基于非线性Wiener过程的柱塞泵剩余使用寿命分析

南西康，高文科，陈旭峰，孙天齐，冀 宏

(兰州理工大学能源与动力工程学院，甘肃兰州 730050)

引言

轴向柱塞泵广泛应用于航空、行走机械、重工及军工装备等领域，其常见的故障及失效主要集中于轴承以及3对主要摩擦副组件。一般认为，柱塞泵运行过程中，液压系统中油液污染颗粒物会加剧摩擦副的磨损，同时摩擦副在相对高速运转时会产生粘着、划痕等问题。此外，随着磨损累积增加，油膜间隙也随之变化，使得柱塞泵的内泄漏逐渐增大，伴随着泄漏回油流量的增大，容积效率及出口流量也相应减小，进而导致柱塞泵不能满足系统要求而失效[1-2]。由于磨损特性的随机性和不确定性及受柱塞泵内部结构所限，准确的检测或推断内部磨损相对困难。因而，如何借助柱塞泵的外特性，间接表征其性能退化状态，并进行有效预测显得尤为重要。葛薇等[1]从柱塞泵的主要摩擦副分析退化机理，以柱塞泵泄漏回油流量作为退化外特性指标，研究柱塞泵的性能退化过程。

由于轴向柱塞泵性能直接影响液压系统整体的工作状况，因而针对其性能退化的研究受到了广泛的关注。杨少康[3]以柱塞泵容积效率的历史数据为基础,结合性能退化的相关理论，采用非线性最小二乘法获得最优退化模型的研究。励文艳等[4]提出一种对滑靴磨损故障的识别方法，通过局部s变换和极限学习机的柱塞泵故障诊断,最终的故障识别精度可达0.99以上。王岩等[5]提出了基于有限元分析以及线性累积损伤理论的柱塞泵缸体疲劳分析和寿命预测方法，利用应力应变的时间-载荷数据进行缸体疲劳计算，预测不同工况条件下柱塞泵缸体疲劳寿命。李元等[6]提出了基于航空液压泵柱塞副泄漏量模型，并结合相关的经典泄漏流量公式，进行一定程度的补充和修正,能精确地计算高压航空液压泵柱塞副各种磨损程度下的泄漏量。马继明等[7]以航空恒压变量柱塞泵为对象，介绍其典型失效模式以及各种故障模式的外在表现，并基于磨损、疲劳、老化失效等相关寿命模型，分别分析了不同故障模式的敏感应力。王少萍等[8]基于谐波分量边频相对能量和的磨损状态识别方法，对柱塞泵的壳体振动信号进行Hilbert包络解调消除高频周期的干扰，得到清晰的谐波分量，将该值作为新的特征量来表征柱塞泵的不同磨损状态。WANG等[9]主要从柱塞泵的主要摩擦副分析退化机理，研究柱塞泵的性能退化过程。柱塞泵的退化也引起了学者的关注，他们也从容积效率，缸体疲劳计算，磨损以及三大摩擦副退化机理等方面展开了研究。

剩余使用寿命预测作为制定预测性维修计划、生产计划调整及配件管理等决策的基础依据，同样在针对柱塞泵的研究中也受到了关注。WANG等[9]应用带有漂移的一元线性Wiener过程建模，并采用MLE算法对模型的初始参数进行估计，最后实验结果验证了基于Wiener过程的航空液压轴向柱塞泵剩余使用寿命预测方法的有效性。LI等[10]采用了蒙特卡罗方法模拟了柱塞泵在磨粒产生过程中的特征，在微观尺度上描述了粗糙表面与磨屑之间的关系，提出了一种分区-积分的剩余使用寿命预测框架，将模型应用于泵的宏观退化过程，并用实验数据验证了该方法的有效性。杨少康[3]应用三参数威布尔分布模型进行轴向柱塞的寿命预测,得到轴向柱塞泵三参数威布尔分布的寿命预测模型、可靠度函数模型和失效率模型,从而根据寿命预测模型计算轴向柱塞泵在35 MPa的平均寿命。刘君强等[11]提出了基于多阶段性能退化模型预测航空发动机剩余使用寿命的方法，该方法采用多阶段Wiener 过程对航空发动机进行退化建模，之后根据设备的历史性能历史数据与历史失效时间数据，在获得单台发动机的实时历史数据后，使用Bayes方法对模型参数进行更新，从而实时更新航空发动机的剩余使用寿命的分布，实现对航空发动机剩余使用寿命的预测。张先航等[12]提出基于随机效应的 Wiener过程对其性能历史数据进行建模分析，通过Bayes方法实现预测模型参数的在线更新，得到航空燃油泵的剩余使用寿命预测结果。冯海林等[13]建立了一种新的随机效应退化模型，即漂移参数和扩散参数均为随机变量且两者之间呈线性关系的Wiener退化过程模型，基于该模型获得了产品剩余使用寿命分布与可靠度函数来估计剩余使用寿命更准确和符合实际。李奎等[14]采用累积触头质量损耗作为交流接触器性能的退化变量，建立了基于Wiener过程的交流接触器剩余使用寿命预测模型，实现了交流接触器剩余使用寿命预测。剩余寿命研究已经应用于关键的设备，Wiener过程也作为一种预测寿命的方法经常被使用。这是由于Wiener过程可以描述退化过程的时间的不确定性，而且比较容易处理数据存在误差的情况及对标准的Wiener过程引入随机性，使得可以描述个体的差异性。轴向柱塞泵的研究中也有学者采用Wiener过程去预测剩余使用寿命。

