创设发现活动，培养数学思想——从“确定位置”一课说起

江苏无锡市新吴区旺庄实验小学 钱 慧 顾万春

“确定位置”一课是四年级下册第八单元的内容，是学生在学习了用前后、左右、上下等表示具体位置和简单路线知识的基础上，进一步认识物体在空间的具体位置。四年级学生之前有了对“列、排”的初步认知，但对“数对”这个概念没有足够的认知,是极为抽象而又陌生的。如何让学生既对其生成过程有所经历，又对其实质能顺理成章地轻松接受呢？用心思考之后，笔者把本节课的设计理念定位为：既尊重教材，又超越教材；既自主发现，又适当讲授；既夯实基础，又适当拓展。让学生在自主发现的学习过程中，逐步培养数学思想方法。

一、从一维到二维，体会对应思想

对应思想是指用“联系的视角”来看待自然界或社会上的各种变量之间的关系，也就是人们对两种事物的合集建立某种联系的一种思想方法。数学中的对应思想就是通过数量之间的对应关系来理解与思考数学中的问题。在这节课的教学中，教师创设“小猪佩奇和小伙伴们排队”的生动情境，由一维（只有一行或一列）到二维（几列几行），让学生明确：只有一列或一行时，确定方向后一个数就能确定佩奇的位置，几列几行时，一个数就不能确定佩奇的位置了，要两个数才能确定佩奇的位置，进而明确数对的标准——先列再行，不能颠倒，一个数对确定一个位置，学生在排队中体会位置与数对之间的一一对应思想。

师：同学们，看，谁来了呀？（视频）今天佩奇和小伙伴们要给大家表演节目，瞧，它们上场了。

师：我们从这个角度观察，动物们排成一行，佩奇排在第几个？

生：从左向右数佩奇排在第2个，从右向左数佩奇排在第5 个。

师（小结）：是呀，数的方向不同，位置的表达就不同。

师（出示箭头）：这样呢？

生：从左向右数佩奇排在第2 个。

师：那它的位置可以用哪个数来表示呢？

师：从左向右佩奇排在第2个，用2 这个数就能确定佩奇的位置。

师：注意！变队形了，动物们排成了一列(用箭头和数同时出示)，现在佩奇的位置可以用哪个数来表示？

师：我们一般说从前向后数佩奇排在第4 个，用4 这个数就能确定它的位置。

师（小结）：看来只有一列或一行时，统一方向后我们用一个数就能确定位置。

师：小动物们来排队，现在还能用一个数来确定佩奇的位置吗？佩奇的位置在哪里？你是怎么观察的？

师：同学们，佩奇的位置只有一个，为什么会有这么多不同的说法呢？

师：看来，想要确定位置，我们需要一个统一标准。

……

师：按照这个标准，佩奇的位置怎么确定？你是怎么知道的？先和同桌说一说。

师：从左向右数佩奇排在第4 列，从前向后数佩奇排在第3行，它的位置就是第4 列第3 行。谁能像这样来完整地说一说？

师：照这样，你能说说乔治的位置吗？

师：佩奇好朋友的位置在第2 列第4 行，你能在图上找到它吗？谁来指一指。

师（小结）：我们用第几列第几行就能确定位置。

……

师：数对（4,3）表示什么意思？

师：那你觉得写数对时要注意什么？（先写列，再写行）

师（小结）：你的理解真到位，这是两个有序的数，先列再行，不能颠倒。一个数对只对应一个位置，它们是一一对应的。

以上教学片段，学生在排队中身临其境，利用数形结合的方式，让学生体会对应思想。在这样的教学中，教师有意识地让学生先在一维空间中体会一个数对应一个位置，再到二维空间中体会两个数才能对应一个位置，学生在自主发现的学习中，一维到二维体会对应思想的同时，提高了分析问题和归纳问题的能力；学生在认知冲突中，从一个数到两个数，加深对应思想中孕伏的函数思想，体会数对中变与不变的联系，从而深刻理解数对的知识。

