一类改进的广义随机奇异值分解方法

刘圆圆

（成都理工大学，四川 成都610059）

1 概述

不适定问题的应用背景非常广泛, 如信号处理, 图像去噪去模糊, Fredholm 类积分方程等。近几年，广义奇异值分解以及随机算法被广泛提出用于解决线性离散不适定问题。不适定问题是指对于以下三个条件中任意一条不满足的问题：解的存在性、解的唯一性、解的稳定性。同时，现在也有越来越多的领域充满着越来越多的问题是不适定的，所以对于不适定问题的研究是具有实际意义的。

2 问题的提出

3 改进的随机广义奇异值分解方法

4 数值实例

们选取两个代表性的矩阵维度n=1000 和n=2000。

表1（Phillips）不同维度及噪声水平下两种方法在CPU 时间和相对误差上的比较

图1（Phillips）不同维度及噪声水平下两种方法精确解和近似解的比较

表2（Heat）不同维度及噪声水平下两种方法精确解和近似解的比较

图2（Heat）不同维度及噪声水平下两种方法在CPU 时间和相对误差上的比较

由表1 表2 以及图1 和图2 可知，表格当中对比了两种算法及两种矩阵维度的运行时间以及相对误差，图当中对比了两种算法相对于精确解的结果。改进算法的近似解与原始算法的近似解与精确解的相对误差相差不大，但改进算法在运行时间上比原始算法更具优势，数值实例说明了此算法的有效性。同时由表1 可以看出，在不同的矩阵维度下，改进算法的CPU 时间低于原始算法的运行时间。此外，原始算法的相对误差有时小于改进算法的相对误差，有时大于改进算法的相对误差，但其数值相差不大。由于随机矩阵和随机方法的引入，使得随机矩阵不具有确定性，且当在进行matlab 实验时，没有将随机矩阵确定下来，所以误差具有不确定性。总而言之，相对误差的大小对比相差过小，因此可以得到原始算法与改进算法在数值实例中都保持相当的精确度。在运行时间上进行比较时，可以看出改进算法始终都比原始算法更有优势。当n=1000 时，时间相差大约2 秒。当足够大的时候，例如当n=2000 时，原始算法和改进算法在的时间上相差更大，然而改进算法却依然能运行得很好，保持较好的相对误差。所以随着矩阵维度的增加，改进算法比原始算法在运行时间上更具优势。

本文提出了一种GSVD 的重新缩放与随机方法的结合，旨在减小问题(1)中非奇异矩阵的条件数，同时降低矩阵的维度。归一化后的GSVD 产生了新的截断GSVD 方法，这也是一种非常适合求解线性离散不适定问题的方法。