渗透模型思想 发展结构性思维

四川省成都市武侯实验中学附属小学/

所谓高阶思维，是指发生在较高认知水平层次上的心智活动和认知能力。高阶思维具有发散性、结构性、主动性、批判性等特质。思维的“结构性”是高阶思维的一个重要方面，主要是指有序、系统的立体化思维方式，具有系统性、迁移性、本质性、创造性等特点。结构性思维，能使方法简洁、分析深邃、决策高效，提高问题解决能力。数学教学中渗透模型思想，以“建模”“用模”“变模”“超模”为具体路径，可以发展学生思维系统性、迁移性、本质性、创造性，培养学生结构性思维，进而发展学生高阶思维能力。

一、构建数学模型，发展系统性思维

创设问题情境，引发认知冲突，激发认知兴趣。从情境中筛选、提炼、整合信息，提出问题，系统梳理问题结构，构建问题体系，实现情境问题“数学化”，即构建数学模型。数学模型，是指链接已有知识，建立数学要素间关系，从“无形到有形”，抽象出简洁的数学结构，形成知识结构体系，如概念、公式、定理、算法等模型。建立数学模型，以数学语言把实际问题概括化表达，整体呈现知识结构和数学关系，培养学生系统性思维。数学概念的学习，基本上需要在已有认知的基础上，重构认知体系，以数学语言表达数学模型，如用“ab是表达a，b互为倒数”“形如的数就是分数”等，系统认知概念。

又如“暑假到了，瑞瑞一家三口自驾从成都到西昌旅游，距离约是450千米。他们早上9：30从家出发，上午11：30到达名山服务区，汽车行驶了150千米。休息半小时后按原速继续行驶，中午吃饭花了一小时。下午6：00能到达西昌吗？ ”自驾游已成为现在家庭旅游的方式之一，学生在生活情境中会经常遇到此类问题，解决生活中的实际问题更能激发学生学习的内驱力，调动学习的积极性、主动性。学生根据问题及信息梳理问题结构：求结束时间，必须先求经过时间；求经过时间需要路程与速度；但由于题中没有明确告知汽车行驶的速度，因此需要借助“早上9：30从家出发，上午11：30到达名山服务区，汽车行驶了150千米”这样的信息先求出经过时间，再用“路程÷时间=速度”的模型，算出汽车行驶的速度。接着算出剩下路程所用时间，再算出总共所花的经过时间，最后算出结束时间，与下午6：00进行比较。学生在解决此问题过程中，构建了新的认知体系，抓速度不变，构建“路程÷时间=速度”关系模型，系统化思考“余下路程所用时间”的新问题。

西蒙的“问题分解法”是常见的结构化方法。“分解”是一种大智慧，帮助学生将复杂问题简单化，将简单问题有序化、系统化。在问题情境中，学生需要将数学信息与生活信息、信息与问题之间进行关联性分析，再用已有的生活经验、相关知识和数学模型，尝试将大问题分解成一个个小问题，逐一有序解决。系统思考，能帮助学生形成解决问题的结构框架、问题解决的模型和高阶思维能力。

二、深化模型内涵，发展迁移性思维

结构化思维，不仅体现了数学模型的系统构建，而且还表现在模型的灵活运用上，运用已有的模型解决新问题，深化对模型内涵的理解，发展迁移性思维：纵向延伸，串式思考，深入分析问题的本质，如“倒数”在分数除法算法中的应用，探究倒数概念的作用，体会倒数的本质意义；横向联系，网状思考，建立不同问题间的联系，立体挖掘模型意义，如分数与整数、小数、百分数、比等之间的必然联系。从纵、横不同角度，由点到面，将知识结构内化为思维结构，提高模型的应用能力。

“以一定的逻辑顺序整合、内化知识结构，是结构化思维的真谛所在。”例如北师大版数学一年级下册的“小兔请客”问题，学生观察情境图收集数学信息：“左边摆了2盘果子，右边摆了3盘果子，每盘有10个果子。”提出数学问题：“一共有多少个果子呢？”这是学生第一次接触超过20的加法计算。用小棒代替果子，借助学具进行操作，让学生摆一摆，说一说有多少根小棒。学生借助小棒，将“一盘10个”与“一捆10根”对应，进行“10个10个地数”，体现了数数模型的运用与迁移：“1捆有1个十，左边的2捆就有2个十，右边的3捆就有3个十，合起来就有5个十，也就是50。”数数模型进一步发展到加法计算模型：“因为2+3=5，所以2个十+3个十=5个十，也就是50。”借助数的意义“2个十加3个十等于5个十”，运用“十以内加法”模型，拓展到“十以上加法”模型，纵向联系，进一步体现了加法计算法则的内涵“相同的计数单位相加”。由整数加减法，到小数、分数加减法，横向勾连，都是应用“相同的计数单位相加减”模型进行计算。学生掌握了计算模型，有助于培养学生用旧知识解决新问题的思维迁移能力。

