活用画图技巧培养数学素养

宋楚楚

【摘 要】“植树问题”是人教版《数学》五年级上册“数学广角”的内容，重点是研究当两端都种时棵数与间隔数之间的关系。学生在探究这一问题时，往往会采用“画图”的方法，因此如何画图，怎么用图是这节课的重点之一。在这一过程中，有意识地培养学生数学建模、对应、数感等高阶思维能力和“选择简单的数研究”的数学思考方法;感受数学与现实生活的紧密联系，体验成功的喜悦。

【关键词】画图技巧;一一对应;简单的数据

一、创设情境，揭示课题

教师伸出一只手，指着手指与手指之间的距离问：“同学们，你们知道这段距离叫什么吗？我们把这一段距离叫做间隔。”

课件播放图片：一排做操的学生中的3个人、路边的两根电线杆、路边的4面彩旗、路边的5棵柳树。

师：用手比划下间隔数和棵数。

生1：3个人之间有2个间隔。

生2：两个电线杆之间有1个间隔。

生3：4面彩旗之间有3个间隔。

生4：5颗柳树之间有1个间隔。

师：今天这节课，我们就来研究一些简单的与间隔数和棵树有关的问题——植树问题。（板书课题）

设计意图：在实际的教学中，学生往往对于“间隔”的理解有偏差。在本课的引入时，先让学生观察现实生活中不同场景的间隔是怎么样的，图形中的间隔是怎么形成的，初步体会间隔和“棵数”之间的关系。

二、活用技巧，激趣引知

（一）课件出示情境

在1000米长的路上，一边种树，每隔5米种一棵（两端都种）。一共可以种多少棵树？

师：从题中你得到了哪些信息？

生：在1000米的长的路上，一边植树，每隔5米种一棵，两端都种。

师：一边植树是什么意思？

生：路有两边，只在一边植树。

师：两端都种呢？

生：一头一尾都种树。

师：这道题你是怎么想的？请先尝试列算式解决。

学生出现三种算式，分别是：1000÷51000÷5+21000÷5+1

师：哪个算式是正确的？如何验证？

学生猜测，并指出可以通过画图的方法验证。

师：可是1000m太长太麻烦了，怎么办？

生1：可以选择小的數。

生2：可以选择从20m的路上研究。

生3：也可以选择从30m的路上研究。

板书：从简单的数据研究

师：那我们先选择在20m的路上研究吧。请同学画一画，算一算。

设计意图：出示“种树”的情境，先让学生列算式解决，展示不同的算式，把学生的想法暴露出来。怎么去验证哪个算式是正确的？学生都能想到用“画图”的方法。而情境中的数据太大，引起学生思考，数据太大时可以选择从小的数据研究，找到规律。

（二）画图解题，探究规律

出示学生的作品。

先展示错误的画法。

师：请你判断这些同学画的图是否正确？

生1：是错误的。题中要求是“两端都种”，他只种了一端。

生2：是错误的。一个间隔长5m，这里有5个间隔，一共是25m了，与题意不符。并且按照他的画法，总长度他也标错了。

师：这两位同学在指出错误时都提到了一个关键的因素——与条件不符！所以画图时，我们要注意什么？

生：与条件相符合。

师：是的，我们所画的图一定要和题中的条件一致，这样才能帮助我们正确地解决问题。

师再展示正确的画法。

师：谁来说说怎么画才正确？

生：一个间隔是5m，4个间隔就是20m，首先要符合题意。而且两端都种上树了。

师：你觉得他的画法正确吗？谁还有补充？

生：正确，不过我们可以用线段图来画。

师追问：为什么选择线段图？

生：因为这样的图比较简单，把树画成一棵棵树的样子太浪费时间了。

师：想要画出正确的图，还要注意什么呢？

生：不要忘记检查，画出的图是否和题中的要求一致！

师生一起小结正确的画法：首先要理解题意，其次可以用线段图的表示，一个端点表示一棵树，一段线就表示一段间隔。最后注意检查总长度和条件是否相符。

设计意图：展示正确的和错误的画法，让学生在不同的画法中体会图一定要和条件一致才能帮助解决问题。最后老师让学生说一说画法，帮助画错的学生规范画图。

师：图画正确了，谁再来说一说从图中，你发现了什么？

生：我发现棵数比间隔数多1。

师：谁能结合图，比一比，说一说为什么两端都种，棵数比间隔数多1？

生一边在图上指一指，一边说：一棵树对应一个间隔，这样一一对应下去，就会发现最后一棵树没有对应的间隔，所以棵数比间隔数多1。

老师根据学生说的，在图上用红笔一一对应地将一棵树和一个间隔圈起来。

师：这个同学是这样结合图，一一对应地去比较出来的。

板书：一一对应

师：请你也和同桌，根据图，这样一一对应地圈一圈，比一比棵数和间隔数。

设计意图：一一对应的比较方法，很容易比较出棵数和间隔数之间的关系，因此在教学设计中不断地让学生用这种方法去比较，加深印象。

（三）再次探究，得出规律

师：在20米的路上两端都种，我们发现了棵树比间隔数多1，那么在其他长度的路上也有这样的规律吗？我们一起再来研究一下。

出示情境：在（  ）米长的路上一边种树，每隔5米种一棵（两端都种）。一共可以种多少棵树？

师：你还想研究几米？请你把自己想研究的长度填入括号里，画一画，算一算。

学生完成探究后，将探究结果展示出来，大家一起交流。

学生通过画图的方法，研究不同长度的小路，都得到了两端都栽，棵数比间隔数多1。

板书：棵数=间隔数+1（两端都栽）

师：根据探究所得的规律，我们再回到第一个例题中我们在黑板上列的这几个算式，谁能再来说说哪个算式是正确的？

生：1000÷5+1是正确的。

师：说一说为什么？

生：1000÷5算出的是间隔数，再+1就是棵数了。

师：为什么+1？

生：因为一棵树对应一个间隔，这样一一对应下去，最后一棵树后面没有间隔，所以多出一棵树。

师：解释得真好，同桌之间互相说一说为什么加1。

设计意图：通过让学生自主探究，再一次验证当两端都栽，棵数比间隔数多1学生把探究所得的规律重新去解决例1的问题，既能让学生感受探究大数据时，可以选择从小数据上先探究出规律，又能让学生把得出的规律应用到解决问题中去，锻炼了学生应用能力。