轴向柱塞泵的性能退化主要是由于其内部摩擦副磨损导致，对摩擦副的磨损量直接采取实时检测在技术上存在一定难度。因此，可以从外特性来刻画轴向柱塞泵的性能退化。基于Wiener过程的优点，并以内泄漏回油流量为外部特征，本研究在学科组前期工作的基础上，应用非线性的Wiener过程构建轴向柱塞泵剩余使用寿命预测模型。

1 Wiener退化过程模型

Wiener过程相对于其他模型，可描述非单调的性能退化过程，并且通过对经典Wiener过程的参数引入随机性，使得Wiener过程能够描述个体的差异性，并具有良好的计算分析能力，因此是目前工程领域中应用最为广泛的性能退化模型之一[15-16]。

如果连续时间随机过程{X(t),t≥0}满足：

(1)X(0)=0;

(2) {X(t),t≥0}，有平稳的独立增量；

(3)X(t)服从期望为μt，方差为σ2t的正态分布；

则称{X(t),t≥0}为带有漂移系数μ、扩散参数σ的一元的Wiener过程。表示为下面的形式：

M0∶X(t)=X(0)+μt+σB(t)

(1)

式中μ=0,σ=1成为标准Wiener过程，{B(t)},t≥0,X(t)为t时刻的退化量。

退化过程参数μ,σ由于产品个体差异而不同时，得到带有随机效应的Wiener过程模型。定义如下式：

(2)

式中,μ为描述个体退化速率的差异;σ为对所有个体相同的扩散参数。

式(1)和式(2)中漂移系数μ为时间t的线性函数，当时间t与漂移系数μ为非线性函数时，则将其定义为非线性的Wiener退化过程。因为非线性的可以退化为线性Wiener退化过程，所以本研究将展开非线性Wiener过程的建模和参数估计方法，由Wiener过程定义和极大似然估计得到参数的估计[17]。

1.1 非线性漂移Wiener过程

上述Wiener过程的漂移是时间的线性函数，如果是非线性的漂移的Wiener过程，可以描述为：设时刻t的退化量为X(t)，则非线性漂移Wiener过程可以表示为:

(3)

M2∶X(t)=atb+σB(t),a=const

M4∶X(t)=a(ebt-1)+σB(t)，

式中，σ为扩散参数；B(t)为标准的布朗运动；μ(t;θ)为非线性函数。

(2) 当μ(t;θ)=abexp(bt),对式(3)进行积分整理，整理后为M4模型。

观察模型得出M2与M1相比增加了非线性函数μ(t;θ)，M1是M2当b=1的特例，M3与M2相比增加了随机效应，可描述非线性情况下个体的差异，当M3中的b=1时，M3退化为M1；M4含随机效应(即个体差异)的非线性Wiener过程，相比M3的幂函数形式的非线性过程，M4为指数形式的非线性过程。

当退化速率μ不是常数，而且也不能进行线性化时，得到退化过程的首次达到的时间分布是困难的，但是可以给出分布的近似闭合形式[16]。

假设:如果退化过程在特定的时刻t恰好达到失效阈值l，则这样的一个过程在时刻t之前越过失效阈值l的概率可以忽略。

对式(3)的退化过程{X(t),t≥0}，如果μ(t;θ)在[0,∞)上是时间的连续函数，则在假设成立的情况下，{X(t),t≥0}首次达到失效阈值l时间概率密度函数如下：

