关于强制外延的抽象论辩系统修正规则

徐康 廖备水

1 引言

逻辑学从非形式逻辑和形式逻辑两个方面对论辩（argumentation）进行研究。非形式逻辑对论辩的研究与日常推理和会话实际相关联，从形式结构的角度研究关于具体论辩过程的一般特征。形式逻辑对论辩的研究是基于语义或语形的研究（[9]），它依赖于形式逻辑的主要分析工具——逻辑形式的概念，同时依赖于形式逻辑的主要评价标准——有效性（[25]）。

论辩系统（argumentation system）是应对不一致情境中的推理而产生的一种非单调推理形式体系。（[23]）论辩系统的基本思想是把推理进行分层，底层处理知识的表示、论证的构造、论证之间攻击关系的识别等，这一部分属于结构化论辩的研究内容（[7]）；上层负责论证之间冲突关系的处理，确定可接受的论证集合，这部分的内容属于抽象论辩的研究范围。最终通过论辩系统上层对支持和反对特定主张的论证的评估，测试该主张是否站得住脚。

本文基于Dung 在1995 年的时候提出的抽象论辩框架（abstracted argumentation framework）（[15]），在抽象层面上研究论辩系统的动态变化。一个抽象论辩框架由一组抽象论证和它们之间的攻击关系组成，通常可以表示为一个二元组(A,R)。其中A是一组抽象论证集合，R表示A中论证之间的攻击关系。在一个抽象论辩框架中，依据一定的评价标准所确定的一组或几组可接受的论证集合，称为外延。外延的集合称为论辩语义。为方便起见，也把上述评价标准称为论辩语义。论辩语义对应论辩系统推理的结论，即可接受论证集合对应的主张。论辩语义（[3]）、证明理论（[19]）、算法（[12]）和计算复杂性（[16]）等是近几年抽象论辩研究的主要内容。

抽象论辩系统动态性研究抽象论辩框架和论辩语义的变化。由于主体所处的环境以及获取的资源等不断变化，其推理知识和观察信息也不断变化。比如，当实例化的抽象论辩框架所依赖的观察信息发生变化时,论证集合及其攻击关系也会相应地发生变化；当主体的推理知识发生变化或者论辩系统收到新的解释时（主要体现在推理规则方面）,会引起论证集合及其攻击关系发生变化；如果基于论辩的协商主体以不完全、不确定和不一致的信息进行推理，那么每个主体的理论（作为一个论辩框架）可以在一个协商对话的过程中演化（一个主体收到来自另一个主体的论证,并将之加入自己的理论中，产生新的理论），从而造成抽象论辩框架的变化；对于多主体交互，当来自不同主体的一组抽象论辩框架合并时,最终的论证集合和攻击关系也将发生变化。抽象论辩框架改变后，其语义也随之变化，得到新的结论。（[1,4]）给定一个抽象论辩框架，其外延是确定的。如果该论辩框架发生变化，那么其语义相应也可能发生变化。如果主体期望一定的结论，那么根据结论对应的语义状况，则需要改变原论辩框架的结构。二者的相互关系形成了抽象论辩系统动态性的两个主要研究方向：动态论辩语义求解（如何依据论辩框架的变化来求解语义）和抽象论辩系统修正（如何依据论辩语义的变化来修正论辩框架）。（[22]）

本文主要针对抽象论辩系统的修正做出研究。在论辩系统的推理过程中，主体获得的信息是多种多样的，主体对这些信息的接受是一种主观行为，需要结合自身的知识集以及推理目标等对信息作出取舍。抽象论辩框架的变化体现了主体对新信息的取舍，而对这些信息接受的主观行为则体现在对语义（结论）的要求上。根据预期语义结果而对抽象论辩框架进行调整，这就是抽象论辩系统的修正。

