落实能量观 提升学科素养——浅谈能量守恒定律在高中物理解题中的应用

云南 蒋金团

在高中阶段，解答物理学中动力学问题主要有三种方法，第一种方法是采用牛顿运动定律结合匀变速直线运动的规律求解；第二种方法是采用动量定理和动量守恒定律求解；第三种方法是采用功能关系求解。第一种方法与第三种方法的主要差别在于处理多过程问题时，牛顿运动定律只能根据不同阶段的运动性质逐段求解，而功能关系既可以分段求解，也可以全过程求解，采用功能关系处理多过程问题往往有独到之处。正因为如此，在高中物理教学中，教师应依托相关的物理模型，深度培养学生的能量观念，提升学生的物理学科核心素养。

一、常见的功能关系

功是能量转化的量度，做功的过程伴随着能量的转化，一个力对物体做了多少功，就有多少能量发生转化，因此使用能量观点解题时，首先，必须弄清楚各个力的做功情况。实际答题时，可按如下的步骤依次进行：(1)选取研究对象进行受力分析，先分析场力(重力、电场力、磁场力)，接着分析弹力，最后分析摩擦力；(2)确定各个力的做功情况，若力与速度垂直则该力不做功，若力与速度同向或成锐角则该力做正功，若力与速度反向或成钝角则该力做负功；(3)根据各个力的做功情况确定对应能量的增减情况及数值；(4)利用功能关系列方程求解未知量。

几种常见的功能关系力做功能量的变化功能关系合力动能W合=Ek2-Ek1,合力做正功动能增加,合力做负功动能减少重力重力势能WG=Ep1-Ep2,重力做正功重力势能减少,重力做负功重力势能增加弹簧弹力弹性势能W弹=Ep1-Ep2,弹簧弹力做正功弹性势能减少,弹力做负功弹性势能增加

续表

( )

【解题总结】正确解答本题的关键点有三个：(1)准确地受力分析，弄清每个力的做功情况，进而确定合力做功属于恒力做功还是变力做功，若为变力做功，则优先考虑“动能定理”或“能量守恒定律”寻找解题突破口。本题中的探测器受到月球施加的万有引力，当探测器距离月球表面越来越高时，其所受的万有引力逐渐减小，因此本题属于变力做功问题，可选择动能定理作为解题的突破口；(2)要充分利用题目中给出的引力势能公式，根据功能关系算出万有引力所做的功，探测器升高时，探测器的引力势能增加，万有引力做负功，万有引力所做的功等于引力势能的增加量；(3)深刻理解黄金代换式的桥梁作用。

【例2】将一小球从地面上以一定的初速度竖直向上抛出，设小球的动能为Ek，小球距离地面的高度为h，小球在上升过程和下落过程中的部分Ek-h图像如图1所示，已知小球所受空气阻力大小恒定，当地重力加速度为g=10 m/s2，下列说法正确的是

图1

( )

A.从开始抛出到落回地面，小球损失的机械能为20 J

B.小球的质量为2 kg

C.小球受到的空气阻力为1 N

D.若以地面为零势能面，小球的最大重力势能为60 J

【解题总结】本题以图像为载体，考查学生对功能关系的理解及灵活应用。解答这类题，我们可按如下的步骤进行：(1)把图像中的每个点和运动过程中的每个位置一一对应，实现图像到运动模型的转化。例如，图像中的点(0 m，72 J)表示小球刚抛出时动能为72 J，而点(0 m，48 J)表示小球落回地面时的动能为48 J；(2)利用物理规律写出图像的表达式，把物理表达式和数学函数“y=kx+b”进行对照，找出斜率和截距的物理意义，难点便可突破。例如，上升过程的物理表达式为Ek=-(mg+F阻)h+72 J，该函数斜率的绝对值表示上升过程中小球受到的合力，纵轴截距表示抛出时的初动能，下落过程的物理表达式为Ek=-(mg-F阻)h+(mg-F阻)H，该函数斜率的绝对值表示下落过程中小球受到的合力，纵轴截距表示“(mg-F阻)H”。

二、滑动摩擦力做功与摩擦生热

滑动摩擦力做功(W=Ffs)和摩擦生热(Q=Ffs)是一对非常容易混淆的公式，学生之所以混淆在于他们没有区分两个公式中s的物理意义，事实上，只要准确把握好参照物，明确两个s的物理意义，这个点是不难突破的。

(1)计算滑动摩擦力做功时，分两种情况，若物体做单方向直线运动，公式W=Ffs中的s指的是物体的位移；若物体做的是往返型直线运动，公式W=Ffs中的s指的是物体的路程。

(2)计算摩擦生热时，分两种情况，若物体在运动的长木板上做单方向直线运动，公式Q=Ffs中的s指的是物体与长木板的相对位移；若物体在运动的长木板上做往返型直线运动，公式Q=Ffs中的s指的是物体与长木板的相对路程。