M2模型的概率密度函数,记为fM2：

M3，M4模型的概率密度函数，分别记为fM3和fM4。首次达到失效阈值的概率密度函数分别为：

(5)

(6)

式中,γ(t)=exp(bt)-1,

β(t)=exp(bt)-btexp(bt)-1。

由式(5)知，b=1时，fT|M3,θ(t|M3,θ)退化为逆Gaussian分布；当b=0时fT|M3,θ(t|M3,θ)和fT|M4,θ(t|M4,θ)退化为漂移参数为0的扩散过程的时间分布。

1.2 参数估计

假设存在n个试验产品，第i个样品在时刻ti1,…,timi测量历史数据，其中mi表示对第i个样品的测量次数，i=1,…,n。于是，第i个样品在第j个时刻tij的退化量为:

Xi(tij)=φ(tij)ai+σBB(tij)

(7)

从模型M3和模型M4中可知，对应的φ(t)分别为φ(t)=tb和φ(t)=exp(bt)-1。模型M2作为M3的特例，按照M3的方法求解。令Ti=(Ti1,…,Timi)T,Tij=φ(tij),以及Xi=(xi(ti),…,xi(timi))T，令X为Xi,i=1,…,n组成的所有历史数据。根据式(7)以及Wiener过程的独立增量特性，Xi服从多元正态分布，均值和方差分别为:

(8)

其中:

(9)

(10)

其中:

(11)

(12)

μa和σa取一阶偏导数，得到:

(13)

(14)

令式(14)的右边为0，式(14)得不到显式结果。因此，对给定的取值σa,σB,b，令关于μa的式(10)为0，得到μa的似然估计如下：

(15)

(16)

非线性Wiener退化过程模型参数的估计：对σB,b,σa赋予初值，通过二维遍历搜索式(16)的最小值可得到σB,b,σa的估计。

由于非线性优点，所以采用非线性的Wiener过程进行退化过程建模和后续寿命使用预测工作。

2 剩余使用寿命的估计

设备的寿命指随机退化过程首次达到失效阈值的时间。如果在ti时刻根据历史数据预测设备首次达到失效阈值的时间，即获得了设备的剩余使用寿命[19]，其基本原理如图1所示。

图1 剩余使用寿命预测原理简图

图1中，l为设定的失效阈值，可以通过行业标准和产品性能指标或专家经验确定。剩余使用寿命tf，通常出现在剩余使用寿命概率密度函数的最大值处。在实践中，将设备的寿命定义为首次达失效阈值的时间。如果设备达到失效阈值，正如本研究提到的轴向柱塞泵，设备需要停止运行进行维护，以确保系统的安全。

根据剩余使用寿命预测基本原理图，如果设备在运行到时刻ti仍未失效，且当前性能退化量为X(ti)

tf=inf{tf:X(tf+ti)≥l|X(ti)

(17)

求解运行到时刻ti的剩余使用寿命，关键在于求解设备的剩余使用寿命的概率密度函数。通过剩余寿命的定义，进而可以得到非线性Wiener过程在ti时刻，剩余使用寿命的概率密度函数为[18]：

fM3(tf|ti,σa,σB,ua,b)

(18)

fM4(tf|ti,σa,σB,ua,b)

(19)

式中，γ(tf)=exp(b(tf+ti))-exp(bti),β(tf)=(1ptf)exp(b(tf+ti))exp(bti)。

当a为常数时式(18)退化为M2模型的剩余使用寿命概率密度函数，M0，M1的剩余使用寿命的概率密度函数可利用寿命的定义得到[20-21]。

3 轴向柱塞泵剩余使用寿命预测

以某型号航空轴向柱塞泵为例，进行轴向柱塞泵剩余使用寿命预测模型的建模及分析。轴向柱塞泵性能退化因磨损所致，可通过轴向柱塞泵的泄漏回油流量作为分析指标，其退化过程符合独立增量过程。因此，可以用非线性Wiener过程进行退化过程建模和预测。该案例对5台轴向柱塞泵进行转速为2000～4000 r/min、额定压力为28 MPa、累积运行时间为1000 h、失效阈值为2.8 L/min的寿命试验。其中1台轴向柱塞泵累积运行1200 h后到达失效阈值，故定义其寿命为1200 h[9]。