二、从直观到抽象，渗透模型思想

从广义角度来看，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系、图表、程序等都是数学模型。模型思想就是学生在面对具体的数学问题时，能够运用实验观察、体验操作、比较分析、综合概括等活动得到简化的容易理解的数学模型，是把生活中实际问题转换为数学问题模型的一种思想方法。在这节课的教学中，教师从实物（动物）图到圆圈图，再从圆圈图到方格图，再从方格图拓展为以O 为原点的格点图，最后抽象成直角坐标系，学生从直观一步一步进行抽象，在经历数对形成的过程中，数学模型也随着抽象的过程越来越得以渗透，加深了思维的深度。

师：其实每个小动物都在某一列和某一行的交叉点上（PPT），如果每个小动物都用一个圆圈表示，这样就得到了一张圆圈图。对比刚才，你觉得这样的圆圈图看起来怎么样？

生：简洁清晰，一目了然！

师：在圆圈图上，我们用红圈代表佩奇，谁来说一说佩奇的位置？

生：佩奇在第4 列第3 行。

师：蓝圈代表乔治，粉圈代表苏西，谁来说说它们俩的位置？

师（小结）：我们用第几列第几行就能确定位置。

师：圆圈图上，淘气的佩奇开始和我们玩起了捉迷藏，它会藏在哪儿呢？请你仔细观察佩奇的位置，并在练习纸第一题记录下来！

时间到！一起来看这几位同学的记录。

交流：（1）第一个，怎么没写完呢？（太快，来不及）（2）再看这位同学的，他写了2 列3 行，表示什么意思？（3）再来看这位同学的，他就写了2 个数（6 5）你知道表示什么意思吗？

师：这些方法，每一个位置都用了几个数来记录的？

师：原来，2 个数就能确定佩奇的位置了。

师：那这些方法中，你更欣赏哪一种？

师：大家都非常有数学的眼光，想知道数学家是怎么表示的吗？

（录音）：第4 列，第3 行，先写4 表示第4 列，再写3 表示第3 行，两个数表示的意思不同，所以中间用逗号隔开，因为4 和3放在一起才能表示一个完整的位置，所以两边要打上括号（红色），这种表述方法在数学上叫做数对。读作“数对四三”也可以直接读“四三”。

师：我们一起来读一读：数对四三或四三。

师：这就是我们今天要学习的内容：用数对确定位置。

……

师：如果我们用线把这些圆圈连起来，就得到了一张方格图。

师：佩奇和乔治来到了猪爷爷家的菜园。你能用数对来表示这个绿块的位置吗？

……

师：世界那么大，佩奇想出去走一走。现在它的位置是？

现在，它走到了哪里？

师：那怎么办呢？

师：我们可以用这样的方格图表示列与行，列数与行数都是用0 作为起始刻度，它又叫作原点。佩奇的位置是？（7,6）

师：淘气的佩奇又走到了这里，你知道它的位置吗？你是怎么想的？（-1,5）

师：现在呢？（-2，-1）

师：哇，你可真厉害！已经知道初中的知识了!这是我们初中要学习的直角坐标系。

以上教学内容，学生在发现学习的过程中经历实物图—圆圈图—格点图—直角坐标系的抽象，同时经历着第几列第几行——数对（x,y）的抽象，由直观到抽象，形成了概念、图象、关系等数学模型，渗透模型思想不仅能够帮助学生分析解决数学问题，更有利于激发学生的学习兴趣，提升学生的数学思维力。

三、从基础到拓展，感悟类比思想

类比思想是指把两个或两类不同的数学对象进行比较，依据两个或两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上的思想。数学中的类比就是学生通过观察比较，感知发现两个数学现象之间的“同”与“异”，从而更有效地解决问题。本节课的教学中，学生认识数对之后，教师设计了形式各样的巩固练习，从基础到拓展，抓住不同数对的共同点，让学生学会分类、归纳；找到类似数对中的不同点，让学生体会数学知识的递进性与复杂性，从而更有兴趣地解决实际问题。