目前的研究中，关于语义变化，Cayrol 等人从论证、外延和语义三个层面做了比较全面的分析（[8]），并且提出满足部分语义变化的添加或者删除一个论证及关系的规则。Boella 等人主要针对唯一状态指派语义不变来研究抽象论辩系统的修正规则。（[10,11]）Oikarinen 等人同样研究关于语义不变的系统修正（[20]），只是除了要求两个抽象论辩框架具有相同的语义之外，还要求无论它们同时进行何种扩张，都能保持语义相同。Baumann 等人研究关于满足强制外延的系统扩展（增加论证及其关系）（[6]），主要分析了某一确定论证集合在各语义下能够成为一个外延的可能条件和不可能条件。由于抽象论辩框架的改变不是唯一的，他们又研究了满足一定的语义变化的论辩框架的最小改变。（[5]）Coste-Marquis 等人用命题逻辑公式表达预期语义状态，要求修正后的论辩框架不仅满足该公式，而且其语义与修正前相差最小。（[13]）廖备水等人研究了在基语义下满足语义单调变化的条件和规则。（[24]）

本文研究的具体内容为关于强制外延的抽象论辩系统修正，即对抽象论辩框架进行修正，以使得一个特定的论证集合在某一语义下成为可接受的论证集合（外延）。这个问题在多主体交互中具有很重要的意义。比如，在多主体交互中，一个主体希望另一个主体接受一组特殊的论证集合。

例1.考虑框架AF1，E={b}是期望在基语义1基语义的评价标准对应于主体的谨慎态度，其外延称为基外延。基外延中的论证是最无疑可接受的，具体定义详见下文。下得到的外延。在AF1中显然E不是它的基外延，如何修正AF1能够得到确切的基外延E？一个可行的办法是从AF1中删除论证a得到新的框架AF2（如图1 所示）。

图1 关于强制外延的抽象论辩系统修正

强制外延（enforcing extension）这一概念首先由Baumann 等人提出（[6]），本文在其基础上，针对这一特殊的语义要求，提出抽象论辩框架增加（删除）论证或关系的一般规则，从论辩框架的扩张和限制两个方面进行分析并给出了相应的结论。

本论文分为5 节。第2 节介绍抽象论辩框架和论辩语义等相关知识；第3 节和第4 节分别提出满足强制外延的抽象论辩框架的限制规则和扩展规则；第5 节总结全文。

2 背景知识

在这一节中，将详细介绍抽象论辩系统的基本概念，包括抽象论辩框架和论辩语义。以下的讨论中，在不引起歧义的情况下，将省略“抽象”二字。

2.1 论辩框架

一个论辩框架（简称为AAF）由一组论证和它们之间的攻击关系构成。（[15]）

定义1.一个AAF 可以表示为一个二元组：AF=(A,R)，其中A是一组论证集合，R是A上的二元关系，表示论证之间的攻击关系。设B ⊆A，B对AF的限定，记为AF ↓B：AF ↓B=(B,RB)，其中RB=R ∩(B×B)。AF ↓B也是一个AAF，称为AF的子框架。

设a,b ∈A，(a,b)∈R表示a攻击b，记为aRb。如果(a,b)∉R，那么记为表示存在n（n ≥0）个论证x1,x2,···，xn使得aRx1,x1Rx2,...xnRb。的否定情况记为

设B,C ⊆A。B攻击a，记为BRa。BRa当且仅当存在b ∈B使得bRa。a攻击B，记为aRB。aRB当且仅当存在b ∈B使得aRb。B攻击C，记为BRC。BRC当且仅当存在b ∈B并且c ∈C，bRc。反之，将它们的否定分别记为表示存在b ∈B使得同理表示存在b ∈B，

例2.设AF3是一个AAF，根据定义1，设B1={a,b}，B2={c,d}，那么AF3↓B1和AF3↓B2是AF3的子框架（如图2 所示）。

图2 AF3 以及AF3 的子框架

一个AAF 上各论证之间都连通的子框架称为环。

定义2.AF=(A,R)是一个AAF，B ⊆A。AF ↓B是AF上的一个环，当且仅当对B中任意两个论证a和b，AF上所有环的集合，记为CIRAF，CIRAF中所有环的论证集合记为SCIRAF。