图2表示5台轴向柱塞泵的泄漏回油流量和工作时间t的关系。退化模型中利用泄漏回油流量代表退化量X(t)，模型中t表示轴向柱塞泵的运行时间，采用线性和非线性Wiener过程分别建模。利用图2中的数据和第一节介绍的模型参数估计方法估计出M0～M4模型的参数，比较模型之间的合理性经常采用AIC、BIC准则。本研究因为大样本量故采用BIC准则来评价，标准是以BIC值最小者为最优模型(包括负数)。

图2 5台柱塞泵的回油流量曲线[9]

表1 不同模型参数的估计值及BIC值

计算得到每个模型对应的BIC值如表1所示，由于M3模型的BIC值最小，所以确定M3模型来描述轴向柱塞泵的性能退化过程。

因为剩余使用寿命预测是在退化模型的基础上进行的，且M3模型具有良好的退化拟合性，所以拟采用M3模型进行其剩余使用寿命预测，并进行分析验证。将观测时间ti时的剩余使用寿命概率密度函数f(tf|ti,σa,σB,μa,b)最大值对应的时间近似为剩余使用寿命[22]。根据式(17)及图2的历史数据，得出M3模型在不同观测时间对应的预测剩余使用寿命和实际剩余使用寿命，如图3所示。

从图3可以看出，轴向柱塞泵在工作的0～1200 h内，不同观测时间，剩余使用寿命的实际值都会落在剩余使用寿命概率密度函数的范围内，且寿命的预测值都会落在实际值周围。同时，剩余概率密度函数的图像随着历史数据不断积累越来越陡。表明轴向柱塞泵的泄漏回油流量越接近失效阈值，剩余使用寿命的预测值的不确定性越小。实际剩余使用寿命和预测寿命以及误差率的比较，如图4a、图4b所示，在M3模型下前300 h，实际值和预测值误差率较大，但是随着数据的不断增加后面的预测值越来越接近实际值，误差率在不断减小。

图3 柱塞泵剩余使用寿命预测结果

图4 预测-实际寿命比较

为了验证所选M3模型的合理性，通过对比在相同数据的驱动下各个模型实际寿命和预测寿命的吻合程度。首先将M0，M1，M2，M4，4个模型作比较分析，选择最优的预测模型。将最优的模型再和M3模型比较其预测误差和误差率。如果M3模型的预测误差和误差率小于所选的最优模型，则说明了模型的合理性。反之，则不合理，选择M0，M1，M2，M4，4个模型中最优的模型作为剩余寿命预测模型。

下面使用单个产品的历史数据来验证模型，选择第4组轴向柱塞泵给出在不同的观测点处的剩余使用寿命。图5a～图5d表示M0，M1，M2，M4，4个模型预测结果。M0的预测结果与其他3个模型比较，其概率

图5 M0,M1,M2,M4模型预测结果

密度函数的最大值为10-23接近0，因此放弃M0模型。其结果是由线性和无随机效应导致的。M1模型是考虑了随机效应的线性模型，相比较M0有改善，但是相比M2，M4模型误差较大； M2是幂函数形式的非线性的过程(未考虑随机效应)，其拟合效果比其他模型的拟合更恰当，说明轴向柱塞泵的退化过程比较符合幂函数形式；M4是指数形式的非线性过程，也考虑了随机效应，但拟合效果不佳，不适合用来描述轴向柱塞泵的性能退化过程。因此M0，M1，M2，M4，4个模型中最优的预测模型为M2。

为了分析M2，M3模型，将2个模型预测结果的误差和平稳性进行比较。从图6可知无论是寿命的预测准确性还是预测稳定性，M3相比于M2预测更加平稳且误差更小，验证了具有随机效应幂函数的模型M3更适合用来预测轴向柱塞泵的剩余使用寿命。

图6 M2,M3预测结果比较

4 结论

本研究利用轴向柱塞泵的泄漏回油流量作为轴向柱塞泵的性能退化的指标，以泄漏回油流量观测数据为依据，应用一种非线性Wiener过程构建了轴向柱塞泵剩余使用寿命模型。从实例分析得出，采用M3模型的非线性Wiener过程的寿命预测模型相比其他的4种模型拟合效果，更接近轴向柱塞泵的实际寿命。该研究结果可作为后续研究柱塞泵健康管理的基础，在后续的工作中学科组将进一步开展寿命使用预测相关研究。