混凝土骨料随机分布的分形研究及其对破坏特性的影响

任青文殷亚娟沈 雷

（1. 河海大学 力学与材料学院，江苏 南京 210098；2. 河海大学 水利水电学院，江苏 南京 210098）

1 研究背景

混凝土的应力-应变全曲线是其力学性能全面的宏观反应，也是混凝土结构设计及数值仿真的基础[1]。然而，由于混凝土是一种由水泥砂浆、骨料及其他各类掺和料组成的多相复合材料，即使是同一标号、同一级配的混凝土，相同的养护条件和龄期，最终得到的混凝土材料力学特性还是具有一定的离散性，尤其是其非弹性阶段破坏特性的离散性更为明显，其损伤破坏形态也呈现出很大的随机性。这不利于混凝土性能的研究和损伤破坏的控制。因此，对混凝土强度及应力-应变曲线软化段离散性以及最终损伤破坏形态的随机性规律进行研究具有重要的科学和实用意义。

本质上，混凝土的宏观力学性能与其细观结构密切关联，混凝土的宏观破坏特性的离散性源于其内部组成的非均质性。因此，混凝土中骨料的含量、形状、空间分布、初始缺陷等都是导致混凝土应力应变曲线离散、破坏形态随机的原因。研究表明，同样配比的混凝土试件，不同的骨料随机分布，其线弹性力学特性相当一致，但反映其破坏特性的峰值强度和下降段曲线不同，裂纹形态各异[1]。Unger等[2]指出造成混凝土材料随机非均匀性的最重要因素是骨料的空间分布形式。李杰等[3-4]构建了混凝土随机损伤力学理论体系，给出了混凝土在单轴受压时的应力-应变全曲线的均值与均方差。Wang等[5]通过数值模拟发现，骨料不同的空间分布会对混凝土在外荷载作用下产生的初始微裂纹及后续宏观裂纹的位置（即裂纹扩散路径）产生一定的影响，进而使得混凝土宏观强度和下降段软化曲线存在一定的差异。Kim等[6]研究表明，微裂纹的分布完全依赖于骨料分布。杜修力等[1]发现不同骨料分布形式下的混凝土压缩强度和软化曲线均服从双参数Weibull分布，且软化段上应力值的离散性比峰值点应力的离散性大。

上述研究工作提高了人们对混凝土强度及软化段曲线随机性和离散性的认识，但局限于从统计学的角度对强度及软化曲线进行研究，缺乏对骨料分布形态的量化表征。实际上，骨料分布具有很大的随机性，难以简单地用概率分布进行表征。此外，混凝土结构在外荷载作用下损伤裂纹扩展形态不规则，且分布具有随机性，对其量化评价也一直是棘手问题。所以，骨料分布对混凝土破坏性能及其破坏形态的影响，需要引入新的方法进行深入研究。分形以及多重分形理论和方法[7]是近年来兴起的专门研究不规则问题的有效方法，能够对不规则图形进行表征和量化[8-12]。

本文采用数值模拟方法，对单轴拉伸混凝土试件进行研究，建立细观混凝土力学模型，模拟36组不同骨料分布形态下混凝土试件的单轴拉伸宏观力学性质及破坏形态，进而基于分形理论和方法，对骨料分布以及损伤破坏的裂纹分布形态进行量化，从而对骨料分布形态、混凝土峰值强度、脆性以及损伤破坏形态之间的关系进行研究，以期揭示骨料分布形态对混凝土破坏性能和损伤破坏形态的影响规律和机制。

2 分形理论与方法

2.1 盒维数分形几何是由法国数学家Mandelbrot于1970年代提出并发展起的一门新的数学科学[13]。它以自然界不规则以及杂乱无章现象为研究对象，其产生后很快被用于材料的微细观结构及其受力变形特性研究[14-16]。分形维数是分形理论核心内容之一，是一种度量复杂形态的方法。在多种计算分形维数的方法中，盒维数法定义直观，计算简便，应用广泛，能够有效地计算图形的分形维，其计算公式如下：

