基于“MPCK”的“统计与概率”教学

侯正奎

（盐城市尚庄小学，江苏盐城 224023）

“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowl⁃edge）是“数学学科教学知识”的简称，是“数学本体性知识”（简称MK）、“一般教学法知识”（简称PK）及“学生学习相关知识”（简称CK）的交集、整合。基于“MPCK”视角研究小学数学，教师需要考量数学本体性知识的核心内容是什么？学生可能存在哪些困惑？其价值和意义是什么？本文基于“MPCK”视角，研究了小学数学“统计与概率”领域的相关内容。

一、研读数学，获得丰富的“MK”

对于数学教师来说，首先面对的是数学本体性知识。一般而言，数学本体性知识是通过教材展现出来的，教师要深入研读教材，但是教材只是数学知识的一种载体，研读教材并不能代替研读数学，因此，与其说是研读教材，不如说是研读数学。研读数学，能让教师获得丰富的“MK”，从而能进行科学化的、有效的数学教学。

由于数学知识在教材中是以散点化形态出现的，教师在研读教材时要把握数学知识点之间的内在关联。要从数学知识本体的高度对教材知识进行审视和反思。例如，苏教版小学四年级上册“可能性”这部分教材内容是属于“统计与概率”板块中的“等可能性”的内容。“等可能性”是指实验出现每一种结果的机会相等。教师要理解“等可能性”，也要让学生理解“等可能性”。那么，如何让学生感受、体验“等可能性”呢？著名特级教师华应龙别出心裁地运用“抛啤酒瓶盖”和“抛硬币”等实验素材来做对比实验。学生深刻地认识到，啤酒瓶盖不同于硬币，它的质地是不均匀的。我们在抛硬币的时候，正面朝上和反面朝上的可能性相等，而抛啤酒瓶盖，正面朝上和反面朝上的可能性是不相等的。研究了“等可能性”，学生就能深刻地理解“掷骰子”“摸球”“翻牌”等可能性的大小，也就是出现的概率，要着重引导学生认识“出现的次数”（频率）与“出现的可能性”（概率）。

研读数学，能丰富教师的数学认知，从而让教师能高屋建瓴地把握教材知识。例如，在“统计与概率”教学中，当教师引导学生感受、体验到“出现的次数”与“出现的可能性”的区别后，就能深刻地理解“等可能事件”的随机性、规律性。这是小学阶段“统计与概率”知识内容的核心、灵魂。

二、探明学情，形成多样的“CK”

学生在学习“统计与概率”相关知识前，已经在生活中积淀了相关的数学活动经验，这些活动经验，一方面是学生数学学习的根基，另一方面却有可能阻碍学生正确的数学认知。探明“学情”，能让教师形成多样的“CK”。例如，在“统计量”教学中，小学生只需要理解、掌握“平均数”的意义和计算方法。事实上，在现代社会生产活动中，学生通常接触了更为丰富的“统计量”，如“众数”“中位数”等，学生已经感受、体验到极端数据对一组数据整体水平的影响。例如，统计一个班级学生的成绩，大部分学生的成绩都不错，但是只要有一两个同学的成绩极端偏低，就会拉低、影响班级成绩的整体水平。了解到学生的已有认知经验，教师在教学中就可以超越教材的知识编排，增加一些统计量的教学，让学生感受、体验极端数据对一组数据整体水平的影响。通过极端数据的引入，引导学生学习“众数”“中位数”等相关统计量，感受这些统计量对于“描述一组数据的整体水平”的存在意义和价值。这种从学生已有知识经验、生活经验出发的教学，才是有效的、有意义和有价值的教学，这样的一种教学就是基于“CK”的教学。

探明学情，就是要从学生的已有知识经验、生活实际出发，尽量选用贴合学生生活实际的素材，满足学生数学学习的需求。据此，教师可以对教材进行“二度开发”，进行改编、补充、完善，不断开启学生数学学习的潜质，不断发掘学生学习数学的智慧，让数学教学因“CK”而精彩。

三、基于目标，灵活地选择“PK”

“PK”包括教学观念、教育理论知识、课程与教学知识。从某种意义上说，教师的专业发展取决于他的“PK”知识的优劣。基于同样的教学目标，运用同样的教学素材，不同的教师会灵活地选择“PK”。比如，在教学“复式统计表”时，不少教师都是直接列出统计表，让学生向统计表中填写数据。这样的教学，是一种任务式教学，或许能让学生解决问题，但在这个过程中，学生的数学学习力并没有获得有效的提升。笔者在教学中，引用荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”教学思想，引导学生在自主建构、创造中学习。首先，向学生呈现了古筝、葫芦丝、小提琴、笛子兴趣小组的男生和女生人数的统计表。然后，教师引导学生比较这些单式统计表。学生发现，这些统计表中都有男生人数和女生人数，因而猜想能将这些单式统计表合并。在此基础上，学生积极主动地构建复式统计表的框架，尤其是统计表的表头设计，更是彰显了学生数学学习的创造性。通过对复式统计表的构建，学生发现，绘制复式统计表的核心就是表头，有怎样的表头，就会有怎样的统计表框架，就会有怎样的统计表。

教师要灵活地选择“PK”，不仅要重视数学教学的结果性目标，更要重视过程性目标。在教师的知识结构之中，“PK”知识是核心，是教师专业水平差异的根本所在，只有不断充实“PK”知识，才能不断完善教学水平，提升学生学习力和数学核心素养。

四、基于兴趣，研发多元的“TK”

“TK”包括传统教学媒体的知识、现代信息技术知识等。在数学教学中，教师可以借助现代信息技术搜集相关的素材，用来研发、制作课件等，“TK”知识成了教师专业发展的关键、重要因素。

在学生兴趣爱好的基础上，教师在教学中要借用并研发多元的“TK”知识，启迪和引导学生。例如，在教学“平均数”时，教师将这部分的内容与信息技术中的WPS表格教学进行整合，引导学生将相关的数据输入WPS表格。当学生将一组数据输入WPS表格后，就能拖动鼠标，将每一列、每一行的平均数及整个表格的平均数等数据快速计算出来，让学生感受、体验到信息技术的力量。同时，学生借助信息技术，还能真正地“玩数学”，有的学生统计这一组数据中的最大值，有的学生统计这一组数据中的最小值，有的学生用表格求和等。在数学教学中，教师要设计、制作与教学思想相统一的课件、微课等，营造富有吸引力的学习氛围，让信息技术更好地为教学和学生的学习服务，有效地发掘学生的数学学习潜质，深化学生的数学思想。

综上所述，在数学教学实践中，“MK”知识是根基、“CK”知识是关键、“PK”知识是核心、“TK”知识是载体。只有将“MK”“CK”“PK”及“TK”等知识有机地融合，才能真正地创造有利于学生自主学习的氛围，促进学生在数学学习中主动地思考、探究。通过“MPCK”的整合，不断优化数学教师的教学，促进教师的专业发展。