宇宙星河 心之所向——记广西大学广西数学研究中心教授张晓

肖贞林

1990年4月24日，美国肯尼迪航天中心用“发现者”号航天飞机将哈勃空间望远镜成功发射到太空，使人类对整个世界的探索，包括对地球、对宇宙、对地球与星系之间的关联，以及对星系的形成、对物质和能量的认识，都产生了巨大的影响。彼时，在中国船舶工业总公司工作的张晓一边体会所学数学知识用在工程上的乐趣，一边在思考——为什么真正用于工程中的数学，常常不符合数学的严格逻辑推理体系？工程中，数学到底是按什么样的机理起作用的？这些疑问一直萦绕在他的脑海中几十年。

为了进一步找寻数学王国的奥秘，这位爱思考的青年3年后来到香港中文大学攻读博士学位。人们常说，爱笑的人一般运气都不会太差，张晓便是如此。他成为一个“幸运儿”，偶然之机得以投在“数学大师”丘成桐门下。自此，宇宙星河任逍遥，快意人生心所向。

以数学的视角看事物本质

马克思曾说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”今天的技术科学，如信息、航天、医药、材料、能源、生物、环境等都成功地运用了数学。复旦大学数学系毕业后，张晓开始从事应用数学的研究，“就是用几何的方法去处理一些工程问题，具体而言是建一些数学模型，编程序在计算机上运行，看和实际的数据是不是拟合得很好”，“到这一步还属于纸上谈兵阶段，最终的目标是待数学模型成熟后做出产品，这些产品能有效地用到工程中去”。谈及这段工作经历，张晓表示：“这段实际工作经验让我对数学的作用又有了不一般的了解。”从书本的基础数学到工程应用数学其实还是有很大差别的，张晓告诉记者，“工程中的应用数学是很神奇的事，有时并不像基础数学那样需要去证明一个猜想、解决一个难题，但是当用数学成功解决实际问题时，常常不是用严格的数学论证推导出来的，而是根据经验‘连蒙带猜’凑出来的。它的难处在于打破数学原来的基础理论。”既要运用，又要打破，这是充斥在数学理论与应用中的“矛盾”问题。

带着对知识的渴求，张晓再次走进校园，开启自己为期3年的求学之旅。这次，他走到了数学物理的交叉路口，想一窥宇宙星河的神秘。这“一眼”便是20多年的漫漫科研之路，这一路走来，他一直觉得，之前学的微分几何学和理论物理学有着异曲同工之妙，那就是从两个不同的角度去理解自然规律。“根”是一样的。

如果说20多年的科研训练是打下扎实的基础，那在数学知识的基础之上，让他觉得更重要的则是数学研究的思维方式。

张晓（左4）与学生合影

人们常说，数学作为现代理性文化的核心，提供了一种包括抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算在内的思维方式。按照这种思维方式，数学促使各门学科的理论知识更加系统化、逻辑化。当遇到一个问题的时候，数学家又是怎样考虑的呢？张晓告诉记者，每个人的数学研究风格都不一样，习惯也不一样。一些人可以想出办法解决很多困难的问题，另一些人可以提出一些新的理论体系。

“我自己的习惯是，试图对每个问题都去想清楚其本质是什么，在大脑里构建一幅图像，图像对了，问题自然迎刃而解。”张晓解释说，这可能是后来受物理学的影响。物理学家思考问题就经常会构建一些图像，就像盖房子一样，思考怎样用最少的材料搭好房屋的整体。他坦言，这是自己学生时代学到的数学研究的方法。

从当初相对闭塞的科研环境到如今国际、国内学术交流已成常态，时间转眼已过去几十年。中国人对现代数学的理解和认知也有了翻天覆地的变化，张晓的足迹也从中国科学院数学研究所，辗转到广西大学广西数学研究中心。“广西壮族自治区政府和广西大学的目的是希望将学校从教学型转变为科研型。”在数学方面，既要提升广西地区数学的整体科研、教学水平，又要打开与世界数学界学术交流的大门。