式中：D为所求骨料分布的盒维数；L为正方形盒子的边长，以1 2k变化（k=0，1，2，…）；N(L)为用边长为L的盒子去覆盖整体骨料分布所需要的盒子数。

通过不断改变盒子尺寸来改变覆盖图形的盒子总数，得到一系列绘制关系曲线。如果曲线满足线性关系，则证明图形具有自相似性，其斜率便是该分形图像的盒维数，可以利用分形几何理论来研究。

2.2 多重分形维多重分形通过用一个谱函数来描述分形体不同层次的生长特征，从系统的局部出发研究其最终的整体特征[17]。多重分形又称为多重分形测度，是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度所组成的集合[18]。盒维数法仅统计存在像素点的盒子个数，不能统计盒子中所包含的像素点个数。因此，盒维数法计算得到分形维数只能对整体的分形特征进行表述，而无法描述分形体的局部分形特征。多重分形考虑盒子内像素或其他物理量的差距，通过归一化分析获得一个概率分布集，再计算得到多重分形谱，从而揭示结构局部的细节信息，这一方法得到了广泛应用[19-22]。

多重分形描述的是分形几何体在生长过程中不同的层次和特征。把研究的对象划分为N个小区域，设第i个小区域线度大小为εi，Pi为该小区域测度（例如概率或质量），且对不同的小区域Pi也不同，可用不同的标度指数αi来表征，即[17-18]：

其中，αi简称为Hölder指数，由于它控制着概率密度的奇异性，故也称奇异性指数。

若线度大小趋于零，则式（2）可变为：

从式（3）可以发现，α是表征分形体某小区域的分维，称为局部分维，其值大小与所在的区域有关，反映了该区域概率的大小。若在研究对象上的测度是均匀的，则指数只有一个值。

得到Hölder指数α后，将在分形上具有相同α值的小盒子的数目记为Nα(ε)，它是与ε大小有关的，并写成：

由此可得出：

与分形维数的定义相比发现，f(α)的物理意义是具有相同α值的子集的分形维数，称为多重分形谱。一个复杂的分形体，它的内部可以分为一系列不同α～f(α)值所表示的子集，f(α)就给出了这一系列子集的分形特征。

3 数值模拟方法

本文采用细观力学方法，模拟36组不同骨料分布的混凝土试件，通过单轴拉伸的有限元模拟，得到混凝土试件的应力应变曲线和开裂破坏形态。

3.1 混凝土塑性损伤（CDP）模型有限元分析中，混凝土采用CDP模型。该模型能够模拟水泥基材料的拉伸开裂和压缩碎裂现象[23-24]，以及混凝土动力加载和循环加载力学行为。单轴应力状态下，CDP模型应力应变曲线考虑了损伤引起的等效塑性应变（包含拉伸等效塑性应变和压缩等效塑性应变）。依据试验，模型假定单轴加载时拉伸损伤因子dt与压缩损伤因子dc分别随拉伸等效塑

性应变和压缩等效塑性应变增加而增加[25]。则由损伤因子控制的应力-应变关系可表示为：

式中：下标t和c分别表示拉伸和压缩；E0为初始弹性模量；σ为应力。

图1为CDP模型单轴应力-应变关系曲线。多轴应力状态由单轴应力状态值拓展得到。关于该本构模型的详细描述，可参考Lubliner等[26]和Lee等[27]的相关文献。

图1 CDP模型单轴应力-应变关系曲线

图2 混凝土细观力学模型

3.2 混凝土细观模型及参数采用基于Monte Carlo方法的二维随机骨料投放程序[28]生成细观混凝土试件36组，试件统一边长为150 mm×150 mm，骨料含量为45%，粒径范围为5～40 mm。含界面过渡区（ITZ）的二维混凝土三相复合材料数值模型如图2。

