巧用极限思想，让数学更有趣

□王宇飞

所谓极限思想，是指用极限概念分析和解决问题的思想方法，相对于其他数学思想，其在小学数学教学中不是那么好渗透。笔者通过调查发现：60%的教师虽然知道有极限思想，但经常用的教师仅8.89%，有28.89%的教师认为在课堂上不用特别强调。然而，有研究表明，在教学中引导学生感悟极限思想，有助于拓宽学生的思维宽度，培养他们的数学素养，对学生今后深入地学习数学大有裨益。

在新知学习中感悟极限思想

数学思想不同于数学知识那样显性地写在书本上，它是一条暗线，隐含在数学知识技能形成、发展、应用的过程中，需要学生在学习数学知识技能的过程中逐步感悟。在小学数学学习数的计算中，一般都是经过有限的几步计算就可以解决，如果教师在计算教学中引导学生感悟极限思想，可以收到意想不到的效果。

例如：在教《笔算两位数乘两位数》时，笔者展示完24 乘12 的笔算过程后，并没有结束新课的讲授，而是趁机设问：“如果在24 的前面添上1，这时的笔算顺序发生改变了吗？先算什么，再算什么？”学生思索片刻后，有学生举手回答：“我们可以先用个位上的2 去乘124，算出积是248，再用十位的1 去乘124，算出积是1240，最后把两次乘得的积248 和1240 相加就可以啦！”笔者竖大拇指点赞并继续追问：“如果是2124×12，你还会算吗？先算什么，再算什么？”只见他们思考了一下，便有学生站起来说：“我们还是先用个位上的2去乘2124，算出积是4248，再用十位上的1 去乘2124，算出积是21240，最后把两次乘得的2124 和21240 相加。”笔者再次竖起大拇指并问：“如果是五位数、六位数乘两位数，你会算吗？像这样如果有很多位数去乘两位数，怎么办？”学生异口同声地说：“不管几位数乘两位数，先用两位数的个位去乘多位数，再用两位数的十位去乘多位数，最后把两次乘得的积相加。”

以上教学，笔者引导学生领悟从有限到无限的过程，即让学生从两位数乘两位数的算法中归纳出多位数乘两位数的算法，整个过程并没有让学生生吞活剥地掌握知识，而是让学生在无限变化的过程中感悟到极限思想的存在。

在练习应用中感悟极限思想

练习是课堂教学的外延，平时的练习设计都会注重对所学知识的巩固与提升，而针对感悟思想方法的练习则少之又少。《数学课程标准》指出：数学中的一些重要思想是需要学生经历较长的认识过程逐步理解和掌握的。因此，练习作为数学课的一个重要环节，在设计时要注重极限思想的体现。

例如：笔者在教《年月日》一课时，其中有一道题目：每人准备一张月历卡（如下图所示），四人一组做框数游戏。

1.用长方形横着框3个数，说说这3个数之间的关系，算出它们的和。

2.竖着用长方形框出3个数，可以怎样框？试着框一框，再想想框出的数有什么关系，说说可以怎样很快求出它们的和。

3.还可以框出几个数？怎样框？试一试。

学生通过计算，解决1、2两小题时没有难度，他们通过计算发现并总结出了规律：横着框时，数从左往右依次多1，而它们的和等于中间这个数的3 倍；竖着框时，数从上往下依次多7，和也等于中间的数的3 倍。学生们规律总结得挺到位，课上到这儿已经挺圆满了。当第3 小题的问题出示后，举手的学生更多了。有的说可以横着框4 个数，它们的和等于头尾两个数的和乘2。有的说可以横着框5个数，它们的和等于正中间的数乘5。有的说可以横着框6个数，它们的和等于头尾两个数的和乘3。

这时候已经达到教学目标了，可是看见学生们意犹未尽的样子，笔者继续追问：“请同学们展开想象，这张月卡的数字一直往下写，没有限制，那这时你框的数有怎样地规律呢？”一石激起千层浪，学生们在底下议论纷纷，同桌间进行讨论，过了两分钟，声音慢慢变小了，答案出来了。一组学生代表汇报：“我们组认为框出来的数是单数，它们的和等于正中间的数乘这个单数，而如果框出来的数是双数的话，等于头尾两数的和乘这个双数除以2 的商。”此时教室里想起了热烈的掌声。

以上练习片段，教师要充分考虑到小学生的思维特点是由具体形象思维发展为抽象思维，因此要先呈现具体的月历让学生找规律，然后通过想象抽象出隐藏的规律。只要教师有意识地挖掘，有目的地启发，有步骤地渗透，就可以使学生在习得知识的过程中领略到极限思想的魅力，提升思维能力。

在知识复习中感悟极限思想

知识复习要引导学生梳理知识，补缺漏，纠正错误，更重要的是让知识彼此间建立关联，形成网络体系。数学学习本质上是一个知识建构的过程，极限思想亦是如此。如何把极限思想渗透到知识复习中，让学生的每一次感知与实践都是对极限思想的巩固和深化呢？

培养学生的数学思想和方法不仅需要教师在讲授新课过程中潜移默化地渗透，而且要在学习过程和生活实践中不断巩固和训练。例如：笔者在教《认识线段》一课时，在课尾设计了一个在生活中找线段的情境：播放微课，出示生活中学生常见的物体，如桌面、茶几等，边欣赏边找面上的线段，让学生切实感受数学知识就在自己的身边。接着播放水慢慢往下滴的过程、手电筒的光射到墙壁等情境，让学生在观察中明晰水滴过程中形成的水线、手电筒的光射到墙壁形成的光线，都可以看成是一条线段，从而让学生明白，原来线段不仅可以是静态呈现，也可以是动态呈现，只要符合线段的特征就行。

如果教学到这里结束，其实并没有让学生感悟到极限思想，笔者抓住学生的好奇心，继续追问：“如果手电筒的光穿过墙壁、云层，延长、延长、再延长，会形成一条什么线呢？”学生跃跃欲试，带着这个问题继续进行延伸思考。学生对这个问题充满了好奇心，这到底是一条什么样的线呢？问题的设计指向培养学生的想象能力，渗透了极限思想，为学习射线埋下了伏笔，从而收到“课已尽，意未然”的效果。

数学思想是数学学习的精髓，极限思想作为数学的一种重要的思想和方法，不是通过几节课就可以掌握的，需要以感知为基础，以操作体验为载体，通过循序渐进、反复训练，才能让极限思想走进学生的学习，植根学生心中。