以例2 中AF3为例，={{a,b},{b},{c,d}}。

2.2 AAF 的更新

AAF 的更新主要考虑框架中论证及其攻击关系如何变化（[21]），主要表现为论证以及论证之间关系的增加或者减少。本文用AAF 上的运算来定义它的更新。（[18]）

定义3.AF=(A,R)是一个AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。

(1) 向(A,R)中添加B和关系I的运算表示为⊕，(A,R)⊕(B,I)=(A∪B,R∪I)；

(2) 从(A,R)中删除B和I的运算表示为⊖，(A,R)⊖(B,I)=(AB,RI)↓AB。

在定义3 中，论辩框架AF经过⊕或⊖运算后得到的二元组是一个AAF。

例3.向例2 中AF3加入论证集合{d,g}和关系{(d,g),(g,g)}得到论辩框架从AF3中删除论证集合{d,g}和关系{(d,g),(g,g)}得到论辩框架（如图3所示）。

在本文以后的部分中，用AF′来表示对AF进行⊕或⊖运算后得到的AAF。一般称AF是初始框架，AF′为更新后框架。称仅经过⊖运算得到的AF′是限制框架；仅经过⊕运算得到的AF′是扩展框架。

2.3 论辩语义

给定一个AAF，一个核心的问题是如何确定各个论证的状态。在现有的文献中，有两种方法来定义论辩语义：基于外延的方法（[15]）和基于标记的方法（[2]）。

在基于外延的方法下，一个AAF 中的论证被分为可接受的和不可接受的。一组集体可接受的论证子集被称为AAF 的外延。一定评价标准下得到的一组外延集合称为AAF 的论辩语义。基于标记的论辩语义是给每个论证指派一个标签。一个标签代表论证的一种状态。一般来说，在一个AAF 中，论证有三种可能状态：“可接受的”、“被拒绝的”和“未确定的”，分别用in、out和undec这三个标签来表示。在基于标记的方法下，一定评价标准下得到的一组标记集合被称为AAF 的论辩语义。现有文献已经证明了基于外延的论辩语义和基于标记的论辩语义具有对应关系：在同一语义下，标记为in的论证集合是一个外延。

本文在基于标记的方法下研究抽象论辩系统的动态性，因为各论证状态间的相互影响能够更好地在基于标记的论辩语义中体现出来。

定义4.AF=(A,R) 是一个AAF，in，out和undec是三个标签。AF上的一个标记L:A{in,out,undec}是一个全函数。令in(L)={a | L(a)=in}，out(L)={a | L(a)=out}，undec(L)={a | L(a)=undec}。L也可表示为三元组(in(L),out(L),undec(L))，in(L)即为可接受的论证集合。