Scrivener等[29]指出，ITZ厚度约为40 μm，但考虑到计算工作量，本文中ITZ厚度取100 μm。在混凝土细观研究中，ITZ的材料参数非常重要，但目前该参数较难由试验测得。通常认为ITZ的力学性能与水泥砂浆类似，略小于水泥砂浆[6，29-30]。

表1 各组分的计算参数

本文计算参数见表1，水泥砂浆和ITZ力学本构模型均使用CDP模型。相比于砂浆基质及界面区，骨料具有较大的拉/压强度，对于静态和低速动态加载的情况，裂纹往往绕过强度较大的骨料颗粒[31-32]而从界面及砂浆中穿过。因而可假定骨料为线弹性体[6，30，33]。为了避免网格效应，拉伸应力-应变全曲线的下降段，将采用应力-位移曲线表示。

对混凝土细观数值模型进行位移加载，固定模型左端边界，在右端边界施加均布位移载荷，选择显式分析模块ABAQUS/Explicit进行分析求解，当拉伸应变达到600 με时停止计算，共分为200个加载步。计算中以四节点平面应力四边形（CPS4R）单元剖分网格。单元的最长边和最短边比值不得大于50，所以当界面厚度（100 μm）确定后，其界面单元的最长边长不得超过5 mm，同时要求与界面相连的砂浆与骨料的网格单元边长均控制在此尺寸内，每组模型大约8000个单元。采用细观力学的均匀化方法获得36组混凝土试件单轴拉伸应力-应变全曲线。

3.3 基于细观混凝土模型的单轴拉伸数值试验混凝土细观数值模型单轴拉伸计算结果如图3所示。

图3 36组混凝土数值模型计算结果

计算结果表明，混凝土单轴拉伸破坏时，微裂纹起始于骨料颗粒与砂浆基质之间力学性能相对薄弱的界面过渡区，并在扩展过程中绕过强度相对较高的骨料颗粒穿过砂浆，最终产生一条垂直于拉伸方向的主裂纹。随着骨料分布的不同，最终的裂纹分布也不同，但大体上，裂纹主要沿着大骨料界面扩展，随大骨料位置的变化而变化。因为裂纹扩展会以最小的耗能方式进行[34]，而大骨料与砂浆之间的黏结面是最薄弱的地方，所以裂纹会沿大骨料周边扩展。

采用细观力学的均匀化方法获得36组混凝土试件单轴拉伸应力-应变全曲线，参见图4（a）。从图4（a）可以发现，对于不同的骨料分布，虽然应力-应变曲线大体相似，但仍有些许不同。在峰值点前，36组试件的线性段基本重合，一致性非常好，说明骨料分布形式对混凝土弹性阶段的宏观力学特性影响很小。而非线性段靠近峰值点处离散性较明显，峰值点有所差别。峰值点后，软化段曲线接近平行，但具有较大的离散性，其离散程度大于峰值点的离散，说明骨料分布对混凝土的峰值强度和应力-应变曲线软化段的影响明显。

图4 36组应力-应变全曲线和峰值应力频率分布

36组骨料随机分布的混凝土试件相当于现实试验中一组（36个）标准试件的宏观力学性能的随机分布，因此，对36组试件峰值应力（拉伸强度）进行统计分析，将峰值应力划分8个区间，绘制其频率分布直方图见图4（b）。从图4（b）可以发现，数据分布形态大致服从Weibull分布，与文献[1]的研究一致。

