直观想象 等介转化——由导数的定义应用引发的思考

■杨正福

同学们在理解导数的定义时,应先由直观结构形式形成高中数学学科的核心素养“直观想象”；再利用函数f(x)在点x0处可导,可以将已给定的极限式进行等价转化变形为导数定义的直观结构形式,通过观察比较发现与定义的差别；最后达到解决导数定义应用的相关问题,加深对导数定义的极限形式“增量Δx的形式是多种多样的,但Δy也必须选择相对应的形式”的理解。

1.问题背景

同学们在学习了导数的概念之后,不知道如何着手解答问题。如设函数f(x)在点x0处可导,试用f′(x0)表示的值。

分析：。

很多同学不知道为什么要进行这样的变形,理由依据是什么。

2.对问题进行分析、反思并解答

我们重新看导数的定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率f′(x0)=,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数。记作f′(x0)或。同学们通过反复阅读,观察直观结构形式的分子与分母的关系,发现在极限符号下,分母是分子中的自变量之差,这是导数定义的直观结构形式。不过由于增量Δx的形式是多种多样的,利用函数f(x)在点x0处可导,可以将已给定的极限式进行等价转化变形为导数定义的直观结构形式,即Δy也必须选择与增量Δx相对应的形式。

有了这种阅读和观察,同学们对导数定义的理解就会更加深刻,对于上述问题的解答也就有了思路：由导数的定义“函数f(x)在点x0处可导”,得直观结构形式,即,分母是分子中的自变量之差。

根据导数定义的直观结构形式,通过数学学科核心素养中的“直观想象”,可以考虑把原题中的“分母”等价转化为“分子中的自变量之差”,则。再观察比较原题形式的不同点。通过观察同学们会发现,形式的不同点。发现差别在于分母中-Δx与Δx,那么要想从Δx等价转化为-Δx,则应在分母添加负号,但等价转化变形过程中要保证式子的成立(则应添加两个负号),再提一个负号到极限符号前,这样就等价转化为直观结构形式了。同学们要注意极限符号下应变为-Δx→0。

3.启示

可见解决这类问题的关键就是先用导数定义的直观结构形式,通过直观想象,对题中分母进行等价转化变形,使问题转化靠近定义的直观结构形式；再找到题中直观结构形式与定义的直观结构形式的差别,添加符号和数值；最后检查极限符号下形式与分母形式的对应,这样就等价转化为直观结构形式了。