案例教学法在计算机专业数学课中的应用

赵尔敦，张茂元

（华中师范大学 计算机学院，湖北 武汉 430079）

0 引言

理工科研究生侧重于工程应用与实践，研究生阶段的教学时间短，数学类课程不宜采用本科的教学模式，分多课程、多学期完成。因此，在研一阶段开设矩阵分析与统计理论课程，综合讲授研究生阶段所需数学基础知识，是一个有效的方式，但在有限的课时内采用传统的讲授和课程作业等方式，显然难以奏效，这就需要采取新的教学模式。

基于案例模式的教学方法已经有大量的研究，在本科生专业课中得到广泛运用[1-3]，随着研究生规模扩大，在研究生的专业课程建设中也逐步采用了案例教学方法。基于研究生与本科生学校目标的不同，文献[4]和[5]探索了研究生教学中的一些问题和特点，文献[6]和[7]则分别基于科研成果或科研问题探索了基于案例教学的运用方式。但对于研究生数学学位课，其基础性和理论性都很强，如何加强理论基础的同时，采用案例教学模式，助力学生尽快走向实际科研，则是一个值得研究的新问题。

1 案例教学模式的内容

1.1 案例驱动教学模式的特点

本文根据理工科研究生对数学知识的特殊要求，改变传统的教学模式，进行教学新方法的探索和研究，本文采用的案例驱动教学模式主要特点有：

（1）采用综合性工程案例作为教学主要内容。由工程项目的需求引导出相关知识，激发学生的学习兴趣，让学生在工程问题的求解中，加深对知识的理解，克服灌输式教学方式的枯燥乏味，使教学效果更显著。

（2）基于案例实践的教学方式。将多个理论知识点贯穿在综合的工程问题中进行教学，不再以某个单一的理论知识点为单元进行讲授，让知识以相互联系的应用方式呈现在学生面前，从而让学生在解决问题的实践过程中发现和掌握知识，提高教学效果。

（3）本模式将充分体现学以致用，用以促学的观念，并加以实践运用。

1.2 案例驱动教学的具体内容

本模式通过当今科技新领域的实用工程案例，选择教学内容和资源，并引导整个教学过程。

（1）探索研究生数学课工程案例驱动的教学新方法。从理论上分析工程案例驱动教学方法的可行性及存在的问题，研究如何在数学课中采用案例驱动的教学方法，制订工程案例驱动教学的教学流程。

（2）研究综合的、特色明显的、能体现综合多个知识点的工程案例，并建设相关案例资源。在目前热门或领先的专业领域，抽取出能综合体现若干数学知识点的实际工程问题，构建出求解整个工程问题的详细过程，展示所学数学知识点的内容及运用方式。

（3）探索工程案例教学的实践方法。根据工程案例驱动教学方法，利用建设的案例资源，在实际教学中进行教学实践、积累经验、评估效果、总结效果，得出可供参考的结论。

（4）建设较为完整的案例驱动教学教案、教学资源。

2 需要解决的若干问题

1）工程案例驱动的教学方式和方法。

案例驱动的教学方法，将不再以单个知识点为单位逐一展开，而采用在各知识点的简单介绍之后，直接引入工程案例，在工程案例的解决过程中，探求所需要掌握的知识点，引导学生寻求和学习相关知识，从而将所学知识和工程案例有机地融合起来，达到理论与实践相结合的学习目的。这是一种全新的模式，学生的学习环境和方式与传统方式很不一样，教师如何进行组织和引导，采用何种形式，如分组还是独立完成学习和作业，都是需要研究和解决的问题。

2）理论知识点的概括与整理。

案例驱动的教学方法，重点是如何概括和整理知识，选择合适的案例进行高效的教学。根据课程内容要求和学时安排，如何将知识点进行分割、组织成案例，案例需要重点展示哪些知识点等，是设计一个好的案例必须考虑的问题。因此，在案例选择之前必须充分概括和整理教学知识点。