三、构建模型，活用规律

（一）口答（两端都栽）

（1）如果有13个间隔，应该栽多少棵树？

（2）如果栽20棵树，中间有多少个间隔？如果每棵树之间插一面彩旗，一共有几面彩旗？

（二）你能否自己编一道类似的“植树问题”

展示学生所编的比较典型的植树问题。

师：同学们编的这些题各有创意，既和我们今天研究的植树问题有点像又有点不像，你们能解决吗？

生：可以。

师：你们想怎么解决呢？

生：可以选择画图解决。

师：那就请同学们根据我们在课上小结的画图方法，尝试解决老师选择的这三道题。

（三）学生一起通过画图解决所编的植树问题。

师：刚才我们自己开动脑筋解决了问题，解决完这些植树问题，你又有什么发现呢？

生：通过上面几道题，我发现了两端都不栽，棵树比间隔数少1。

师追问：你能结合你的图来说说为什么吗？

生：可以这样，一段对应一个端点，那么这样一一对应下去，最后一段没有对应的端点！所以棵树比间隔数少1。

师：说得特别好！还有其他发现吗？

生：我也发现了一端栽、一端不栽的情况，棵树=间隔数。

师：你也能结合图，像这样来说说理由吗？

生：一个端点对应一段，这样一一对应下去，最后正好都有对应！不多不少。

师：是的，同学们，我们不仅要学会如何正确画图，更重要地是我们要学会如果用图来解决问题。

设计意图：让学生自己编一道类似的“植树问题”，在编题的过程中，也是建立“植树问题”模型的过程。从学生的编题结果也可以看出学生对于本节课的掌握情况。此外，也提升了学生对于知识的应用、整合、编辑等综合能力，调动了学生的学习积极性。学生在选择编题素材时，不一定是“树”，而是生活中的其他东西。这也可以让学生感受到生活中处处有数学。

四、抽象概括，深化理解

师：同学们在编题时，用到的素材很多，如人、电线杆、车站、旗子等，现在把这些在脑海里越变越小，成一个点，小路变成一条线段，你能发现棵数和间隔数之间的关系吗？

生：棵数=间隔数+1

师：其实，这里的人、车站、树等与间隔的关系都可以理解成棵数与间隔数的关系。

设计意图：数学学习是从具体到抽象再回到具体的过程。本环节从感知上升到认知，在学生脑海里建立了植树问题的模型。学生学到的不仅是知识，更是一种学习方法、一种解决问题的策略。

五、回顾反思，总结提升

师：通过这节课的学习，你有什么收获？请你与同桌说一说。

师：在刚刚编的题中，有一种情况与我们今天探究的不一样，这位编题的同学题中的条件是“一端种一端不种”，这种情况，我们该怎么去研究呢？

生1：和今天研究的方法一样，从小的数据研究。

生2：画图。

设计意图：通过回顾，学生能再次梳理探究的过程和方法，总结解决问题的策略。在课的结尾提出另一种植树问题的情况，培养学生数学方法的迁移能力。

六、课后思考

这节“植树问题”在设计时，始终有2个问题在我心里萦绕，其中一个问题是：学生已经会了，该怎么教？直到我看到2019年第1期《小学数学教师》中的一篇文章《数学思维是解决教学困窘的根》中的写道：在学生已经掌握了部分知识的情况下，老师应该往后退，把学生推到前面，让他们充分表达。是的，在学生已經会的情况下，怎么在课堂上调动他们的积极性？我想也是应把课堂让给他们，让他们自己去探究，去发现。因此，整节课的设计上，也是以学生自主画图探究、比较、发现规律、应用规律。而笔者仅是充当一个主持人的角色，推动他们展开探究。

第二个问题是：在设计时是将三个例题整合在一起上，还是只上例1？这个问题，我也请教了其他老师，部分老师还是选择三个例题一起上，因为学生在三年级时以及学习过一一间隔排列的内容。但最后我在设计时，还是决定在新授课时，只上一个例题的内容，这样学生对知识的掌握可能更透彻一些。在整节课的设计中，先建模，两端都栽这是基本模型，如果把这个模型建立好了，两端不栽、只栽一端（包括封闭的情形）都不成问题。

此外，学生在实际解决植树问题时，往往只是靠套用公式来解决问题，至于背后的原理，他们往往是不清不楚的。因此在设计这节课时，笔者弱化了公式的记忆，通过画图、一一对应地比较，让学生真正搞懂植树问题背后蕴含的数学思想。思想掌握了，一通百通，类型再怎么变化，抓住一一对应这一根本，都能轻松解决。

【参考文献】

[1]苏遗华.抓住学科内在本质，培养学生数学素养——人教版教材五年级上册“植树问题”的教学思考[J].小学教学参考，2020（20）：74-75

[2]林迎陶.画图——培养数学核心素养的有效途径[J].小学教学研究，2019（32）：94-96