学习整十数的加法计算，就是学生学习加法运算的意义，及经历整数、小数、分数加减法计算算理建模的过程。由一个知识点“2个十加3个十”延伸至一类知识“小数、分数的加减计算”，凸显出数学知识结构化，便于学生抽象出数学模型——相同的计数单位才能相加减，这便是将一个问题的解决拓展为一类问题的解决，让学生对数学本质有了全面、深刻理解，培养了学生高阶思维能力。

三、拓展模型外延，发展本质性思维

遵循知识间的逻辑关系，把握知识点在知识结构链中的具体位置，以“刨根问底”的态度，以问题串形式，由表及里，追寻知识的本质，进而发展本质性思维。立体多向思考，突破模型化的思维定势，破解“套模”，变换模型不同式样，建立模型间关系；从不同角度拓展模型外延，进一步理解数学模型的本质。

在建立牢固的知识结构的同时，建立良好的思维结构。如“鸡兔同笼”问题，学生学会列表法后，再探讨多种方法，拓展问题解决模型，进一步提出问题，以“问”促进思考，优化思维结构。如“还有哪些方法？ 你觉得哪种方法更简单？ 这些方法分别适用于哪些情况？ ”学生尝试其他方法如极端假设法、任意假设法、除减法、盈亏法、比例分配法、布列方程法等，在多种方法的对比中，以一带多，明白此类问题的内涵。改变模型条件，扩大模型外延，运用联想思维，由表及里，认识模型本质，引导学生发现“鸡兔同笼”问题的多种表现形式，明确问题的本质都是“猜想”“转化”等数学思想的体现，抓住了本质，方可举一反三。如运货运费中赔偿问题、晴天雨天摘果子问题等，都可以用“同笼”方法解决。由“鸡兔同笼”问题基本模型——已知鸡兔头之和与足之和，求鸡兔各有多少只，到变换条件——已知鸡兔头之和与足之差，或已知鸡兔头之差与足之和，或已知鸡兔头倍数与足之差，或已知鸡兔头倍数与足之和，或已知鸡兔头之和与足倍数等，求鸡兔各有多少只。如此拓展“鸡兔同笼”问题，进一步巩固、转化模型的数学思想，灵活运用列表法或方程法解决问题，在建立知识结构的同时，优化思维结构，发展解决问题的高阶思维能力。

再如北师大版数学五年级上册“图形中的规律”，有学生通过摆三角形发现：每多摆一个三角形，就增加2根小棒，当摆n个三角形时，小棒的根数为3+（n-1）×2根，并解释了算式中的“3”表示摆第一个三角形用去3根小棒，（n-1）×2表示除第一个三角形以外剩下的三角形都用2根小棒就可以摆好。也有学生发现：先摆一根小棒，以后每摆一个三角形都只要2根小棒，当摆n个三角形时，小棒的根数为（2n+1）根。这两种思维方法似乎不一致，但通过讨论交流发现：3+（n-1）×2化简后就等于（2n+1）。虽然思考的角度不同，但思维结构一致：运用三角形个数与小棒根数之间的关系解决问题，找到了解决同一问题所运用的不同思维方法之间的本质联系，提高了学生的学习兴趣，培养了学生的应用意识和能力。

四、深化模型思想，发展创造性思维

在构建模型、运用模型、变换模型的基础上，从不同的角度思考问题，多追问“还可以从哪些不同角度有哪些不同的思考？”“有没有不同类的方法？”然后到超越旧模型，运用数学思想，从有形到无形，实现“无模之模”，能够突显结构性思维的更高价值——创造性。如“异分母分数加法”，教材的计算法则是通分化为同分母后分母不变分子相加，掌握此法则后，可鼓励学生用不同的方法进行计算，再用这种方法检验是否正确。有的学生根据“单位相同相加”，创造了“交叉乘”的方法：，少了直接通分环节，容易掌握。

再如：“一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加80立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加150立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加320立方厘米。那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？”学生发现以“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2” 计算模型无法解决此问题，需要运用原始模型——表面积概念“长方体各面积之和”，部分学生借助画图，突破原有的认知结构，借助转化的数学思想，超越与突破了基本计算模型，找到新的计算方法。根据题目信息间的关系，重新建立“体积÷长=左（右）面面积”“体积÷宽=前（后）面面积”“体积÷高=上（下）面面积”“（左面积+前面积+上面积）×2=表面积” 的计算结构。虽建立了长方体表面积公式的数学模型，但由于此问题比较抽象，且学生的空间观念不强，因此仅靠读题无法找到数学信息与问题之间的联系。画图中运用转化思想把抽象的数学问题用具体、形象、直观的图形表示出来，引领学生找到解决问题的关键，让学生感受到了“柳暗花明又一村”的喜悦。运用转化思想提高了学生解决问题的能力、灵活运用数学模型举一反三的能力，培养了他们的创造性思维，促进高阶思维能力发展。

数学课堂教学渗透模型思想，培养学生从混乱中找到顺序、从零散中找到关系、从发散中找到核心，从现象中抽象出本质、在变化中形成创造性思维的能力，促进学生结构性思维能力的提升，从而发展学生高阶思维能力。方法是路径，思想是灵魂。没有思想的方法仅是呆板工具；蕴含思想的方法，才具有强大生命力。