1. 师：佩奇想来考考大家，请听。

（1）录音：我说数对你定位置。请你用水彩笔在练习纸的第3 题，涂出相应的位置，准备好了吗？数对（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

师：仔细观察，这些数对有什么特点？

师：如果点的位置都在第5列，这些数对又会有什么特点呢？

师（小结）：是啊，同一列的数对中，第一个数相同。

（2）师：佩奇还想考考你。继续听。

录音：我定位置你写数对。我要找的点的位置，都在第3 行，想想有哪些数对？在点子图上涂一涂，写一写。

师：谁来说一说你写的数对？

师：好样的！比一比这些数对，你有什么发现？

师（小结）：看来，同一行的数对中第二个数相同。

（3）师：这8 个数对都在第3行，你能用一个数对来概括吗？

瞧，佩奇用了这个数对，谁来读一读：数对（x,3）。

师：（x,3）在这里可以表示哪些数对？

师：如果圆圈图够大（课件），（x,3）还可以表示哪些数对？

师（小结）：看来，任意一列的第3 行都可以用数对（x，3）表示。

2. （1）师：看大家表现得这么棒，佩奇想送一个礼物给大家，礼物就在我们的教室里，它藏在数对（x,y）中，数对（x,y）表示什么？你是怎么想的？

师：数对（x,y）表示第x 列，第y 行，列确定吗？行呢？

表示的是全班同学，你有机会获得这个礼物吗？

（2）很遗憾，礼物只有一个，缩小范围 ，礼物藏在数对（x，x）中。

师：想一想，这里可以表示哪些数对？

师：真棒！数对（x,x）表示第几列和第几行相同。

是哪些同学呀，请起立！

（3）师：能确定礼物在哪里了吗？还不行，再给一个条件（3，x），礼物在哪呢？

师：这位同学看看你的课桌里有没有礼物？哇，这是一张礼物券，课后到老师这来兑换，全班一起分享。

3.（1）师：如果我们用线把这些圆圈连起来，就得到了一张方格图。

师：佩奇和乔治来到了猪爷爷家的菜园。你能用数对来表示这个绿块的位置吗？

师：如果把这个绿块平移2格，你想怎么平移，它会在哪个位置？

师：你是怎么平移的？绿块的位置是？（3,6）（3,2）（1,4）（5,4）

师：仔细观察，你有什么发现？

师（小结）：上下平移2 格，列数不变，行数相差2。左右平移2 格，行数不变，列数相差2。

（2）师：佩奇和你们想的一样，它把绿块平移到了这个位置。（3,6）如果把它看作一个整体，绕点0 顺时针旋转90°，绿块（3,4）的位置旋转到了哪里？（3,6）呢？（4,4）（6,4）

师：继续绕点O 顺时针旋转90°，绿块的位置又会到哪呢？小组讨论一下。

师：对不对呢？我们一起来看，恭喜你们答对了！

师：看，绿块的位置发生了变化，数对也在变化，它们是一一对应的，雷达就是利用这个原理进行工作的。

以上教学片段，每一个练习都分层设计，由基础到拓展，学生动手、动脑、动口，趣味性与巩固性并存，学生在快乐的氛围中观察比较、巩固提升，通过类比思想中的“同”与“异”，潜移默化地影响着学生的数学学习，学生养成了用类比思想思考问题的好习惯，掌握了解决问题的方法，提升了学生的创造能力和数学素养。

美国教育家布鲁纳提出：掌握了基本的数学思想和方法，能使数学学习更易于理解和记忆。数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。教师要创设有效的学习情境，让学生通过形式多样的活动完成有意义的数学研究，习得数学学习方法，学会用数学的思考方式进行学习。这样，不仅解决了数学问题，更提升了学生的数学思维水平，数学思想也一步一步得以渗透与培养。