尽管从2019年4月他才来到广西大学，但按照既定的目标，他一边推动数学中心建设，一边组织开展学术活动。目前，已经举办了两个学术会议——2019青年微分几何论坛和2019几何分析与双曲方程国际会议。在第二个会议上，来自剑桥大学、普林斯顿大学在内的很多该领域的国际学者都应邀到场并开展交流。

受到疫情影响，现在很多科研工作都无法正常有序开展。但在他看来，“用自己毕生所学，为数学科研建设添砖加瓦、为学科的发展而贡献一分力量，都是科研人员必须去承担的责任”，这项工作还将在未来稳步推进。同时，他也表示，希望通过这些会议为国内数学界优秀青年人才提供一个交流的平台，也希望吸引一些人才落户广西大学，为广西地区的数学科研、教育事业添砖加瓦。

大师的光辉

所谓大学者，非谓有大楼之谓也，有大师之谓也。香港中文大学依山傍海，树木鸟类繁多，人文气息浓郁，被誉为全亚洲最美丽的大学校园之一，也是一所亚洲顶尖、享誉国际的公立研究型综合大学。1993年至1996年间，张晓有幸在此攻读博士学位，这为他打开了一扇全新的大门。他对这段经历深有感慨。

那是1991年临近圣诞的日子，此时正在香港中文大学进修的张晓遇到了著名数学家丘成桐先生。当时丘先生在哈佛大学执教，赶巧在休学术年假期间答应为香港中文大学讲授一门微分几何的数学课。“他住台北，每星期都会从台北飞到香港来讲课，就这样我很幸运地成了他的学生。”这段时期对张晓而言，机会难得，收获也非常大。很自然，当1993年1月正式到香港中文大学攻读博士时，丘成桐便成了他的博士生导师。

香港中文大学不像张晓之前的母校复旦大学，系别的规模相对较小，老师才二三十名。“小而精”，这些老师基本上都是香港培养的优秀本科学生，然后在英、美等西方国家获得博士学位。学校的培养风格也沿袭了英国的体系，博士读三年。期间，学生的自由度很大，任凭自由思考、研究一些问题。20世纪90年代初的中国，离开内地去香港留学的学生非常少，特别是当时香港还没有回到祖国的怀抱，张晓说，在那儿不同专业的内地研究生才10多人。徜徉在静谧的校园，对年轻的张晓来说是一种享受，更是一个思考的绝妙场地，“那儿比较适合我的个性，我不是特别喜欢热闹，喜欢自己静静地思考一些问题。我非常喜欢校园的环境”。

“当年的系主任郑绍远教授本科也是在香港中文大学就读的，他是丘先生本科和研究生的同学。他来中文大学任教前是加州大学洛杉矶分校的数学教授，他们两人都是微分几何领域的领袖。我同时跟随了两位这样的导师实属幸运，虽然累但是学到了很多知识。”

近年来，丘成桐曾在公开场合表示，“我们学数学不单是要学数学上的基本功夫，物理上的基本功夫也要学，这是在大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这几十年来的发展越来越接近，很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念完全不认得的话，我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家，能够很快地融会贯通。”他就是依照这种方法培养学生的，张晓也因此与物理结下不解之缘。

那个年代，丘先生培养学生可以说是耳厮鬓摩的“魔鬼”式训练。“学期期间，丘先生人在哈佛，就寄给我们一些论文让我们自学，美国的大学放假了，他就来香港召集我们开讨论班。讨论班是每天从上午9点开到下午5点，只留午饭的时间，几乎没有周末，强度很大。我们几位研究生一个学期研读的论文，常常在两个星期内就在讨论班上讲完了。然后就是每天晚上研读新的论文，再在第二天的讨论班上报告。丘先生在讨论班上随时提问，我们经常因回答不出而‘挂’黑板。”张晓回忆说。