为了辨别一个标记是否合理，需要定义标签指派的合法性。

定义5.AF=(A,R)是一个AAF，L是AF上的一个标记，a ∈A。

(1)L(a)=in是合法的当且仅当对任意b ∈A，如果bRa，那么L(b)=out；

(2)L(a)=out是合法的当且仅当存在b ∈A，使得bRa并且L(b)=in；

(3)L(a)=undec是合法的当且仅当

①存在b ∈A，bRa并且L(b)=undec；

②对所有b ∈A，如果bRa，那么L(b)≠in。

在标签指派的合法性上做出一些限制，就可以得到具有不同评价标准的标记。

定义6.AF=(A,R)是一个AAF，L是AF上的一个标记。L是一个可相容标记，当且仅当

(1) 对任意a ∈in(L)，L(a)=in是合法的；

(2) 对任意a ∈out(L)，L(a)=out是合法的。

定义7.AF=(A,R)是一个AAF，L是AF上的一个标记。L是一个完全标记，当且仅当

(1) 对任意a ∈in(L)，L(a)=in是合法的；

(2) 对任意a ∈out(L)，L(a)=out是合法的；

(3) 对任意a ∈undec(L)，L(a)=undec是合法的。

对于一个AAF 上任意的两个完全标记，它们之间的关系如下（[17]）：

命题1.假设L1和L2是论辩框架AF上的两个完全标记，那么

(1)in(L1)⊆in(L2)当且仅当out(L1)⊆out(L2)；

(2)in(L1)⊂in(L2)当且仅当out(L1)⊂out(L2)。

下面三种标记：优先标记、基标记和稳定标记，在完全标记的基础上给出，是满足不同条件的完全标记。

定义8.AF=(A,R)是一个AAF，L是AF上的一个完全标记。

(1)L是一个基标记当且仅当对AF上的任意完全标记L′，in(L)⊆in(L′)；

(2)L是一个优先标记当且仅当不存在AF上的一个完全标记L′，使得in(L′)⊃in(L)；

(3)L是一个稳定标记当且仅当undec(L)=∅。

为了简便，我们分别用ad、co、pr、st和gr表示可相容、完全、优先、稳定和基语义，再用σ来表示这些语义中的一种（σ ∈{ad,co,pr,gr,st}），AAF 在σ语义下的标记记为σ标记，论辩框架AF在σ语义下所有标记的集合记为Lσ(AF)。

例4.考虑例2 中的论辩框架AF3。根据定义7，Lco(AF3)={L1,...,L6}。其中，

再根据定义8，可知Lgr(AF3)={L1},Lpr(AF3)={L3,L4}，Lst(AF3)={L3,L4}。

在σ语义下，由于标记为in的论证集合与其外延是对应的，在以后的讨论中统一用σ外延来表示AAF 在σ语义下的可接受的论证集合。无冲突性是上述所有语义外延的基本性质，下面给出它的定义。

定义9.AF=(A,R)是一个AAF，E ⊆A。E是无冲突的，当且仅当对任意a,b ∈E，

3 关于强制外延的AAF 限制规则

给定一个论辩框架AF，以及更新后的论辩框架AF′，为了确保某个论证集合E成为AF′的σ外延（称为强制外延），向AF中添加（删除）论证集合B以及关系I从而得到AF′的规则，称为关于强制外延的论辩系统修正规则。

本节研究因强制外延而对AAF 进行限制（减少论证或关系）的规则。

定义10.AF=(A,R)和AF′=(A′,R′)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。AF′=AF ⊖(B,I)。如果E是AF′的σ外延，那么称AF′是AF关于E的σ限制框架。

例5.AF4是一个AAF（如图4 所示）。E={c}。AF4关于E的pr限制框架有：（如图5 所示）。

图4 AF4

AF关于E的σ限制框架包含了在σ语义下，所有满足强制外延E的AF限制后的AAF。本文将AF关于E的σ限制框架满足的充分必要条件视为关于强制外延的AAF 限制规则。如果AF′=(A,R)⊖(B,I)是AF的关于E的σ限制框架，那么从AF′的形成来看，只要确定了B和I，就可以确定AF′。B和I的内容受如下因素影响：

图5 AF4 关于E 的pr 限制框架

(1)E的结构特征。E是AF′在某一语义下的外延，那么并不要求E在AF中也是可接受的。但作为AF′在某个语义下的外延，E必须是AF′的论证子集，那么首先可以确定E与B不相交（E ∩B=∅）。不同的语义，其构成方式不同。关于AF′剩余的描述则依据不同的语义而有不同的结论。本文将在可相容语义、完全语义、稳定语义、基语义和优先语义下讨论关于强制外延的论辩系统的修正规则。这些语义下的外延都是无冲突的，因此，E需要在AF′中是无冲突的。

(2)E与AF、AF′中论证、子集之间的关系。令G表示AAF 的名称，AG表示其论证集合，我们将G中与E有关的论证集合分为以下四种：

3.1 可相容语义

如果AF′是关于E的ad限制框架，那么存在L ∈Lad(AF′)，使得in(L)=E。根据定义6，in(L)和out(L)是标记合法的，那么对任意L(x)=out；对任意L(y)=out。因此，根据定义5，是AF′作为AF关于E的ad限制框架的必要条件，这个条件可以通过对B和I的刻画来描述。

定理1.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E ⊆A且E ∩B=∅。AF′=AF ⊖(B,I)。AF′是AF关于E的ad限制框架当且仅当