4 骨料分布对混凝土力学行为的影响

4.1 骨料分布的分形表征

4.1.1骨料分布的盒维数 利用盒维数法计算骨料分布的分形值。对每个样本的骨料图像进行黑白二值化处理，取边长为L的正方形小盒子覆盖骨料分布图，将无骨料颗粒占据的空的小盒子标记为0，有骨料颗粒占据的非空小盒子标记为1，统计所有为1的小盒子个数为N(L)，然后通过不断改变盒子尺寸来改变覆盖图形的盒子总数，得到一系列(L，N(L))，绘制lgN(L)-lg(1L)关系曲线，其斜率便是该分形图像的盒维数。依次计算并绘制每一组骨料分布的lg N(L)-lg(1L)关系曲线，最终得到36组混凝土试件的骨料分布的盒维数（图5）。从图5可以发现，36条拟合直线重合，斜率为1.86，拟合度（R2）均达到0.99。由此可知，仅骨料分布不同的情况下，36组骨料分布的盒维数基本一致，分形值为1.86。这是因为36组混凝土试件在保持试件尺寸，骨料含量和骨料形状一致的情况下，骨料所占有的空间（这里是面积）有效性一致，在整体上，其骨料不规则分布一致，致使不同试件混凝土的线弹性力学特性一致。但是，一旦发生开裂破坏，开裂通道最容易沿着相对薄弱、可能存在初始微裂纹的骨料与砂浆界面形成（表1中界面的强度最小）。

从图3可知，由于不同试件内大小骨料分布形态的变化，骨料之间的开裂通道发生了变化。大骨料与大骨料相邻，则通道稀疏；而大骨料与小骨料相邻，则通道密集；使得裂纹扩展路径以及最后的裂纹分布形态的不同。可见，虽然骨料不规则分布整体上具有一致性，但是具体细节存在差异，因而难以采用单分形的方法进行研究，需要引入多重分形维来进一步放大分形体的局部的细节分形特征。

图5 36组骨料分布盒维数分形维

4.1.2骨料分布的多重分形谱 多重分形谱的计算首先应统计物理量在相应分形结构上的概率测度分布。本文用盒计数法进行概率测度的统计与计算。将处理后的骨料分布图像转换成数据文件，有像素点处用1表示，无像素点处用0表示。用盒维数法求概率分布，以尺寸为ε×ε（ε 1；设整个图形尺寸为1×1）大小的正方盒子覆盖在骨料图像上，ε以1/2k变化（k=0，1，2，…），包含骨料的盒子数量记为N(ε) 。求出对应于整幅骨料分布图的全体骨料像素点的数目总和S，对于每一个确定的图，S是一个常数。在每个小正方形盒子ε×ε区域内，定义包含在此区域内的骨料像素点的数目总和为Si(ε)，i=1，2，…，它依赖于划分尺寸ε以及i，从而得到每个小正方形区域所对应的概率测度Pi(ε)：

式中：Si(ε)为第i个盒子中所含骨料像素点的个数；S为骨料分布图中全体骨料像素点总和。

其次，为了显示概率测度Pi(ε)的作用，定义q阶矩下的配分函数χq(ε)为：

其中，q为权重因子，不同的q表示不同大小的概率测度Pi(ε)在配分函数χq(ε)中所具的比重。

图6 试件1骨料分布的多重分形谱

以试件1骨料分布为例，给出了多重分形谱计算结果如图6所示。由图6（a）可知，在q -1时，lg χq(ε)-lg(ε)基本上为直线，满足标度不变性，并且标度不变性的范围达到3个数量级，适合用多重分形谱理论进行分析；q ＜-1时，曲线分为两段，ε大的区域（Ⅰ区）斜率绝对值大，ε小的区域（Ⅱ区）斜率绝对值小。可见不是在所有ε范围内都满足标度不变性。这种异常现象的出现与小概率呈现异常的涨落有关[35]。局部解决异常部分的一个办法是忽略一部分很小的Pi(ε)，即认为它们是实际图形中的误差。本文借鉴文献[35]，忽略掉的Pi(ε)所包含的像素总数应小于原图形总像素的2%，从而保证修正后的图形不会失真。

如果τ(q)与q之间存在着非线性关系，则说明对象具有多重分形性；如果τ(q)是q的线性函数，则说明对象是单分形。由图6（b）可知，质量指数函数τ(q)是一个上凸的函数，即τ(q)与q之间存在着非线性关系，表明骨料分布的确具有多重分形特征。

