基于分形维数的密级配沥青混凝土设计指标预估

（交通运输部科学研究院，北京 100029）

0 引言

沥青混凝土配合比设计是沥青路面设计及施工过程中的重要环节，包括目标配合比设计、生产配合比设计及生产配合比验证等阶段，主要涉及矿料级配及油石比等参数的确定，在整个配合比设计过程中，施工矿料颗粒组成和沥青用量是决定沥青混凝土结构特性及路用性能表现的关键因素。用于沥青混凝土中的矿料具有颗粒破碎不规则、粒度分布非线性不连续及排布空间随机的特性，目前常采用级配曲线表征矿料颗粒特性，而直接采用级配参数对混凝土性能进行预估时，因影响不同级配类型沥青混凝土性能的矿料关键控制筛孔不同且有多个，建立简单明确的拟合关系较为困难。因此，如何基于矿料级配特性实现混凝土关键设计参数及路用性能的预估，即构建沥青混凝土原材料参数与其设计指标之间相关关系，对简化沥青混凝土配合比设计过程具有重要意义。

分形理论可以定量描述几何形体的复杂程度及空间填充能力[1]，适用于表征复杂的矿料粒度分布情况。截至目前，已有学者采用分形理论对沥青混凝土矿料特性与混合料性能的关系展开研究。20 世纪90 年代初，谢和平[2]便开始利用分形理论研究岩石的破坏状况。其后，高峰等[3-4]拟用分形维数表征岩块破碎程度，研究表明破碎后的岩块度呈现相应的分形特征，可用分形维数作为表征岩石破碎程度的指标；李晓军等[5]运用分形理论对沥青混合料破碎过程进行了动态识别研究；李晓燕等[6]通过分析粗集料轴向系数、分形维数等6 个参数，对粗集料形态特征变化的敏感性进行研究，并结合车辙试验和贯入剪切试验，发现分形维数是表征粗集料形态特征的最优指标；杨瑞华等[7]应用分形理论研究行业规范推荐的密级配沥青混凝土矿料级配限值曲线，发现矿料级配具有分形特性；张飞[8]通过研究不同骨架类型的级配，提出两段分形评价；Li 等[9]提出采用分形维数评价集料的形状特征。分形维数也逐渐被许多研究者用作描述和评价矿料颗粒形态特征的指标[10]。这些研究表明，分形维数可作为量化表征沥青混合料复杂程度的指标，一定程度上能简化不同沥青混合料之间复杂性的比较。在对矿料分形以及与沥青混合料性能相关性的研究方面，颜强等[11]研究得出分形维数可作为断面空隙复杂程度的评价指标，分形维数与沥青混合料性能具有一定相关性；Hu等[12]研究发现，集料分形维数对混合料内部空隙分布具有明显的影响，且具有正相关关系；陈国民等[13-14]研究发现，沥青混合料的代表级配分形维数与其结构类型相关，其动稳定度与分形维数线性相关，且集料表面纹理曲线分形特性粗糙度越高，沥青混合料的高低温性能和水稳性能越好；李波等[15]研究发现，SMA-16 的体积指标与分形维数具有相关关系；张金辉等[16]研究得出，连续级配沥青混合料集料分维对沥青混合料的体积指标和使用性能均有较大的影响；姚形傲等[17]研究发现，随着细集料的形貌特征分维增大，混合料极限弯拉应变与冻融劈裂强度比呈现先增后减的趋势，但混合料的高温稳定性变化不明显；杨瑞华、崔通等[18-19]研究发现，规范推荐中粒式沥青混凝土矿料级配曲线的分形特征与部分路用性能相关性较好。上述研究都表明，沥青混凝土矿料的分形与沥青混合料性能间有较强的相关性。