(1)R ∩(E×E)⊆I；

(2) 对任意y ∈AE，如果(E×{y})∩R ⊆I，那么({y}×E)∩R ⊆I。

证明.需证明两个方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=AB，R′=(RI)∩(A′×A′)。

定理1 中，(1)表明了E在AF′中是无冲突的，(2)表明了定理1 提供了AF′成为AF关于E的ad限制框架的充分必要条件，并且表明了在可相容语义下，实现强制外延的直接删除论证或关系的规则。

例6.考虑例5 中的论辩框架AF4。令E={a,b,c}，是AF4关于E的ad限制框架（如图6 所示）。

图6 AF4 关于E 的ad 限制框架

3.2 稳定语义

如果AF′是AF关于E的st限制框架，那么存在L ∈Lst(AF′),使得in(L)=E。由于稳定语义是可相容语义，首先B和I满足定理1 中的规则。其次可知那么out(L)=并且undec(L)=根据定义8，AF′中没有被标记为undec的论证，即undec(L)=∅。因此，在定理1 的基础之上，还需要找到使得的条件。

定理2.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E ⊆A且E ∩B=∅。AF′=AF ⊖(B,I)。AF′是AF关于E的st限制框架当且仅当

(1)R ∩(E×E)⊆I；

(2) 对任意y ∈AE，如果(E ×{y})∩R ⊆I，那么({y}×E)∩R ⊆I且y ∈B。

定理2 对定理1-(2)增加了条件，在满足E在AF′中是无冲突的，以及之上又决定了=∅。定理2 提出了AF′成为AF关于E的st限制框架的充分必要条件，表明了在稳定语义下，实现强制外延的直接删除论证或关系的规则。

例7.考虑例5 中的论辩框架AF4。对于E={a,b,c}，和是AF4关于E的st限制框架（如图6 所示）。

3.3 完全语义

如果AF′是AF关于E的co限制框架，那么存在L ∈Lco(AF′),使得in(L)=E。由于完全语义是可相容语义，首先B和I满足定理1 中的规则。其次可知那么out(L)=并且undec(L)=可相容标记的定义（定义6）要求论证被合法地标记为in或者out，而完全标记的定义（定义7）还要求论证被标记为undec时也是合法的，那么对所有L(x)=undec是合法的。根据定义5，被合法标记为undec的论证，其攻击者必须不能被标记为in，而且其中至少有一个攻击者的标签是undec。那么对中的任意论证x，它都要被中的某个或者某些论证攻击。在定理1 的基础上，我们给出如下定理。

定理3.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E ⊆A且E ∩B=∅。AF′=AF ⊖(B,I)。AF′是AF关于E的co限制框架当且仅当

(1)AF′是AF关于E的ad限制框架；

(2)C={y ∈AE |(E×{y})∩R ⊆I且({y}×E)∩R ⊆I}B，那么对任意x ∈C，CR∗x。其中，R∗=RI。

定理3 在定理1 的基础上增加了条件(3)，定理3-(3)保证了不被E攻击的论证都可以被合法地标记为undec。定理3 提出了AF′成为AF关于E的co限制框架的充分必要条件，表明了在完全语义下，实现强制外延的直接删除论证或关系的规则。

例8.考虑例5 中的论辩框架AF4。对于E={a,b,c}，和是AF4关于E的co限制框架（如图6 所示）。

3.4 基语义

如果AF′是AF关于E的gr限制框架，那么存在L ∈Lgr(AF′)，使得in(L)=E。由于基语义是完全语义，AF′首先是关于E的co限制框架，那么可知完全标记的定义要求所有论证的标记都是合法的，基标记的定义（定义8）要求被标记为in的论证集合是最小的，也就是说对所有L′ ∈Lco(AF′)，in(L)⊆in(L′)。如果有标记使得其中有些论证被合法地标记为undec，那么L将不是AF′的基标记。那么L在上的限制是的基标记。这一条件可以通过的拓扑结构来表达。

定理4.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E ⊆A且E ∩B=∅。AF′=AF ⊖(B,I)。令AF′=(A′,R′)，AF′是AF关于E的gr限制框架当且仅当