最后，对q和τ(q)作勒让德变换可得：

式中：α(q)和f(α)为q阶矩下的谱参数。

由此即可得到骨料分布结构图的多重分形谱α-f(α)。如果研究对象是单一分形，则f (α)为一定值；如果研究对象是多重分形的，则f (α)一般呈现单峰图像。图6（c）是α(q)随q值的变化曲线，表明α(q)是q的递减函数，且α(q)曲线的两端呈平缓变化趋势。理论上，q的取值范围越大越好，但实际计算时，q不是越大越好，当其值增大对计算结果已经没有显著影响时，q的范围就可以截止。本文汲取前人的研究经验，当α(q)的随着q值变化的改变率小于0.2%时[22]，认为谱宽基本稳定，进而确定q的取值范围。经过试算，36组试件的骨料分布的多重分形谱的q范围均介于[-5，5]。

图6（d）给出了多重分形谱f(α)-α关系图。由6（d）可以发现，f(α)是α的单峰凸函数，在q ＞0部分单调递增，在q ＜0部分单调递减，当q=0时，f(α(q=0))取得最大值，再次说明了骨料分布具有多重分形特征。

多重分形谱f(α)-α(q)中，f(α)的物理意义是对分形结构上的复杂程度的一种量度，而不同

的奇异性指数α则反映了不同概率测度子集的性质。多重分形谱的宽度Δα=αmax-αmin定量地表征了分形体内最大概率子集和最小概率子集的对比关系，即分形体内部的差异性程度及变化范围。多重分形谱越宽，即Δα越大，说明分形子集内部奇异性越强，差异越显著，各子集概率的两极化趋势越明显。当用于描述骨料分布时，则表示骨料空间分布由均匀变为非均匀的趋势越明显。可见，多重分形谱的宽度Δα可以定量表征分形体内部的差异性，非均匀性和各子集分布的两极化特征。谱宽Δα敏感性较好，常用于金融时间序列的多重分形谱分析[36]。本文利用谱宽Δα表征骨料分布（图7），谱宽Δα越大，骨料分布差异性越大，即骨料分布越不规则；谱宽Δα越小，骨料分布差异性越小，即骨料分布越均匀。从图7可见，在q值范围一样的情况下，36个试件的谱宽Δα各不相同。其中，Δα的最小值为2.4227，Δα的最大值为3.1817。可以利用谱宽Δα来表征骨料分布，凸显了多重分形放大细节的作用。

图7 36组骨料分布的多重分形谱

4.2 骨料分布对混凝土破坏特性的影响混凝土的破坏特性主要表现在峰值强度、脆性和裂纹形态三个方面。

4.2.1骨料分布对峰值强度的影响 利用上述方法计算得到了36组试件的多重分形谱，以及相应的谱宽Δα，然后对其与拉伸峰值应力的关系进行了统计分析（图8）。从图8可以发现，峰值应力随着骨料分布谱宽Δα的增大而减小，且相关系数达到0.93，属于高度相关（表2）。图8中绿色点是试件计算值，红色点是绿色点在x轴等间距区间上求得的y轴统计平均值，红色实线根据红色点线性拟合得到，图8说明，骨料分布越均匀，强度越高。根据Weibull提出的统计强度理论，材料强度由其最弱环的强度决定，最弱环一旦破坏，就会引发整个链条发生连锁反应式的破坏[37]。

例如，对于受拉的混凝土试件，其任意截面i-i都有（厚度默认为1）：

图8 谱宽Δα 与峰值应力关系

表2 骨料分布谱宽Δα 与峰值应力f0，脆性B1，以及裂纹盒维数D的相关系数

4.2.2骨料分布对混凝土脆性的影响 混凝土的峰后应力-应变软化段曲线的形态一直是人们定性了解混凝土脆性程度的主要方法，如果峰后强度迅速降至某一很小的值说明混凝土脆性程度大，如果峰后强度降低很慢说明混凝土脆性程度小。为了研究应力-应变软化段曲线的离散性，本文提出建立在应力-应变曲线峰后应力下降幅度和绝对速率基础上的脆性指标B1。如图9所示，A为峰值点，B为最终的残余强度。