目前，将分形理论用于矿料级配与混凝土路用性能关系的研究多是在室内试验条件下对规范推荐级配限值[20-21]的研究，且大多聚焦于矿料特征分形与混凝土部分性能的相关性上，规范限值间的差异表现显著，故研究所得的相关性显著。而工程实际中基本不采用级配限值，且生产工况和干扰因素等更复杂，因此工程实践更关注利用的分形与性能的相关性指导混凝土设计。鉴于此，本文基于多条高速公路密级配沥青混凝土的应用情况，系统分析了工程用不同类型沥青混凝土矿料的分形特性，明确常用密级配沥青混凝土矿料分形维数及油石比分布情况，进一步基于AC-13 型及AC-20 型沥青混凝土构建沥青混凝土设计指标预估方程，以便为沥青混凝土配合比设计过程优化提供参考。

1 矿料的分形维数

目前，沥青混凝土采用的矿料主要来源于破碎的天然石料，其破碎过程表现出不规则性和复杂性，但石料在由大粒径到小粒径的破碎过程中的破碎机理是相同的，具有自相似性或尺度不变性，破碎颗粒和粒度分布均表现出分形特征[2]。具有分形特征的矿料颗粒重构混凝土空间结构的生成过程，可简化理解为破碎的逆过程，其特征也表现为分形[22]。由此，分形理论既可描述矿料颗粒粒度分布，又可描述颗粒混合排布过程特征，即可将级配与混凝土结构统一表征，采用分形理论可以简化矿料级配与混凝土性能的相关关系。

1.1 分形理论

分形理论是法国数学家Mandelbrot 在研究海岸线等典型复杂自然形态并总结以往分形领域纯数学理论研究的基础上创立的，是以欧氏几何难描述的不规则、无特征长度的形态为研究对象[23-24]。对于大多数复杂的自然形态，其具有统计意义上的自相似，局部放大与整体具有相同的统计分布规律[25]。对于海岸线这类复杂形态，用一维测度即长度δ1量测时需N次覆盖曲线[26]，则曲线长度为L(δ)=Nδ，当δ→0 时，N→∞,L→∞。而用二维测度即面积δ2量测时，得到曲线长度的测值为0。这表明，一维测度尺度（即维数）太小，而二维测度尺度太大，被测形态维数介于1和2之间，存在分数维。

推广至海岸线等复杂形态，其整体X由N个将X缩小ε倍的相似图形（类似打印机缩印的概念）构成，由此形成相似图形数的函数N(ε)=εD，D即具有维数意义[25]，称为分维。对于线段、正方形、立方体等整数维形态，既可用维数表征其形态特征（即一维、二维、三维等），也可用其维度下的测度表征其形态特征（即长度L、面积L2、体积L3）。对于测度复杂性难表述的分数维形态，维数表达替代测度并包含测度复杂性的信息，可表征局部填充整体过程中的传递关系和具有的复杂性特征。一般分形维数D可采用公式（1）进行描述：

1.2 级配矿料的分形维数

按分形理论，可认为级配矿料是不同粒径形态混合为一整体，即总颗粒为整体，亦即最大筛孔rmax通过颗粒数为一整体（通过率100%），整体由缩小为1/ε的相似图形构成，相似图形为筛孔r的通过颗粒数，相似图形数的函数为N(ε)=εD，其中ε=rmax/r，则关于筛孔r的通过颗粒数N(r)可表达为：

区间（r,r+dr）内的矿料颗粒数为：

因测量筛孔r的通过颗粒数非常复杂，实际矿料级配设计中采用筛孔r的通过颗粒的质量来表示矿料颗粒分布，即质量分布函数P（r）：

因矿料颗粒源于同种岩石破碎，可假设粒径r的矿料颗粒密度均为ρ，则区间（r,r+dr）内，矿料颗粒质量可表达为式（5），质量分布函数可表达为式（6）：

式（4）～式（6）中：P（r）为矿料质量分布函数，表示矿料在筛孔r的通过率；M（r）为通过筛孔r的矿料颗粒质量，即不大于r粒径的矿料质量（g）；M0为矿料总质量，即通过筛孔rmax的矿料颗粒质量；ρ为矿料颗粒密度（g/cm3）；k为基于特征尺寸的颗粒体积因子，为常数。

