，老李和小李一组，这样两个组的良品率是一样的，都是0.95×0.75 ≈ 71%。你觉得这样分组能让高手带一带低手，起到骨干作用。

但是， 排序不等式要求你让老张和老李一组， 小张和小李一组。你的高手组良品率将是0.95×0.95 ≈ 90%，低手良品率将是0.75×0.75 ≈ 56%，而你的总良品率是两组的平均值，也就是73%——高于高低搭配分组的71%。

排序不等式要求你让高手跟高手搭配，虽然这会降低其他组的效率，但你的总效率是最高的。而且高手跟高手在一起互相激发，也许还能进一步提高效率。

再回过头去想想，老师之所以不重视好学生，并不仅仅是因为好学生成绩有上限——也因为好学生自己就能好好学。如果每个学生的成绩都跟老师在他身上花的功夫是乘法关系，老师还是得最重视好学生。

只要是涉及这种需要密切配合，是乘法关系的局面，就应该抽调最强的人马组建起一支特种部队。

搞平均符合直觉，但是违反数学。我们個人的生活和学习不也是这样的吗？直觉上你可能认为应该把每一件事都做好，每个学科都学好，其实不是。数学要求这是一个长板的世界：你应该把最好的精力、最多的时间用在最能体现你价值的项目上。

（摘自“得到”app，魏克图）