对B1取lg值并除以10，将其转化为0～1变化范围的数值，B1值越大，说明混凝土脆性越大。

由图10可知，混凝土试件的脆性随着谱Δα的增大而减小，相关系数达到0.72，属于显著相关（表2）。说明骨料分布越均匀，脆性越大。

图9 脆性指标

图10 谱宽Δα 与脆性关系

4.2.3骨料分布对裂纹形态的影响 从最后的计算结果图3中提取出最终破坏时的裂纹分布形态，图11显示了试件1骨料分布及相应的裂纹形态。

图11 “试件1”骨料分布和裂纹形态

利用盒维数法分析图11中裂纹的分形维，图12给出了试件1的裂纹分布的lgN(L)-lg(1L)关系曲线，发现曲线满足线性关系，拟合度R2近似为1，表明图11中裂纹分布具有自相似性。因此，可以利用盒维数来表征和区分裂纹分布形态。

图12 “试件1”的裂纹分布的盒维数

图13 谱宽Δα 与裂纹盒维数关系

表3 36组混凝土试件的裂纹盒维数

图3中36组混凝土试件由于骨料分布的不同，导致裂纹扩展路径及其最终的裂纹分布形态各不相同，相应的盒维数也不同，36组混凝土试件的裂纹盒维数见表3。盒维数越大，说明裂纹扩展路径越曲折复杂，最终裂纹分布形态越不规则。

裂纹分布盒维数与骨料分布谱宽Δα的关系见图13，发现裂纹分布盒维数随着骨料分布谱宽Δα的增大而增大，相关系数达到0.84（表2），属于显著相关，说明骨料分布越均匀，裂纹分布越规则。

在谱宽Δα越大时，骨料分布越不规则，结构面骨料分布差异性大；而骨料稠密处，有大骨料（相当于一个高稠密区）和小骨料密集，使得局部破坏路径增加，试件整体性降低，破坏更易发展，峰值应力较小，峰值点前储存的能量相对较少；峰值点后释放能量阶段，较少的能量释放，较多的耗散途径（局部路径多），使得裂纹沿着更多的路径扩展，因而脆性相对越小，裂纹扩展径路曲折，从而最终的裂纹分布形态越不规则，裂纹盒维数越大。

5 结论

混凝土的破坏特性，包括峰值强度、软化段曲线以及裂纹分布形态具有随机性和离散性。本文采用细观力学方法，建立了36组具有不同骨料分布的混凝土随机骨料模型，通过有限元分析获得了36条单轴拉伸作用下的混凝土宏观应力-应变关系曲线和36组裂纹破坏开裂图。分别以多重分形谱谱宽和盒维数表征骨料分布和裂纹分布，统计分析了骨料分布与拉伸强度，软化段曲线和裂纹分布的相关关系，得出如下结论：（1）多重分形谱谱宽可以有效地表征骨料分布，而盒维数对裂纹分布可以进行很好的量化，且多重分形谱较盒维数可以更好地提取局部细节特征，为骨料和裂纹分布的量化研究提供了一种新的方法；（2）骨料分布多重分形谱谱宽与拉伸峰值强度和脆性呈反相关关系，与裂纹分布盒维数成正相关关系；（3）骨料分布多重分形谱谱宽越小，即骨料分布越均匀时，峰值应力越大，脆性越明显，裂纹扩展越规则，裂纹分布盒维数越小。

由此可见，骨料分布对混凝土破坏特性具有重要影响。本文的研究不仅揭示了骨料分布对混凝土破坏特性和破坏形态的影响规律，也为混凝土搅拌的均匀性要求和开裂控制提供了科学依据。