开研讨班是培养学生的惯常做法，但是强度如此之大却也是不常见的，张晓对这种紧张至今记忆犹新。“我记得那时候丘先生和我们一起讨论一些问题，都弄不懂的时候，丘先生就让我们马上去查资料，为了节约时间，我基本都是跑步来回。”在丘先生的研讨班，张晓觉得自己不光学到了很多知识，更重要的是学会了怎么去做数学研究，怎么去寻找一个好的数学问题。“这种影响是潜移默化的，一直影响着我随后20年的数学研究乃至整个思想方法。”

2019年微分几何青年论坛

在广义相对论延伸的路上行进

爱因斯坦建立广义相对论的时候，对时空有一个哲学的思考，就是物理规律需要满足等效原理，同时要能推导出那些在牛顿力学框架下已经成功的结论。广义相对论的场方程，一百多年来经历了各种实验验证，理论都是和实际吻合的。

很多研究数学的学者对广义相对论都非常感兴趣，数学大师丘成桐便是其中之一，他在读研究生的时候为之着迷。他提到自己曾考虑一个问题，在赤道上有两个人，分别沿着经线朝北走，一开始他们是相互平行的，但一直走到北极点，他们相遇了。直观上好像两个人之间有引力。这实际上就是爱因斯坦将引力与空间弯曲等效的思想。受广义相对论启发，丘成桐曾经考虑微分几何中没有物质的空间是否会发生弯曲？以及如何把这个问题推广到复流形上，这导致他完成了卡拉比猜想的证明。紧接着，又解决了广义相对论的“正质量猜想”（物理学家称为“正能量猜想”）。

丘成桐的思想来源很大部分来自广义相对论，作为他的学生，张晓的一个重要发现也建立在广义相对论领域上。“20世纪70年代末，我的老师丘先生和他的学生证明了正质量猜想。很自然，我念博士时就接触到了这方面的工作，自己也非常喜欢。从博士开始到现在，一直在从事这方面的研究。”他告诉记者，丘先生证明的正质量猜想，是指宇宙的总能量不小于总动量。地球、太阳系、银河系在移动时也在旋转，整个宇宙有移动和旋转两种效应，分别由总动量和总角动量刻画。而他最早做的一项工作就是，在考虑旋转效应的情况下，证明了宇宙的总能量不小于总动量和总角动量的和。

20年来，沿着这个研究方向，张晓的研究工作还包括证明类光无穷远的正能量定理并以此给出引力波Bondi能量正性的完整数学证明、证明正宇宙常数正能量定理和证明负宇宙常数正能量定理。使得物理时空正能量问题得以全面了解。

当广义相对论成功解释天体现象的时候，有人曾问爱因斯坦，假如你观测到的现象和你的理论有不同的时候，你会怎么想？爱因斯坦说，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理论。”为什么漂亮呢？因为用了等效原理，同时能够解释天体运行的问题。爱因斯坦后来多次讲到，数学的美是很重要的，甚至比实践还要重要。通过思想的实验，也通过数学的思维，才能够得出结论。这个过程有思想实验般的思考，同时要有哲学的思想，还有数学的思维。这一路走来，张晓用自己的科研工作，很好地诠释了这一研究过程。

仰望“星空”

进入数学界后，张晓了解到国内外数学家在研究的一些数学问题。在他看来，有人要发展一套理论，有人要解决某些难题。但是理论的目标还是希望能解决问题，所以解决重要问题是发展一般理论中很重要的一环。

他谈到，理论物理学家可能都普遍关心怎么把量子力学和广义相对论结合在一块。量子力学是研究微观世界的理论，广义相对论是研究包括宇宙在内的宏观世界的理论。这两个理论依赖的数学理论完全不一样。形象地说，量子力学是代数，广义相对论是几何。量子力学的数学语言是无限维空间上的线性代数，广义相对论的数学语言是微分几何。