(1)AF′是AF关于E的co限制框架；

定理4 在定理3 的基础上增加了条件(2)，定理4-(2)是通过保证是的基标记，来保证L是AF′的基标记。定理4 提出了AF′成为AF关于E的gr限制框架的充分必要条件，表明了在基语义下，实现强制外延的直接删除论证或关系的规则。

例9.考虑例5 中的论辩框架AF4。对于E={a,b,c}，、是AF4关于E的gr限制框架（如图6 所示）。

3.5 优先语义

如果AF′是AF关于E的pr限制框架，那么存在L ∈Lpr(AF′)，使得in(L)=E。由于优先语义是完全语义，AF′首先是关于E的co限制框架，那么可知完全标记的定义要求所有论证的标记都是合法的，优先标记的定义（定义8）要求被标记为in的论证集合是极大的，即不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得in(L′)⊃in(L)。那么根据定理1，不存在L′ ∈Lco(AF′)，undec(L′)⊂undec(L)。如果存在使得in(L∗)≠∅，那么L将不是AF′的优先标记。因此，不存在使得in(L∗)≠ ∅。对于这样一个条件，我们不能仅从AAF的拓扑结构来表达删除论证及关系满足强制外延的规则，需要借助AAF 的子框架的论辩语义。

定理5.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E ⊆A且E ∩B=∅。AF′=AF ⊖(B,I)。AF′是AF关于E的pr限制框架当且仅当

(1)AF′是AF关于E的co限制框架；

(2) 令C={y ∈A E |(E × {y})∩R ⊆I且({y} × E)∩R ⊆I} B，Lco(AF′ ↓C)={(∅,∅,C)}。

定理5 在定理3 的基础上增加了条件(2)，定理5-(2)是通过保证在完全语义下没有可接受的论证，来保证L是AF′的优先标记。定理5 提出了AF′成为AF关于E的pr限制框架的充分必要条件，但是它并没有提出在优先语义下直接限制AF以实现强制外延的规则，因此还需要对AF′的子框架进行语义检验。

例10.考虑例5 中的论辩框架AF4。对于E={a,b,c}，是AF4关于E的pr限制框架（如图6 所示）。

4 关于强制外延的AAF 扩展规则

给定一个论辩框架AF和一个论证集合E，以及论辩框架AF′，本节研究从AF扩展到AF′的规则，使得E是AF′的σ外延。沿用第3 节的思路，首先引入σ扩展框架的概念。

定义11.AF=(A,R)和AF′=(A′,R′)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。AF′=AF ⊕(B,I)。如果E是AF′的σ外延，那么称AF′是AF关于E的σ扩展框架。

AF关于E的σ扩展框架包含了在σ语义下，所有满足强制外延E的AF扩展后的AAF。我们对AF关于E的σ扩展框架进行描述，以此来得到关于强制外延的AAF 扩展规则。这需要分别确定B和I的内容：E是AF′的σ外延，那么可以确定(EA)⊆B。从可相容语义、完全语义、稳定语义、基语义和优先语义下的外延都满足无冲突性来看，E需要在AF′中是无冲突的，进而要求E ∩A在AF中是无冲突的。

4.1 可相容语义

如果AF′是AF关于E的ad扩展框架，那么存在L ∈Lad(AF′)，使得in(L)=E。根据定义6，in(L)和out(L)是标记合法的，那么对任意L(x)=out；对任意L(y)=out。根据定义5，也就是说与定理1 相同，通过对B和I的刻画来表述这个条件。

定理6.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E是一个论证集合，E ∩A是无冲突的，并且EA ⊆B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF关于E的ad扩展框架当且仅当

(1)

证明.需证明两个方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=A ∪B，R′=R ∪I。

定理6 中，(1)表明了E在AF′中是无冲突的；(2)和(3)表明了定理6 提出了AF′成为AF关于E的ad扩展框架的充分必要条件，同时表明了在可相容语义下，实现强制外延的直接增加论证或关系的规则。

例11.考虑论辩框架AF5（如图7 所示）。令E={a,e}，那么根据定理6，AF5⊕({f,g,e},{(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)}) 是AF5关于E的ad扩展框架（如图8 所示）。

