因式分解的简单应用

文田 潇

进入初中后，我们对数学的认识有了质的飞跃，学会了用字母表示数。类比数的运算，我们研究了式的运算。在式的运算中，单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式是常见的运算，这让字母的一般性发挥到了极致。同学们对整式的运算很容易理解，但往往不能把握因式分解恒等变换的本质。如规定某一矩形的长和宽分别为（a+1）和（b+1），则同学们很容易理解两个代数式的和为长与宽之和，两个代数式的积为该矩形的面积。但同学们如果见到（ab+a+b+1），却不易思考到该代数式的意义和价值。因此，我们在初中数学中学习整式乘法这章内容时，还学习了另外一部分恒等变换内容——因式分解。本文将介绍因式分解在数学中的作用，以供同学们参考。

一、化繁为简

因式分解可化繁为简。例如，同学们在学习因式分解之前，得到这种式子后便不能再化简了，而在学习因式分解后，还可将x2+3x+2化为（x+1）（x+2），于是上述式子便最终化简为（x+2）。因式分解在后续图形的数据运算或代数应用中都有很多用处，能把复杂的式子化为简单的代数式，将数学的简单美体现得淋漓尽致。

二、解高次方程

初中代数领域中，解方程占很大一部分内容。从一元一次方程，到分式方程，再到一元二次方程，甚至高次方程，用因式分解能很容易地解决。例如，解方程：x3+x2-2x=0。对于解一元三次方程，一般方法比较麻烦，初中阶段也不涉及，感兴趣的同学可以自行了解一下。这里，我们可以利用因式分解，将方程化为x（x+2）（x-1）=0。几个因式的积为零，其中某个式子必为零。因此解得x1=0，x2=-2，x3=1，这样就将上述方程轻而易举地解出来了。

三、解决面积问题

在初中数学中，因式分解还能使数形结合应用得更加顺畅。例如，如何利用两个边长为x的正方形，3个边长为y的正方形，5个边长分别为x、y的长方形，拼接成一个面积最大的长方形？用因式分解，我们便能轻松地解决。无论如何拼凑，图形的总面积不变，是2x2+3y2+5xy。我们可将上式因式分解，试着寻找拼接的长方形的边长，可以得到（x+y）（2x+3y）。观察此式，我们不难看出，拼接的长方形的长和宽分别为（2x+3y）和（x+y），因此构造长和宽如上的长方形即可。