基于“大概念”的高中数学教学探索*——以“基本不等式的综合运用”为例

张海强

2018年1月，教育部发布了《普通高中数学课程标准（2017 年版）》，凝练了数学学科核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据处理六个方面，并以此为据，更新了课程内容与评价体系。值得注意的是，新课程标准首次使用大概念统整各学科课程内容，引领课程与教学改革，明确强调以学科大概念为核心促进学科核心素养的落实。笔者以为，大概念是核心素养的具体化，构建大概念视角下的单元整体教学设计是落实核心素养的有效途径。

一、大概念概述

大概念，英文为“big idea”，也有学者将其译为“大观念”。在教育领域，有关大概念的研究至少可以追溯到布鲁纳对于教育过程的研究，他强调，无论教师教授哪门学科，一定要使学生理解该学科的基本结构，有助于学生解决课堂内外所遇到的各类问题。

随着对大概念研究的深入，大概念的内涵趋于统一，即大概念是一种高度形式化、兼具认识论与方法论意义、普适性极强的概念；它已经不仅仅是一个简单词汇，而是作为一种深刻思想、学说的负载体，成为“思想之网”的枢纽，其表述方式可以是相关的概念、主题、有争议的结论或观点。

大概念的“大”不是指“庞大”和“基础”，而是指“核心”。“大概念”中的“概念”的英文为“idea”，大概念可以是概念，但不局限于概念，也可以是方法、思想和观点，它反映了专家的思维方式。大概念有三个显著特征：

首先，大概念反映专家思维。专家思维的一个典型特征是专家的知识是通过大概念来组织的，反映专家对学科的理解深度。

其次，大概念体现协同思维。大概念是从具体中概括出的抽象，体现出具体与抽象的两面性。

最后，大概念具有生活价值。专家的知识常常镶嵌在应用的情境中，因此，大概念对学生而言，极具生活价值。

从大概念的外延来看，大概念可以是位于学科知识金字塔顶的上位知识，也可以是一种学科思维方式、学科思想方法。大概念可以是学生学习的一个“纲”，是整合所学知识的“组织者”，是串联知识的“红线”。

二、作为大概念的“转化与化归”

关于化归，匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺：教学的探索与旅行》一书中，讲了一则脍炙人口的故事，其大意是：“现有煤气灶、水龙头、水壶、当你要烧开水，应怎样做呢？”答曰：“在壶里注满水，放在灶上，点燃煤气即可。”“这自然是正确的，但若壶中已灌满了水呢？”这时，“灵活”的人可能说：“放在灶上，点燃煤气就可以了。”而数学家的回答则是：“把水倒掉”，就化成原问题了。

路莎评论说：“如上所述的推理过程，作为数学家的思维来说，是很典型的。他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”

数学上有三类典型的转化：一是通过抽象概括，把一个实际问题转化为一个数学问题；二是通过引进恰当的符号或图形，把数学问题加以形式化，使题意明确地呈现出来；三是在数学内部的转化。由此可知，“转化与化归”具有大概念的三个显著特征，即具有专家思维的特征、具有生活价值、体现了具体与抽象的协同思维。因此，“转化与化归”堪称名副其实的数学学科“大概念”。

“转化与化归”的教学有两个关键，一是帮助学生建立“能够解决的问题或常见的模型”的集合，即转化的目标（目的地）；二是帮助学生寻找转化的策略与方法，即转化的技艺（路径）。基于这样的认识，笔者进行了如下教学设计。

三、基于“大概念”的“基本不等式的综合应用”教学设计

“基本不等式”是高中数学的重要内容，因其变化灵活而成为学生学习的一大难点，学生往往花了许多功夫而不得要领，经常出现“一讲就会，一做就懵”的学习窘态。笔者以为产生这一教学现象的主要原因有两个：一是学生头脑中“能够解决的问题”的集合不明确，没有建立合适的模型；二是学生转化的路径不通畅，没有形成相对稳定的方法。

本课选择“转化与化归”为大概念，以构建完整的知识结构（模型）为实现“转化与化归”的载体，明确学生应掌握的知识、能解决的问题及常见的模型的集合；以消元法、换元法和配凑法为落实“转化与化归”的工具和方法，让学生明确解决问题的路径与方法，做到有章可循。这一教学设计也初步勾勒出了基于“大概念”的课堂教学设计（复习课）的基本框架。

案例1：介绍华罗庚自学的“厚薄法”。

华罗庚是享誉中外的数学家。他的自学方法被称为“厚薄法”:第一步“由薄变厚”，即读书要扎扎实实，每一个概念、定理都要追根溯源，这样一来，本来一本较薄的书，由于增加了不少内容，就变得“较厚”了；第二步“由厚到薄”，通过分析、归纳、抓住本质，做到融会贯通，就是“由厚到薄”。

前阶段我们系统学习了基本不等式的主要内容，完成了“由薄到厚”的过程；今天这节课我们一起对以前学过的知识作归纳与概括，以达到融会贯通的目的，实现“由厚变薄”。

【设计意图】由华罗庚自学的“厚薄法”引出本课题，一方面起到学法指导的作用；另一方面就如何“由厚到薄”作一示范，为大概念“转化与化归”的出场做必要的铺垫。

因为 ab＞0，所以 ab≥3，即ab≥9。（当且仅当a=3，b=3时取等号）

【设计意图】①本题的选择旨在让学生领悟消元法和换元法（整体思想）是解决基本不等式试题的基本方法，为大概念“等价与化归”的落实提供有效的工具和方法。

②构建较为完整的模型结构，

【设计意图】①利用换元法和消元法，将新问题转化与化归为已有模型，让学生体会大概念“转化与化归”的价值；②分母的结构特征是解题的有效观察点之一。

案例6：归纳总结。

本节内容可用“一二三”来总结。一个思想指转化与化归的思想；两类结构指和定结构与积定结构；三种方法指消元法、换元法和配凑法。其结构与关系如图1。

【设计意图】用最简洁的语言概括本节课的主旨，并用图示的方法揭示三者之间的结构与关系。这一教学环节有利于学生体会“厚薄法”的真正含义，领悟大概念“转化与化归”对知识与方法的统摄作用。

综上，大概念是一种高度形式化、兼具认识论与方法论意义、普适性极强的概念，其表达方式可以指向学科的核心概念、主题、有争议的结论或观点。因此，带着观点进课堂成为基于大概念的课堂主要特征，大概念理念下的课堂正从目标为本的课堂走向观点（观念）为本的课堂。本案例将大概念定位于数学思想（转化与化归思想），其设计或可成为复习课落实数学学科核心素养的一种操作样式。