图7 AF5

图8 AF5 关于E 的ad 扩展框架

4.2 稳定语义

如果AF′是AF关于E的st扩展框架，那么存在L ∈Lst(AF′)，使得in(L)=E。由于稳定语义是可相容语义，那么可知那么out(L)=并且根据定义8，AF′中没有被标记为undec的论证，也就是说为空。在定理6 的基础之上，还需找到使得的条件。

定理7.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E是一个论证集合，E ∩A是无冲突的，并且EA ⊆B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF关于E的st扩展框架，当且仅当

定理7 中，(1)表明了E在AF′中是无冲突的；(2)和(3)除了决定之外，还决定了定理7 提出了AF′成为AF关于E的st扩展框架的充分必要条件，表明了在稳定语义下，实现强制外延的直接增加论证或关系的规则。

例12.令E={a,e}。对于例11 中的论辩框架AF5，E不是AF5的稳定外延。根据定理7，=AF5⊕({f,g,e},{(a,c),(a,f),(d.e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5关于E的st扩展框架（如图9 所示）。

4.3 完全语义

如果AF′是AF关于E的co扩展框架，那么存在L ∈Lco(AF′)，使得in(L)=E。由于完全语义是可相容语义，AF′首先是AF关于E的ad扩展框架。那么B和I满足定理6 中的规则。其次可知并且out(L)=根据完全标记的定义，对任意L(x)=undec是合法的。根据定义5，被合法标记为undec的论证，其攻击者必须不能被标记为in，而且其中至少有一个攻击者的标签是undec。那么对中的任意论证x，它都要被中的某个或者某些论证攻击。在定理6 的基础上，我们给出如下定理。

图9 AF5 关于E 的st 扩展框架

定理8.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E是一个论证集合，E ∩A是无冲突的，并且EA ⊆B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF关于E的co扩展框架当且仅当(1)AF′是AF关于E的ad扩展框架；

(2) 令C=对任意x ∈C，CR′x。其中，R′=R ∪I。

证明.需证明两个方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=A ∪B，R′=R ∪I。

假设AF′是AF关于E的co扩展框架，那么存在L ∈Lco(AF′)，使得in(L)=E，out(L)=由于完全语义是可相容语义，AF′是AF关于E的ad扩展框架。C=那么对任意x ∈C，L(x)=undec。根据定义5，CR′x。

定理8 在定理6 的基础上增加了条件(2)，保证了AF′中不被E攻击的论证都可以被合法地标记为undec。定理8 提出了AF′成为AF关于E的co限制框架的充分必要条件，表明了在完全语义下，实现强制外延的直接增加论证或关系的规则。

例13.E={a,e}。根据定理8，=AF5⊕({f,g,e},{(f,c),(c,f),(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5关于E的co扩展框架（如图10 所示）。

图10 AF5 关于E 的co 扩展框架

4.4 基语义

如果AF′是AF关于E的gr扩展框架，那么存在L ∈Lgr(AF′)，使得in(L)=E。由于基语义是完全语义，AF′首先是AF关于E的co扩展框架，那么可知根据基标记的定义，对任意L′ ∈Lco(AF′)，in(L)⊆in(L′)。如果有标记使得其中有些论证被合法地标记为undec，那么L将不是AF′的基标记。L在上的限制是的基标记。与定理4 相同，这一条件通过的拓扑结构来表达。

定理9.AF=(A,R)是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E是一个论证集合，E ∩A是无冲突的，并且EA ⊆B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF关于E的gr扩展框架当且仅当

(1)AF′是AF关于E的co扩展框架；

定理9 在定理8 的基础上增加了条件(2)，其作用是通过保证是的基标记，来保证L是AF′的基标记。定理9 提出了AF′成为AF关于E的gr扩展框架的充分必要条件，表明了在完全语义下，实现强制外延的直接增加论证或关系的规则。

例14.E={a,e}。根据定理9，=AF5⊕({f,g,e},{(f,c),(c,f),(d,e),(a,d),(e,g),(f,g)})是AF5关于E的gr扩展框架（如图11 所示）。

