立足学生实际 探究数学魅力—以面积教学为例

陈 娟

（江苏省启东市长江小学，江苏启东 226200）

引 言

数学是研究模式、规律的学科。小学数学课堂教学中，教师要引领学生从数学视角来探索身边的数学现象和变化规律，帮助学生在数学探究活动中学会观察、操作、猜想、验证、归纳，提高学生的数学学习效率。在“面积”教学中，笔者通过安排探究活动，让学生结合已有的知识经验，鼓励学生在测量、计算、比较、思考、交流中经历“猜想、验证、结论”的学习过程，强化学生的自主探索意识，体会“面积”的内涵，使学生从所获得的数学经验、方法中发展数学解题能力。

一、确立教学目标，引出数学猜想

在学习“面积”时，对“面积”概念的理解，教师可以通过数学活动，引领学生在测量、计算、比较中进行认知；对平面图形面积的变化规律进行观察，可增强学生对“面积”规律的理解，获得良好的学习体验。本节课的教学目标重点放在平面图形放大前后面积的变化规律并对其进行探究的问题上。

为此，教师可以创设这样的问题情境：春天来了，小明和父母一起去大自然游玩，拍了很多照片。通过PPT 出示两张照片，询问学生：如果小明想将其中一张照片打印出来，再装上相框来装扮书房，请问这个相框是什么形状的？很显然，学生看到照片是“长方形”的，那么相框也应该是“长方形”的。假如它长12厘米，宽8厘米，我们将这个照片按照2∶1的比例放大，放大后的形状是什么样的？“长方形”，很多学生快速回答道。放大后的照片，长是多少，宽是多少？根据放大比例，学生也能很好地理解长为24厘米，宽为16厘米。对于放大后的照片，面积是原来的几倍？这时很多学生不假思索地回答“2倍”，也有个别学生回答为“4倍”。问题产生了，我们就此展开验证，到底是“2倍”还是“4倍”？根据长方形的面积计算公式，让学生在演草纸上对放大前、放大后的照片面积进行计算，并对结果进行比较。然后，组织学生探究交流。有学生通过计算，发现放大后的面积是原来的“4倍”；有学生通过画图的方式，先在纸面上画出原图，再画出放大后的图，两者比较，可以分成四个原来的小长方形。最后得出结论，在对原长方形放大2倍后，其面积会放大4倍。

接下来，请学生观察另外一张照片，如果我们想将它放大5倍，放大后的面积是原来的几倍？如果我们将它放大10倍，放大后的面积是原来的几倍？请学生自主尝试，并与同桌交流。很快，在学生的自主计算、尝试、比较中，他们发现放大5倍后，面积是原来的25倍，即25∶1；放大10倍后，面积是原来的100倍，即100∶1。为什么学生回答得这么快？有学生提出，长方形放大一定倍数后，其面积的比是原来的对应边长度的比的平方，这就是计算后得出的规律。也就是说，如果我们对一个长方形按照n∶1的比例放大，放大后的面积是原来的n2倍，面积之比为n2∶1。

在整个探究过程中，我们结合生活中的照片原型，以长方形为例，观察放大前后面积的变化，并鼓励学生通过计算来验证规律，从而得出长方形放大后的面积变化规律。

二、合作探究，延伸数学思维

在数学认知发展过程中，通过对照片放大规律的探究，启发学生从画图、计算、推理中形成直觉思维。整个探索过程实现了学生已有知识与新知识的衔接。前面我们对长方形的长或宽按n∶1 比例放大，然后得出放大后的面积与原来长方形的面积之比为n2∶1。从这个规律中，学生是否还能提出其他的、新的问题？有学生提出，对于正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等其他平面图形，当按比例放大后，其面积是否也存在同样的规律？对此，我们就平面图形中按比例放大后，其放大前后图形面积之比的变化规律进行合作探究，并进行归纳。在探究中，将不同平面图形进行分类，计算放大前后的面积并填表，观察表格中的数据，找出对应的规律。

根据平面图形按比例放大后面积的变化规律，请学生讨论交流，结合具体的平面图形，按照相应的数值进行类比推理。有学生提出，当平面图形按照比例放大后，其面积之比都是n2∶1。因此，教师可请学生思考，为什么平面图形中会有这样的变化规律？“实践是检验真理的唯一标准。”对于长方形，通过按比例放大，对放大后的面积进行计算，得出n2∶1的变化规律；那么，对于其他图形，如三角形、平行四边形、圆等，是不是也具有同样的规律？这一探究问题顺应学生的学习心理，加深了他们对问题的探索，让学生能够通过小组合作，对其他图形放大后的面积变化规律进行验证，深化对数学规律的理解和感知，从合作、探究中提升认识，发展数学思维能力[1]。

三、分层练习，促进数学规律的内化

结合前面的探究实践活动，接下来我们要展开数学习题训练，引领学生从分层演练中洞悉数学规律，促进数学规律的内化。如某平行四边形的面积为8cm2，按照3∶1的比例放大后，得到的平行四边形的面积是多少？同样，一个三角形按照4∶1的比例放大，放大后的三角形的高为8cm，则原来三角形的高是多少？根据所掌握的平面图形按比例放大的面积变化规律，请学生对上述问题进行求解。然后，结合前面所学知识，教师引入应用题：假设校园的花圃需要扩建，按照平面图比例尺1∶1000，平面长方形的长为4cm，宽为2cm，请学生计算校园花圃扩建后的面积是多少？这里的比例尺1∶1000 代表什么？通过学生的回顾和反思，他们了解到应用题中的比例尺1∶1000 就是平面图与实际花圃尺寸的比值，也就是将平面图放大1000倍，得到的就是真实花圃的大小。根据比例尺的比值，我们可以将平面图的长、宽放大1000倍，得到花圃实际的长和宽，就可以计算出花圃的实际面积了。

由此，基于对平面图放大过程中的面积变化规律的探究，我们可以结合生活实例，进行验证和解决实际问题。“提出一个问题比解决一个问题更重要。”结合所学规律，让学生思考还能提出哪些猜想？如通过放大平面图形分析面积的变化规律，缩小平面图形来分析其面积变化规律，通过面积的变化规律来分析图形周长的变化规律……在探究体验中，我们由“问号”让学生展开猜想、思考、合作学习，得到“句号”，再由“句号”进行延伸，提出“问号”。这种循环往复的不断推想的过程，能够促进学生数学问题意识的形成，使学生迸发创新思维，促进其数学规律的内化与应用。

结 语

总之，在数学教学中，围绕数学问题展开规律探索与实践，在数学猜想、验证、总结中激发学生的好奇心，引领学生探索数学规律，感受数学探究的乐趣，积累数学经验。数学中的概念、法则、公式、性质等规律性知识，抽象性较强，理解较困难。通过问题探究、合作学习，帮助学生从数学发散思维中来观察、比较、归纳、总结，逐渐建构数学规律，形成数学问题意识，发展学生的数学解题能力和创新精神，实现数学综合素养的渐进提升。