居家实验：蛇摆的设计与制作

赵海发，朱瑞滨

(哈尔滨工业大学 物理实验中心，黑龙江 哈尔滨 150001)

单摆是最简单的物理摆，1582年伽利略通过观察教堂中吊灯在微风下的摆动发现单摆具有等时性，1657年荷兰物理学家惠更斯根据单摆的等时性设计制造了计时仪器——摆钟，摆钟的发明提高了当时计时的精度.

1991年马里兰大学的Richard E. Berg描述了利用1组无耦合单摆阵列构建摆波(Pendulun waves)的演示实验[1],实验展示出蛇摆会变幻出很多非常优美的阵型，给人惊奇的观感. 2001年James A. Flaten等人在理论上对蛇摆的运动机理做了详尽的理论分析[2]. 蛇摆的设计非常巧妙，蕴含很多物理原理和原理的巧妙应用[3],通过巧妙的物理设计让相互无耦合的单摆之间加进时间关联，使得各单摆阵列在摆动过程中演化出一系列规律的阵型，而这些阵型是设计时已计算好的动作. 蛇摆教学实验既包含精妙的物理思想，又包含参量的设计选择，再到实验仪器的搭建以及精细的调节过程，是一个教学内容非常丰富、全面的实验.

在今年疫情期间，哈尔滨工业大学开展了居家大学物理实验教学活动. 将“蛇摆的设计和制作”列为必做的实验内容，为便于学生尽快入手，给学生提供了相关的参考资料和制作要点提示. 教学实践表明学生非常喜欢这个设计性DIY居家实验. 当学生经过自己努力和教师线上指导终于圆满完成实验内容后，学生获得了成功感，在实验过程提高了分析能力和动手能力.

1 实验原理

1.1 单摆和重力加速度

单摆是由1根不可伸长的轻质细线和悬挂在此细线下体积很小的重球所构成. 在摆长远大于摆球直径，摆球质量远大于细线质量的条件下，将悬挂着的小球自平衡位置拉至一侧很小的距离，使摆角小于5°，然后释放，摆球即在平衡位置附近作周期性振动，其振动周期为

(1)

其中，g为重力加速度，L为摆长(摆长为摆线固定端到摆球重心的长度). 根据(1)式，可以得到重力加速度的测量公式为

(2)

实验时，选取合适的摆长L，并测量摆的周期T,得到重力加速度g.L值是设计蛇摆时的关键参量.

1.2 蛇摆的设计原理

蛇摆是由等间隔排列、振动频率等值变化、无耦合的多个单摆组成的单摆阵列，如果同时将其从最大摆幅处释放，随后会展现出一系列奇异的空间分布变化，展现出从行波、驻波、混沌再回到有序的周期性变化.

1)蛇摆的设计的关键参量

图1 蛇摆的空间构型

根据上述分析，可以得到位于x=id位置处的第i个单摆的周期为

(3)

由式(1)，可得第i个单摆摆长公式为

(4)

或

(5)

可以看出不同位置处的单摆摆长不同.

2)蛇摆的运动状态分析

让上述设计的各单摆同时(t=0)从最大摆幅开始释放，由于它们的周期不同，它们的相对相位随着摆动而逐渐变化. 由于单摆的运动满足余弦函数，则位于x处的单摆的横向摆动方程为

(6)

上式可以整理表达成

(7)

在随后的任一时刻，整个单摆阵列中相邻的2个单摆的相位差是固定的，但是此相位差数值会随时间逐渐增大. 这就会造成整个单摆阵列类似余弦函数的阵型出现. 假设n=14，所有单摆初始摆幅相同(同为最大摆幅)，分析可知在随后的几个特定振动时刻单摆阵列的图样会如图2所示. 例如，在时间t=Γ/2，每个单摆正好处于与最邻近的单摆反相的状态，所以邻近单摆间的相位差为π. 整个单摆整列分别排列成2行，阵线分明. 其他阵型也可同理分析得到.