怎么把这两种理论融合起来？几十年来，科学家们一直在研究，提出了各种理论，也产生了很多非常困难的数学问题。张晓的另外一项研究也由此展开，从2006年开始，特别是2008年以来，在国家杰出青年科学基金“引力场论的经典理论与量子理论”的支持下，张晓和代数学家、物理学家一起，应用早年物理学家、数学家发展起来的形变量子化工具，开展了量子空间弯曲理论的研究。他们提出一种量子爱因斯坦场方程并找到了真空场方程的精确解，同时，经过严格的数学推导发现与时间无关、不可蒸发的量子黑洞数学模型。

人们都知道，引力是维系宇宙的四种基本物理力之一（还有电磁力、弱核力和强核力），我们生活在地球的引力之中，时时刻刻都在体验它。从更大的尺度看，引力是宇宙中一切可见结构的“搭建工”，太阳系、银河系和整个宇宙都离不开引力，而黑洞是广义相对论特有的宇宙天体。

张晓告诉记者，物理上认为当星体塌缩形成黑洞过程中，巨大的引力将使整个时空产生波动，这样形成的具波动性质的时空度量，称为“引力波”。在广义相对论对引力波的研究中，人们通常都假定宇宙常数为零，这时在弱场近似下对爱因斯坦场方程的分析发现引力波以光速往外传播。另外，引力波在传播过程中将携带能量，并以引力辐射的形式将能量向外辐射，这是大家认为引力波应该具备的一个重要特征。

1937年，爱因斯坦和罗森首次找到了场方程柱面波精确解。20世纪60年代，英国物理学家Bondi大力推动了引力波的研究，他导出引力波所应该满足的波形时空度量的一般形式，并定义了Bondi能量，即在光线无穷远探测到的时空的剩余能量。Bondi证明了Bondi能量是单调递减的，表示时空经引力波携带走的能量越来越多、时空的剩余能量越来越少。理论计算表明引力波非常弱。美国、欧洲等发达国家和地区曾花巨资探测引力波，终于在2015年9月14日首次探测到了引力波信号。

张晓和同行合作研究了宇宙加速膨胀、宇宙常数为正时的引力波问题，这种情形符合天文观测数据。他们发现，正宇宙常数Bondi波形时空度量的情况出乎意料，正宇宙常数对光线无穷远处的时空度量结构产生了非常强的制约，这些制约在宇宙常数为零时并不存在。通常认为光线无穷远处的数据是能被引力波探测器测量到的，所以需要研究这种制约的影响到底有多大？“值得庆幸的是这种制约并不影响引力波探测中至关重要的Penrose量的性质”，张晓近期的一个研究工作表明。“这时有很多奇奇怪怪的事发生，不知是不是和暗能量有关？”

此外，张晓还对广义相对论中拟局部质量进行了新的定义。定义拟局部质量是为了理论上测量宇宙有限区域的质量，例如太阳系的质量。物理学家和数学家已经给出了各种各样的定义，但是至今还没有一种定义能满足物理上的所有要求。例如其中一个要求就是要满足对区域的单调递增性，区域越大，质量应该越大，否则理论计算出来太阳系的质量就会比太阳的质量小，这显然不符合实际。“我们的定义能满足物理上的其他要求，虽然现在还不能在数学上证明其单调性，但从定义的物理机理上可看出是单调的，对一些例子的具体计算也表明是对的。”

“对这些问题的深入研究，数学上需要一些新的思想和方法”，张晓说。

数学是奇妙的，其科学发现也是时间沉淀的智慧，只有锲而不舍才能探求其中的真谛。对数学的思考是无穷无尽的，张晓的研究还在继续。他说，自己每天会静静地思考这些很奇妙的问题，并且乐在其中。对于张晓来说，这种探求不但是人生的意义，也是人生的乐趣。