基于信息熵时间序列分析的圆柱群绕流流场复杂性研究

阴建军，贾 涛

(太原理工大学 电气与动力工程学院，太原 030024)

圆柱绕流问题是工程项目中最常见问题之一，是引起圆柱形管线破坏的主要原因之一[1].当流体流经圆柱形管群时会产生流场，而不同间距比下的管群后的流场是不同的，所以为了实现圆柱管道群的科学合理规划，需要对不同间距比排列下的管群的流场特性进行深入研究[2-3].多个圆柱体组成的圆柱群绕流系统是一个复杂的动态系统，其演化发展受到多种因素的影响，例如圆柱布置形式、间隙率、入流速度等因素，导致其尾流流态呈现不确定性.圆柱绕流流场混乱度的量化目前尚无公认的度量标准，而且对于如何定量描述流场变化情况的研究也比较少，绕流流场具有较大的不确定性，特别是多圆柱绕流流场，采用什么方法来衡量流场变化更为合理，无论在试验或者理论研究都有待进一步深入.

信息熵对信号的处理办法已经在两相流、水文学和污染物浓度预测等多个领域内得到充分的应用[4-6].绕流速度场中包含有大量的动态信息，是流动特性、柱体几何特性和排列形式等影响因素的综合体现.目前主要采用平均流向或竖向速度来对尾流区流场结构特性进行研究，周强等[7]运用基于Smagorinsky亚格子模型的大涡模拟方法分析了尾流区的流场结构,并给出了平均流场以及湍流流场的流场特征.张立[8]采用有限体积法对二维圆柱绕流流场中反向对称漩涡的演化过程进行研究，得出演化速度呈现M型分布规律.Zhou Y等[9]实验研究了两个并排圆柱的湍流尾流结构，探讨了旋涡的相互作用机制.通过以上文献可以了解到，国内外众多学者对尾流结构特性都进行过研究，但对于定量衡量流场特性方面还未形成公认的研究方法.多数研究人员[10-12]采用对流场流速的测量方法进行衡量，但未对速度信息中包含的可用信息进行深入的研究，所以对于定量衡量流场特性采用什么方法对速度信息进行深入挖掘显得十分重要.

本文采用有限元方法对均匀来流条件下圆柱群绕流问题进行数值模拟研究，并运用基于信息熵的时间序列方法着重分析了采样区域流场特征，以一个新的角度来对定量衡量流场特性的变化规律进行探讨.

图1 计算域及边界条件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

表1 单圆柱绕流计算结果比较Tab.1 Calculation results of flow around a single cylinder

1 数值方法

1.1 控制方程

流体域的控制方程为二维不可压缩粘性流体的连续方程和Navier-Stokes方程，其直角坐标系下的表达形式如下：

(1)

(2)

(3)

式中ρ为流体密度，t为时间，P为流场压力，u、v为速度分量，μ为流体动力粘度.

1.2 计算区域及边界条件

设置柱群距离入流边界为10 D，距离出流边界为40 D，距离上下边界为20 D，两个圆柱的中心之间的距离为L，间距比为L/D，U0=1 m/s为均匀来流流速，D=0.2 m为圆柱直径，流体域采用非结构化网格进行离散并对圆柱体表面及尾流区等流体力参数梯度变化较强烈的计算敏感区域进行局部网格加密.矩形采样区域(宽度为D)位于柱群中心线上，如图1中虚线部分所示，文中所计算的数据均来源于采样区域.

计算域边界条件设置如下：圆柱表面采用无滑移边界条件，进口采用均匀来流条件，出口采用自由流出流边界条件，上下边界采用对称边界条件，如图1所示.

1.3 模型验证

为了保证数值模拟的可靠性，本文计算了在Re=200的条件下单圆柱的绕流问题，并将计算结果与相关文献的结果进行分析比较，如表1所示.验证算例结果表明，本文所采取的数值计算方法是合理可行的.

2 信息熵及ARMA-GARCH模型

2.1 信息熵

1948年，克劳德·艾尔伍德·香农[16]在他著名的《通信的数学原理》论文中指出：“信息是用来消除随机不确定性的东西”，并提出了“信息熵”的概念(借用了热力学中熵的概念).从此，信息熵开始进入科学领域，它在定量化衡量进程中与物理概念中的“熵”紧密联系起来.信息熵是一个系统中信源的不确定性度量，依据表征信源的不同，信息熵已被广泛运用在各个学科领域，并取得丰硕成果[17-18].

对于多体绕流流场采样区域的离散平均速度信号V={v1,v2，…，vn},称为信息符号，V的概率向量P={p1,p2，…，pn}，称为信源.Shannon用熵来评价整个随机变量V平均的信息量，而平均最好的量度就是随机变量的期望，即信息熵的定义如下：

(4)

从信息熵的定义可以得到,流场越不稳定,熵值就越大，信息熵反映了尾流流场的流动形态和稳定性，尾流运动越剧烈,速度变化频率越大,则系统的不确定性越高,熵值就越大.

