许斌
数学概念是思维的基本单位,是学生认知的基础,是数学教学的核心。李邦和院士指出:“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧的。技巧不足道也。”由此可见,数学概念在数学学习与数学教学中具有重要作用。然而,在实际教学中,概念教学采用“一个定义,三项注意”式的讲解现象依然存在。部分教师用大量练习代替概念理解,把学生当成知识的容器。这样的概念教学,不仅会给学生造成认知上的障碍,而且丧失了数学概念的教学功能,大大削弱了概念教学的育人价值,不利于学生数学核心素养的形成。下面,笔者以“有理数的乘方”为例,略谈如何通过概念教学发展学生的数学核心素养,落实育人价值。
一、有效创设问题情境,激发学生求知欲望
人们认识事物的过程是从具体到抽象,从特殊到一般的认知过程。因此,概念的引入环节,要考虑从学生的认知水平出发,贴近最近发展区,创设学生熟悉的、生动的、有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣和求知欲,为概念的引入创建一个良好的环境。
问题1:数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题,在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘,请用算式表示毛驴、口袋、面包、餐刀、刀鞘的数量。你能根据已有的经验用简洁的方式表达这些算式吗?
问题2:将一张A4纸对折,再对折……折叠6次后,用算式表示对折后纸张的层数。折叠10次呢?你能用简洁的方式表达吗?你还能举出类似的实例吗?
设计意图:兴趣是最好的老师。《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出,课堂教学应创设丰富、合理的教学情境,激发学生学习兴趣,调动学生参与课堂学习的积极性和主动性。本课例从古代数学问题和折纸这两个活动出发,让学生感受相同因数的乘法在实际生活中的应用,初步建立相同因数的乘法模型。学生通过书写这些乘法算式的麻烦与不便,感受引入简洁表达的必要性和必然性。裴光亚先生指出,概念的引入,要精心设计,先把学生引入一种“愤”“悱”的状态,然后因势利导,由感性逐步上升到理性。
二、自主归纳生成概念,理解概念的内涵
学生学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。七年级的学生有强烈的表现欲,因此,课堂上应预设给学生足够的时间和空间参与活动,让他们经历观察、猜想、推理、验证等活动,在活动中培养会观察、积极思考、合作交流、善于表达的学习习惯。
问题3:观察问题1、2 的算式,它们有何特点?你能将这样的乘法算式一般化地来表达吗?请你对乘方下一个定义。
设计意图:章建跃指出,概念教学的核心是概括,即以典型丰富的实例为载体,引导学生展开观察,分析事例的属性,抽象概括共同本质属性,归纳得出数学概念。本环节精心设计问题串、题组串,引导学生经历观察、概括、抽象、总结等活动,建构对乘方概念的定义、内涵及其外延的理解,深化对乘方概念的理解,培养学生学会观察、善于总结、勇于表达的学习习惯,发展学生的数学素养。
三、合作交流建构新知,经历法则生成过程
《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出,认真听课、合作探究、动手操作是课堂学习的主要形式。对课堂的重难点内容设计合适的问题,让学生在独立思考的基础上进行小组交流、討论,然后在全班展示,在展示中碰撞智慧,共享成果。本环节的关键是教师要精心设计问题,让学生在合作交流中,沿着铺好的路径,拾级而上,生成新知。
问题6:从问题5可以看出,底数与指数的特征决定幂的结果的符号,请将问题5中的算式按照底数的特征或指数的特征或幂的符号特征,进行合理分类。通过分类、归纳、提炼,你能发现幂在符号上有哪些规律吗?说说你是如何发现的。
设计意图:基于学生已有的探究有理数加、减、乘、除运算法则的经验,本课例放手让学生对幂的符号法则进行探究,其中如何分类可能对一部分学生来说不容易想到。在问题阐述时,教师给学生3个方向:底数的特征、指数的特征、幂的符号特征。根据这些思考的方向,学生先独立思考,再小组合作,最后全班展示交流。这是本节课的重点,也是难点,因此这个环节要给学生充分思考、交流的时间和空间。在全班交流过程中,教师追问“你是怎么发现的”,让学生说出发现背后的想法,培养学生有理有据的说理意识,让学生感受数学的严谨性、简洁性。
四、巩固应用新知,发展数学思维
题组A:(1)110= ,12020= ,(-1)10= ,(-1)21= ;(2)从上述的4 个式子中,你还能发现乘方的一些规律吗?说说看。
题组B:(1)3 的平方是多少?-3 的平方是多少?平方等于9的数有几个?(2)有没有平方等于-9的有理数?(3)有没有平方等于0的数?(4)通过对前3问的研究,你能发现任意一个数的平方有什么样的特征吗?(5)还有哪个概念也具有平方一样的特征?请利用这一特征,解决下面问题:若a、b 满足等式|a+2|+(b-1)2 =0,求a、b 的值。
题组C:已知一张A4纸的厚度为0.1mm,若将其对折30 次。(1)用适当的方式表达折叠30次后的高度;(2)猜想这个高度会超过珠穆朗玛峰的高度吗?
设计意图:本环节设计3个题组,一方面让学生感受乘方在生活中的应用,巩固乘方的概念、乘方的运算法则等,另一方面引导学生要善于观察,学会总结、反思,通过问题的解决享受发现的快乐,体验成功的喜悦,从而进一步激发学习的热情和兴趣。同时引导学生要学会反思,学会发现,做到“入宝山不空返”。另外,通过折纸操作活动,调动学生参与的热情,同时也让学生感受当底数大于1 时,幂的增长速度很大,远远超过想象,引导学生体会不能凭直觉思考问题,要用事实说话,培养学生的理性精神。
五、总结提炼,提升数学育人价值(略)
数学概念是数学大厦的基石。“基础不牢,地动山摇”,不夸张地说,概念教学的成败决定了学生数学素养的高低。因此,一名数学教师在教学中务必认真研读教材,理解教学内容的地位、作用,深入思考教学内容的内涵、外延及其蕴含的思想与方法等。精致概念教学设计,创设丰富的课堂活动,让学生积极主动参与,在活动中提升能力,发展素养,提升思维品质,这样,学科育人才不是一句空话。