3）典型工程案例选择和建设。

案例驱动的教学方法，重点是案例的选择和建设。好的案例能兼顾工程应用背景，同时能够将知识点综合概括。确定工程案例选择的一般方法和原则，选择出典型的工程案例，是需要具体解决的重要问题。

4）工程案例驱动教学的实践过程与方法。

如何在教学实践中具体实践案例驱动的教学方式，以达到较好的教学效果，是实施案例驱动教学需要解决的一个主要问题。方法和案例资源能否有效，重要的是在实践中得到检验。

3 教学内容的组织——以矩阵分析与统计理论课程为例

我们以矩阵分析与统计理论课程为例，根据课程内容，选择大数据领域、网络信息领域、机器视觉等领域的科研问题作为案例。

3.1 课程理论的精炼、提升与疏导

由于课程课时有限而内容较多，应在课本知识的基础上，对课程结构的组织思路进行梳理，对主要理论内容进行提升和精炼，有选择性地进行教学，同时结合本领域科研发展方向的概念、算法等讲授。案例教学法主要着眼于实践，因此需在概念理解上进行提升。

1）矩阵分析部分内容的提升与疏导。

以矩阵分析中的线性空间内容为例，可以将向量和线性空间的概念高度抽象；从本科高等数学中的“二维向量空间”概念推广到一般“广义的向量空间”概念，强调向量的高度抽象化的理解。指出向量不限于某种具体形式，可以是任何抽象的对象，如函数、自己定义任何对象等，而线性空间是满足一定条件的向量集合等。

对于不好理解的概念，则采用理论到具体的方式举例，加深理解，如空间、子空间、子空间的和、直和等概念，学生不好理解，在课堂上采用学生熟知的几何直线、平面、超平面等具体化空间进行子空间、和空间、直和、正交补等概念和运算的讲授，形象具体。

2）数理统计部分内容的提升与疏导。

以本部分的主要概念进行梳理，强调统计理论的总体目标是从样本推断出总体性质这一基本点，同时对本科阶段学习的随机变量、参数估计、假设检验等概念和理论进行理解上的提升。

例如概率、随机变量的概念可以从测度论的理论高度上进行阐述，讲述概率测度、概率空间等概念，而随机变量实质上则是某个实验结果空间上的一种映射等。

再如极大似然估计方法的实质，在理论上可以重新定义和理解：设样本为一多元随机向量，则似然函数即为多元随机向量的密度函数，样本随机向量在密度函数最大处即是极值上概率强度最大。用这种观点进行解释和定义，不仅容易理解，更将学生引导到多元统计分析的思维方式，进行了一种概念和理论的提升。另外，用随机向量的概念来理解，既是矩阵分析知识的抽象和应用，又加强了对日后科研工作中会遇到的一些数学概念的理解。

又如假设检验的概念，重点讲述假设检验的实质，即用机器学习中的分类观点进行解释：对于假设检验中的拒绝域概念，给出一个新视角：假设检验→拒绝域→分类问题。这样不仅能从理论高度重新认识假设检验问题的实质，又能将知识点引入学生们感兴趣的、目前热门的机器学习等科研方向上来，从而加强案例教学模式的效果。

3.2 案例的选择

案例的选择一般应紧密结合教材核心内容和当前最新科研方向，做到既能契合重点部分的内容，同时兼顾教学前后的内容。

如对线性空间、坐标变换的内容，可以选择机器视觉中的应用案例：工业相机的校准问题。该问题可以通过这样的概念转换过程进行引导：相机的成像原理→相机坐标、世界坐标→刚体变换、平移变换→仿射变换、透视变换→成像畸变、校准算法等。