图2 蛇摆在振动的不同时刻摆球的分布形态

3)蛇摆参量设计

根据图1分析，蛇摆中各单摆(随x增大)的振动频率按规律逐渐递增，摆长逐渐减小. 设计蛇摆时，主要要考虑以下因素：

a.摆球个数，也就是n的选取，摆球越多当然视觉效果越佳，但是制作和调节难度也增大；摆球少，调节容易但相应的表现效果差. 10～15个摆球比较合适，这样可以保证成三排时，每排有3个或以上的摆球.

b.相邻单摆的频率差(这里等于公周期的倒数)不要取太大，一般以0.04左右为佳，这样可以比较细腻地表现蛇摆的阵型演化. 如果频率差过大蛇摆的阵型变化会非常快，不容易观察到阵型的演变;如果频率差过小，相应的公周期过长摆幅会随时间衰减影响效果. 另外也需要更多个数的摆才能比较完整地表现蛇摆的整体运动，同时也会使实验调节困难，所以对应的公周期以25～60 s之间为宜.

c.N的取值，N越小单摆的周期越大、摆长越长，实验调节越容易，但是摆长太长，整个蛇摆占的空间也大，一般以每个单摆的周期在1 s左右变化为宜，这时对应的15个单摆的摆长在20～40 cm之间，实验时摆长调节在mm精度就可以达到较好的效果.

d.蛇摆设计时重力加速度要取本地加速度的标准值，具体可以通过网络查找.

根据以上综合分析，推荐选取蛇摆的参量为N=50，n=14，Γ=60 s，学生也可以根据居家条件自己选择合适的参量. 据此根据蛇摆的设计规律和单摆周期公式(1)可以得到15个单摆的周期Ti和摆长Li具体参量.

4)蛇摆的搭建

首先要找到合适的直杆，长度不小于60 cm. 在居家的条件下摆球可选择玻璃球、大螺帽等重些的物体，在选择摆球物体时主要考虑形状简单、对称，容易确定重心，易于计算摆长. 摆线可选大力马鱼线(这种线无弹性、无记忆，强度也很高)，其他线可能衰减会大.

制作蛇摆时，各单摆摆动时一定不能左右晃动，只能前后摆动，为此可以采用V型连线连接摆球；在摆线和杆固定方式，要便于摆长调节，不可直接固定死. 建议居家实验时采取先用胶带把摆线粘接在杆上，实验过程中如某个摆摆动规律异常，可以很容易地细调这个单摆的摆长.

2 实验内容

实验的实验内容包括：利用单摆原理测量学生居家当地的重力加速度大小，设计和制作蛇摆. 这2项内容联系紧密，可以很好地融合.

2.1 测量重力加速度g

利用单摆测量本地重力加速度，实验时要设法测得比较准确的单摆周期和摆长. 周期测量可利用PHYPHOX软件的磁力计、加速度测量和计时秒表功能. 实验中摆长要适当(>50 cm)，另外要通过测量多次摆动的时间来获得振动周期T. 居家实验实验结果精度要求在2%内.

2.2 蛇摆中各单摆摆长的确定

设计蛇摆时要利用当地的重力加速度标准值，网上可以查到哈尔滨地区的重力加速度大小为g=9.806 6 m2/s. 蛇摆参量可选N=50，n=14，Γ=60 s. 然后计算得到蛇摆的各个单摆的周期和对应的摆长.

2.3 蛇摆的组装和细调

按照各单摆摆长的计算值来组装蛇摆，组装时需要注意单摆摆长越小时安装调节摆长时越要精细，组装好后先观察蛇摆的初始摆动效果,进而反复地细调. 调试时要注意观察这几个重要时间节点时蛇摆的状态：1/3公周期时，摆球应为3排排列；1/2公周期时，摆球应为2排排列；2/3公周期时，摆球又为3排排列；1个公周期时，摆球应为1排排列. 实验时可以用手机录像记录和分析这几个时间节点，如某个单摆不符合预期须仔细调节此单摆摆长，使其达到预期效果，然后录制1个公周期时间的蛇摆运动，作为实验报告的附件提交.

3 居家实验教学的效果和体会

单摆和蛇摆的设计与制作实验原理简单，通过分析既可容易掌握. 重点和难点在于实验搭建和耐心调节的过程. 因为此实验趣味性和实践性比较强，虽然调节有一定难度，但还是受到了学生的欢迎. 有很多学生做出了非常漂亮的蛇摆(图3). 居家实验教学也遇到难点问题，比如有的学生动手能力比较差，遇到问题有畏难情绪，家中可用材料不足，要自己考虑解决，学生不习惯这样的实验，遇到这些问题教师需要通过正确引导、耐心的讨论和指导和适当的鼓励帮助学生解决问题.

图3 学生制作的蛇摆