对式（6）进行积分，可得矿料颗粒质量分布函数P（r）与筛孔r的关联简式为：

综上，级配矿料的分形维数D如式（8）所示，可用于表征级配矿料的颗粒交互与颗粒填充混凝土整体的复杂性特征：

则3-D=，3-D即lgP（r）～lg（r/rmax）的最小二乘拟合直线的斜率。

1.3 密级配沥青混凝土的矿料分形维数

为明确密级配沥青混凝土的马歇尔指标与原材料参数的关系，采集近两年来多条高速公路不同路面结构层密级配沥青混凝土原材料参数、配合比及马歇尔设计指标。共采集数据200 余组，涉及上面层、中面层及下面层等结构层，涵盖AC-13,AC-16,AC-20 及AC-25 多种级配类型，集料均采用玄武岩，填料为石灰岩质矿粉。在研究沥青混凝土性能与矿料级配相关关系时，采用分形维数对混凝土级配进行表征，进一步研究混凝土相关性能与分形维数的关系，以避免直接采用级配参数进行拟合预估时出现控制变量过多的现象，有效优化预估过程。基于1.2 节中给出的计算方法，计算不同级配沥青混凝土的矿料分形维数，计算结果如图1 所示。对于不同类型的密级配沥青混凝土均可采用同一分形维数对其级配情况进行表征，同时每一组混凝土均存在唯一分形维数。对于同一类型级配的沥青混凝土，在进行工程应用时其矿料分形维数在一定范围内波动，其中AC-20 型沥青混凝土的矿料分形维数波动较明显。

2 不同级配沥青混凝土的矿料参数及油石比

在进行沥青混凝土配合比设计时，主要是在确定矿料及沥青类型基础上进一步确定矿料级配及沥青用量等参数。图2 所示为不同级配密级配沥青混凝土的矿料分形维数及油石比选用情况。

由图2（a）可知，所调研的工程中，密级配沥青混凝土的矿料分形维数基本在2.44～2.54 之间，拟合相关系数均在0.95 以上；不同级配沥青混凝土的矿料分形维数存在差异，选用的沥青混凝土矿料最大公称粒径较大时其分形维数相对较小。其中，AC-16 型沥青混凝土的矿料分形维数相对较大，这主要与《公路沥青路面施工技术规范》（JTG F40—2004）中推荐的混凝土的不同级配范围有关。工程实践中，在矿料级配选用时多以规范推荐级配中值为参考进行调整。本研究梳理实体工程中不同级配混凝土的矿料分形维数，发现与现有研究中变化趋势一致[6]。

由图2（b）可知，随着密级配沥青混凝土矿料最大公称粒径的增大，推荐油石比先增大后减小，AC-16 型沥青混凝土的油石比较高，其均值在5.0%左右。结合不同级配混凝土分形维数变化规律可知，AC-16 型沥青混凝土的分形维数较大，即该级配沥青混凝土中细颗粒矿料含量相对较高，故在成型时沥青用量也有所提升。

图1 不同级配沥青混凝土的矿料分形维数

图2 不同级配密级配沥青混凝土原材料参数

3 密级配沥青混凝土马歇尔指标预估

目前，沥青混凝土配合比设计主要以矿料级配及油石比为主，以马歇尔设计指标进行控制，主要控制指标包括稳定度、空隙率、流值及饱和度等。矿料来源、级配、沥青类型、沥青用量等因素均会影响马歇尔设计指标。在所调研的工程中，AC-13 及AC-20 型沥青混凝土应用量较大。为减小各类型沥青混凝土矿料产地和沥青来源等因素的影响，在评估矿料分形维数及油石比对混凝土马歇尔指标的影响时，主要以AC-13及AC-20 型沥青混凝土为主，进一步形成基于分形维数与油石比的沥青混凝土马歇尔指标预估方程。

3.1 AC-13型沥青混凝土马歇尔指标预估

图3（a）～图3（c）所示依次为AC-13型沥青混凝土的空隙率、稳定度、饱和度等指标与矿料分形维数及油石比的关系。对图3 中马歇尔设计指标与原材料参数进行多种曲面拟合，以期实现基于矿料分形维数及油石比的AC-13 型沥青混凝土马歇尔指标预估，拟合结果如表1、表2所示。在拟合过程中发现，流值与矿料分形维数及油石比均不存在显著相关性，流值作为稳定度测试过程中沥青混凝土发生破坏时的形变量，其影响因素不仅包括矿料分形维数、油石比等，沥青型号等因素也会影响流值测试。