图11 AF5 关于E 的gr 扩展框架

4.5 优先语义

如果AF′是AF关于E的pr扩展框架，那么存在L ∈Lpr(AF′)，使得in(L)=E。由于优先语义是完全语义，AF′首先是AF关于E的co扩展框架，那么可知那么out(L)=并且undec(L)=根据优先标记的定义，不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得in(L′)⊃in(L)。根据命题1，不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得undec(L′)⊂undec(L)。如果存在使得in(L∗)≠∅，那么L将不是AF′的优先标记。与定理5 相同，中不能再有论证被合法地标记为in这一条件，需要借助AF′的子框架的语义来表达。

定理10.AF=(A,R) 是AAF，B是一个论证集合，I是一个二元关系且I ⊆(A ∪B)×(A ∪B)。E是一个论证集合，E ∩A是无冲突的，并且E A ⊆B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是关于E的pr扩展框架当且仅当

(1)AF′是AF关于E的co扩展框架；

定理10 在定理8 的基础上增加了条件(2)，定理10-(2) 的作用是通过保证在完全语义下没有可接受的论证，来保证L是AF′的优先标记。定理10 提出了AF′成为AF关于E的pr扩展框架的充分必要条件，通过对AF′的子框架进行语义检验后，才能确定在优先语义下，为实现强制外延而对AF进行的扩展是否正确。

例15.E={a,e}。根据定理10，=AF5⊕({e,f,g,h},{(f,h),(c,f),(h,c),(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5关于E的pr扩展框架（如图12 所示）。

图12 AF5 关于E 的pr 扩展框架

5 结论

本文主要研究了强制外延的抽象论辩系统修正规则。本文用论辩框架上的运算来表达AAF 的更新，从两个方向进行系统修正规则的讨论：AAF 的限制和AAF的扩展。AAF 的限制是删除原始AAF 中的论证以及与这些论证有关的攻击关系，AAF 的限制规则主要讨论删除论证和关系的情况；AAF 的扩展是添加论证及攻击关系，AAF 的扩展规则考虑增加的论证和关系的情况。本文借助外延的结构特征以及其与AAF 上的论证、论证子集之间的关系，对可相容语义、完全语义、稳定语义、优先语义和基语义进行了分析，提出满足强制外延的AAF 的扩展规则和限制规则。

在以往对于论辩系统的修正规则的研究中，多考虑AAF 添加或者删除单个论证及关系的修正规则（[8]），或者受限于AAF 的扩张方式（强扩张或者弱扩张）（[6]）。本文对于AAF 扩展规则的研究，突破了这种限制。另外，Baumann 等人的研究（[6]）仅仅表明了强制外延的可能条件和不可能条件，并未给出详细的系统修正规则。本文通过对AAF 的限制框架和扩展框架的刻画，给出了满足强制外延的抽象论辩系统修正规则。本文关于这部分的研究涉及多个语义（可相容语义、完全语义、稳定语义、优先语义和基语义），就涵盖的语义范围来讲，本文所得出的结论较为完整。

在本文工作的基础上，可向两个方面继续进行研究：

(1)关于强制外延的系统修正，虽然不再限制添加或者删除论证的唯一性，但是设定了AAF 的变化方向：要么扩展，要么限制。对于强制外延的系统修正规则主要依赖两点：外延E的内部结构以及它的外部相对结构（与论证、论证集合之间的关系）。未来的研究可以打破对AAF 进行单向变化的限制（[14]），找到关于强制外延的更一般的修正规则。

(2)强制外延意在确保某个论证集合E在AAF 更新后成为其外延。稍加改变我们就可以得到更多的预期语义变化。最简单直接的是设定E为更新前AAF 的一个外延，此时，强制外延的系统修正规则即是满足存在外延保持不变的修正规则。除此之外，可以设定确保某个论证集合中的论证在AAF 更新后仍然是可接受的，或者确保某个论证集合中的论证成为AAF 更新后某一语义的所有标记下可接受的论证，即语义单调性。未来的研究可以延伸到以上述两种语义变化为目的的系统修正。