又如对内积、距离等概念，可以从大数据中的特征选择、特征向量、向量相似度等工程背景中去定义和选择案例。在基向量的讲授中，则可引入径向基函数及其应用的案例等。

再如对矩阵范数、矩阵微分内容，则可以选择目前广泛关注的支持向量机、卷积神经网络，优化问题中的案例，从而引出梯度下降搜索算法、神经网络的训练过程、常见二次型的优化模型的求解等内容。

在统计理论中，则可以选择机器学习中最常用的一些算法和应用作为案例：如多元回归、逻辑回归的具体应用等，距离判别、聚类等的应用；主成分分析在人脸识别中的应用等案例。

4 教学过程和考核方式

4.1 教学过程

本模式教学过程和方法较为灵活，可以采用多种不同的方式、在不同的环境下教学。一般应包括理论讲授过程、课后作业过程、自学与讨论过程、案例实践过程等几个环节，采用以下教学流程进行：概述→概念讲授→案例的数学模型→理论知识学习→知识应用与实践→文献阅读与创新。

（1）概述：讲述理论内容的知识背景，应用领域和应用方式，通过案例引出科技问题，并引导出所需本课程的概念、知识点。

（2）概念讲授方式：通过类比的方式，重点阐述概念的理解，比如矩阵向量的范数、矩阵和向量的极限，可以类比到数的绝对值、数列的极限等概念，力求学生对概念有较深入的理解。

（3）案例的数学模型：通过知识的介绍，引导学生针对提出的科研案例问题，利用数学理论建立数学模型。

（4）理论知识学习：针对提出的案例问题和确立的数学模型，选择性学习课本知识；学习方法是，教师初步讲解理论知识，重点鼓励通过学生自学、讨论、课后作业的方式完成定理的证明和例题的阅读，节约有限的课堂时间。

（5）知识应用与实践：通过理论知识的学习，利用科学计算软件求解出所建立的数学模型，这部分可通过课外或实践课完成；可以分成两部分来实现，第一部分，要求学生在理论作业完成过程中充分学习和运用Matlab 等科学计算软件；第二部分，则要求学生在工程案例实践中，对数学模型设计算法，采用Matlab 等计算软件进行工程案例的实践计算。

（6）文献阅读与创新：应用所学概念，查阅相关的英文文献，结合自己的研究方向，利用本课程的知识进行文献阅读，指导学生建立科研问题的数学模型，并加以计算实践。

4.2 考核过程

考核过程可以分为平时和期终两个阶段，平时以考勤、课堂讨论、理论作业、案例实践作为考核方式，期终考试则可以采用理论考试和文献阅读两部分组成，既考查平时的学习情况，又考查学生理论学习和实际科研能力。

5 实施的效果

本教学模式在本院进行的教学实践中，初步达到了以下效果。

（1）学生对课程体系的认识、课程的应用上有较好的理解，认识到该课程的重要性和实用性。

（2）学生的理论水平有所提高，在较高层次上来理解课程概念与内容，有助于学生在文献阅读、新知识的学习和应用上，提高信心，提高分析和解决问题的能力。

（3）学生的目标有所变化，不再是为做题而做题，而是以解决科研问题为目标进行学习，逐步实现科研实践与理论学习相结合，如很多学生与教师交流时，讨论的不再单纯是课程知识，而是自身科研工作中具体问题。

（4）在讲授过程中，逐步不再以课本为蓝本，而是从教师的自身理解和科研体会中，对课程内容进行新的构思，逐步完善基于案例驱动的教学方法。

（5）设计了案例驱动教学的课程标准和规范的教学流程，逐步完成综合矩阵分析、应用统计课程的工程案例资源建设和教学课件的制作。

6 结语

针对计算机专业这类实践性比较强的理工科专业，在数学理论基础课中采用基于案例的教学模式，看似不务正业，实则能大大提高学生的学习兴趣，从而改善教学效果。但是一种新的模式的教学，往往存在许多亟待解决的问题，如教材知识的提炼、实践案例的选择、教学方式和进程的安排等，则需要更长时间的探索和研究。