图3 AC-13型沥青混凝土马歇尔设计指标变化规律

表1 AC-13型沥青混凝土空隙率与原材料参数拟合预估方程对比

表2 AC-13型沥青混凝土稳定度与原材料参数拟合预估方程对比

表3 AC-13型沥青混凝土饱和度与原材料参数拟合预估方程对比

由图3（a）可知，对于AC-13 型沥青混凝土，其在标准条件下成型的沥青混凝土空隙率受油石比及矿料分形维数共同影响。随着油石比的增大，沥青混凝土的空隙率逐渐下降，而矿料分形维数对混凝土空隙率的影响相对较小。表1 给出了AC-13 型沥青混凝土矿料分形维数及油石比与空隙率的3 种拟合公式，R2为0.847～0.861，拟合优度较高；综合相关系数及残差项平方和，推荐采用表1 中序号3 的公式作为空隙率与矿料分形维数及油石比的预估关系式，即在明确矿料级配及油石比基础上可参考该拟合公式对矿料空隙率进行预估。另外，根据拟合预估方程中油石比及矿料分形维数的系数比值可知，空隙率的主要影响因素为油石比。结合当前沥青混凝土设计过程中常通过目标空隙率确定最佳油石比的现状，在AC-13 型沥青混凝土级配明确的基础上可以基于预估方程反推最佳油石比。另外，亦可在配合比设计过程中利用该预估方程对推荐油石比进行验证，确保试验的准确性。

图3（b）所示为AC-13型沥青混凝土稳定度随矿料分形维数及油石比的变化规律。同样的，表2 中采用3 种公式对其相关性进行表述。其中序号3的公式相关系数明显高于前两个拟合公式，其拟合优度为0.691，相关性良好。综合对比拟合公式中油石比及矿料分形维数的系数可知，矿料分形维数对混凝土稳定度的影响较大，油石比的影响相对较小。这表明，在AC-13 型沥青混凝土配合比设计过程中，矿料级配是影响沥青混凝土稳定度的重要因素。随着矿料分形维数的增大，沥青混凝土稳定度提高，在明确混凝土级配及油石比的基础上，可采用推荐公式对沥青混凝土的稳定度进行预估，初步确定其稳定度是否满足设计要求。另外，考虑到混凝土稳定度与矿料分形维数相关性较好，在生产配合比验证阶段，可基于稳定度试验反推混凝土分形维数，进一步对比生产配合比与设计配合比的差异。该思路能够大幅减少现阶段配合比验证的繁琐工序。

图3（c）所示为AC-13 型沥青混凝土的饱和度随矿料分形维数及油石比的变化规律。表3 是基于不同拟合关系对其相关性进行分析，其中序号3 的公式相关系数较高，且其残差平方和相对较小，故推荐该公式为拟合预估方程，其拟合优度为0.881。沥青混凝土饱和度受油石比及矿料分形维数的影响较大，其中油石比对其影响显著高于矿料分形维数，因此在明确目标饱和度的基础上，可采用该预估方程反推沥青混凝土的油石比，以减少试验工作量。同样，也可基于该预估方程检验试验结果的准确性和可靠性。

3.2 AC-20型沥青混凝土马歇尔指标预估

图4（a）～图4（c）所示依次为AC-20型沥青混凝土的空隙率、稳定度、饱和度等指标与矿料分形维数及油石比的关系。同样对马歇尔设计指标与原材料参数进行多种曲面拟合，拟合结果如表4～表6所示。