图2 ARMA-GARCH建模流程Fig.2 ARMA-GARCH modeling process

2.2 ARMA-GARCH模型

信息熵的变化不仅受到流场滞后性的影响，而且还受到流动中各种不确定因素的影响，所以描述信息熵的变化可以采用ARMA-GARCH模型.文章用于分析信息熵的ARMA-GARCH模型，即均值满足ARMA过程而残差满足GARCH过程的模型.

ARMA模型即自回归移动平均模型(auto-regressive and moving average model)，该模型由自回归模型(AR模型)和移动平均模型(MA模型)组合而成[19].ARMA(p,q)的一般形式如下所示:

(5)

其中,p为AR过程的滞后阶，q为MA过程的滞后阶，p和q都是非负整数；εt为随机误差项，为白噪声过程.

(6)

本文对信息熵的具体建模步骤如图2所示.

3 结果与讨论

在小间距比时(L/D=1.1)，由图3可以观察到柱群上下侧近邻表面处形成周期性交替脱落的旋涡，此时与单柱绕流时形成的卡门涡街现象相似，流体作用于柱群的力主要由第一列圆柱承担，整个流体域内的流场具有较规则的对称性.当间距比为1.5

随着间距比逐渐增大(2.54.0)，间隙流的影响逐渐减弱，相邻排圆柱之间的影响减弱，此时流场状态逐渐变得较为规则.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0图3 不同间距比下的流场速度云图Fig.3 Velocity cloud diagrams of the flow field under different spacing ratios

本文运用Matlab软件，对尾流采样区域的信息熵进行时间序列分析.如图4所示，随着间距比的增大，

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0图4 不同间距比下采样区域信息熵序列图Fig.4 The information entropy sequence diagram of the sampling area with different spacing ratios

信息熵波动幅度呈现出先增大后减小的趋势，这是因为在小间距比下(L/D<1.5),柱群尾流流态类似于单圆柱绕流，间隙流影响较小，所以采样区信息熵波动幅度较小.当间距比为L/D=2.5～3.5时，圆柱表面剪切层逐渐脱落，形成旋涡，并且伴随着间隙流逐渐增强，尾流中各尺度旋涡相互融合，消耗，所以此时信息熵波动幅度增大.当间距比L/D>4.0时，由于采样区位于第二排圆柱之后，间距比的增大使得其他圆柱对其流态影响较小，这时信息熵波动幅度减小.

文中提取25～50 s数据变化较平稳的阶段进行ARMA-GARCH建模.经过平稳性检验，所有间距下的信息熵序列均是不平稳的序列，所以均采用DFA方法去除序列的线性趋势，并且全部通过ADF平稳性检验，去除结果如图5所示.序列的相关系数均没有出现明显的截尾情况，所以采用AIC信息准则来判断合适的阶数.对选用的ARMA模型的残差进行LBQ 统计量检验，以确保建立模型的残差彼此独立，保证建立模型的准确性.当模型残差通过检验后，可以进一步进行ARCH效应检验，如果通过检验，说明运用ARMA模型较为准确的拟合熵值序列，如果未通过检验，说明残差序列存在条件异方差ARCH效应，因此需对ARMA模型的残差建立GARCH模型，来提高模型精度.综合以上判断，拟合出的模型参数结果见表2.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0图5 平稳信息熵序列及去除线性趋势Fig.5 Stationary information entropy sequence and removal of linear trends

从上述模型复杂程度上可以看出，当L/D<3.0时，拟合模型的阶数均小于ARMA(3,3)-GARCH(1,1)，此时各间距比下的拟合模型没有较大变化(其中L/D=1.1时的拟合模型为ARMA(3,2)).当L/D=3.0和3.5时，模型阶数达到最大ARMA(5,5)-GARCH(1,1)，这主要是由于当圆柱后流体流动状态发生改变，圆柱后开始产生旋涡，再加上间隙流与之相互耦合，导致柱后熵值波动范围增大，从而使用较高阶数的模型才能精确拟合熵值变化情况.当L/D>4.0时，模型逐渐简化，在低阶时便可较精确拟合熵值变化，其中当L/D>4.5时，残差序列的ARCH效应消失，可以用ARMA模型较为精确拟合熵值变化，这主要由于采样区域的局限性，此时更多反映出的是单排圆柱的流场变化情况，间隙流和相邻圆柱脱涡对采样区域的影响较小，流场变化较稳定.综上所述，采用ARMA-GARCH模型可以较为精确的拟合流场变化情况.

4 结论

目前对流场特性的研究多采用速度场这种传统方法来表征，如何对其定量衡量是研究的重要方向.针对这一现象，基于信息熵的时间序列分析方法的运用，丰富了钝体绕流尾流流场探究不确定性的研究方法.为了较好的演示流场数据的规律，通过数值模拟验证了该方法在定量衡量流场特性方面的有效性.在之后的工作中，信息熵可以在更加复杂的流场信息中进行数据挖掘，以实现对流场特性研究的精确定量衡量.

表2 不同间距比下采样区域信息熵的ARMA-GARCH拟合模型结果Tab.2 ARMA-GARCH fitting model results of the information entropy of the sampling area under different spacing ratios