图4 AC-20型沥青混凝土马歇尔设计指标变化规律

表4 AC-20型沥青混凝土空隙率与原材料参数拟合预估方程对比

表5 AC-20型沥青混凝土稳定度与原材料参数拟合预估方程对比

表6 AC-20型沥青混凝土饱和度与原材料参数拟合预估方程对比

由图4（a）可知，标准成型的AC-20 型沥青混凝土的空隙率受油石比及矿料分形维数共同影响，其中油石比变化对沥青混凝土的空隙率影响较大。表4 给出了AC-20 型沥青混凝土的矿料分形维数及油石比与空隙率的拟合公式，3 种拟合公式的拟合优度为0.773～0.775，相关性良好。综合对比后推荐采用表4 中序号3 的公式作为空隙率与矿料分形维数及油石比的预估关系式。相比AC-13 型沥青混凝土，AC-20 型沥青混凝土空隙率预估方程的相关系数较小，这表明矿料级配较大时，其空隙率受油石比及矿料分形维数的影响显著程度有所下降，但整体相关性较好。因此，可在配合比设计过程中采用该预估方程对推荐油石比进行验证，以提高试验结果的可靠度。

图4（b）所示为AC-20型沥青混凝土的稳定度随矿料分形维数及油石比的变化规律。表5 为构建的拟合预估方程式，其拟合优度为0.821～0.857。根据残差平方和，推荐采用序号3 的公式作为预估方程式。相比AC-13 型沥青混凝土，AC-20 型沥青混凝土的稳定度拟合关系式相关性较高，这表明颗粒级配较粗的沥青混凝土，其稳定度受矿料分形维数及油石比的影响较大，其中分形维数影响更显著，即矿料级配越粗的混凝土在其配合比设计时，混凝土稳定度受矿料分形维数的影响越显著。因此，对于AC-20 型沥青混凝土，基于其稳定度测试结果反推混凝土分形维数的准确度更高，这样也能更好地对比生产配合比与设计配合比的差异，简化生产配合比验证工序。

图4（c）所示为AC-20 型沥青混凝土的饱和度随矿料分形维数及油石比的变化规律。表3 为构建的拟合预估方程，其中序号2 和3 的拟合公式的拟合优度相同，序号3 的公式残差平方和相对较小，故推荐该公式作为拟合预估方程，其拟合优度为0.761。同理，在明确沥青混凝土目标饱和度的基础上，可采用该预估方程反推其油石比，以减少试验工作量，结合表4 中推荐的拟合公式，提高预估结果的准确性。

4 结语

本文系统调研了200 余组密级配沥青混凝土原材料参数及配合比设计参数，基于分形理论进行研究，推荐采用分形维数表征矿料级配特性，分析了工程常用不同级配沥青混凝土矿料分形维数及油石比分布情况，并构建了沥青混凝土设计指标预估方程，主要研究结论如下。

（1）不同密级配沥青混凝土均可采用唯一分形维数对其级配特性进行表征，现有同一类型级配的沥青混凝土的矿料分形维数在一定范围内波动，矿料分形维数差异较小，工程采用的密级配沥青混凝土的矿料分形维数基本在2.44～2.54 之间。随着密级配沥青混凝土矿料最大公称粒径的增大，推荐油石比先增大后减小，其中AC-16 型沥青混凝土油石比较高，其均值约为5.0%。

（2）随着油石比的增大，标准成型的密级配沥青混凝土的空隙率及饱和度逐渐下降，而矿料分形维数对混凝土空隙率的影响相对较小。在明确沥青混凝土级配的基础上，可基于混凝土设计参数的预估方程反推最佳油石比，同时可在配合比设计过程中对推荐油石比进行验证，以提升试验精度。

（3）矿料分形维数对沥青混凝土的稳定度影响较大，油石比的影响相对较小；随着矿料分形维数增大，沥青混凝土的稳定度呈增长趋势；在生产配合比验证阶段，可基于稳定度试验反推混凝土分形维数，并对比生产配合比与设计配合比的差异性，以减少现阶段配合比验证工序。

（4）构建了矿料分形维数、油石比与混凝土设计参数的预估关系式，拟合效果良好，可为混凝土配合比设计提供参考。在下一步研究中可增加工程用沥青混凝土原材料参数，扩大路用性能调研范围，进而基于海量数据构建原材料参数与混凝土路用性能的相关关系，进一步优化沥青混凝土配合比设计。