【例3】如图2所示，在光滑的水平地面上放置长木板B，在长木板的左侧放置滑块A，现用水平恒力将滑块A拉到长木板B的右侧，第一次将长木板B固定在地面上，此时滑块A克服摩擦力做的功为W1，两者间的摩擦生热为Q1；第二次长木板B未固定在地面上，此时滑块A克服摩擦力做的功为W2，两者间的摩擦生热为Q2，下列说法正确的是

图2

( )

A.W1W2，Q1>Q2

C.W1

【解析】长木板B固定时，滑块A的位移和相对B的位移大小都等于板长；长木板B未固定时，滑块A运动以后，长木板B在滑动摩擦力的作用下向右运动，此时滑块A的位移大小大于板长，而相对位移大小仍然等于板长。因为滑动摩擦力做功与位移有关，第二次过程的位移大小较大，则W1

【解题总结】解答本题的关键点是“两个区分”，首先，要区分“位移”和“相对位移”，计算滑块的位移时，以大地作为参考系，而计算滑块的相对位移时，以长木板作为参考系；其次，要区分“滑动摩擦力做功”与“摩擦生热”，滑动摩擦力做功与位移有关，而摩擦生热与相对位移有关。

【例4】如图3所示，在粗糙的水平地面上放置一质量为m=4 kg的长木板，在长木板的右端放置质量为mA=1 kg的滑块A，在长木板的左端放置质量为mB=5 kg的滑块B，两滑块与长木板之间的动摩擦因数均为μ1=0.5，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻两滑块以相同速率v0=3 m/s相向运动，两滑块相遇时，A与长木板恰好相对静止，当地重力加速度取g=10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

图3

(1)滑块B开始运动到滑块B与长木板相对静止时，滑块B与长木板之间的摩擦生热；

(2)滑块A、B开始运动时两者之间的距离。

【解析】(1)以水平向右为正方向，在滑块B开始运动到滑块B与长木板相对静止的过程中，由牛顿第二定律得

滑块A的加速度为aA=μ1g=5 m/s2

滑块B的加速度为aB=-μ1g=-5 m/s2

长木板的加速度为

以长木板作为参考系，对于滑块B，有

相对初速度为vB0相=v0=3 m/s

从滑块B开始运动到滑块B与长木板相对静止，所用的时间为

滑块B与长木板之间的摩擦生热为

Q=μ1mBg·xB相=15 J

(2)在滑块B开始运动到滑块B与长木板相对静止的过程中，以长木板作为参考系，对于滑块A，有

相对初速度为vA0相=-v0=-3 m/s

此过程中，滑块A的相对末速度为

vA1相=vA0相+aA相t1=-2 m/s

此过程中，滑块A的相对位移为

滑块B和长木板共速之后，设两者组成整体的加速度为a′，由牛顿第二定律得

因为|a′|<μ1g，说明滑块B和长木板共速之后，两者将一直保持相对静止。

在滑块B和长木板相对静止到滑块A和长木板相对静止的过程中，以长木板为参考系，对于滑块A，有

两滑块开始运动时，两者间的距离为

【解题总结】本题以“滑块—长木板模型”为载体，考查学生对牛顿运动定律、匀变速直线运动规律、摩擦生热等核心知识点的综合应用能力。处理“板块模型”时，运用“相对运动”解题往往有独到之处。实际解答时，按如下的步骤进行：(1)分别对滑块和长木板进行受力分析，根据受力情况确定运动情况，需要说明的是当滑块和长木板共速时，一定要用最大静摩擦力来判断摩擦力的突变情况；(2)运用牛顿第二定律分别算出滑块和长木板的加速度；(3)以长木板作为参考系，利用公式“相对量=研究对象的量-参考系的量”计算滑块的相对初速度、相对末速度、相对加速度和相对位移等运动量，需要说明的是，计算相对运动量时，矢量的方向必须参与运算，此时规定矢量的正方向显得尤为重要；(4)将相对运动量代入运动学公式，以时间为桥梁，将滑块和长木板的运动学方程联系在一起，便可联立求解。

三、与弹簧有关的能量守恒问题

“弹簧模型”是考查学生物理学科核心素养的良好载体，从力的角度讲，弹簧的长度发生改变时，它对物体施加的是变力，力的变化往往涉及临界问题和极值问题，这就能很好地考查学生应用牛顿运动定律解决动力学问题的能力；从能的角度讲，弹簧的长度发生改变时，必然涉及弹性势能和其他形式的能量之间的转化，这就能很好地考查学生应用能量观点解决物理问题的能力。

【例5】如图4所示，竖直平面内固定着一个半径为R=1 m的半圆形轨道，该轨道与光滑水平面在B点平滑连接，水平面左侧的墙上固定着一个轻质弹簧，一质量为m=1 kg的滑块将弹簧的右端压缩到A点后由静止释放，滑块脱离弹簧后经过B点时对轨道的压力为自身重力的8倍，之后沿着轨道向上运动恰能通过最高点C，已知当地重力加速度为g=10 m/s2，求：

图4

(1)弹簧的右端位于A点时，弹簧的弹性势能Ep；

(2)滑块从半圆形轨道的最低点B运动到最高点C的过程中，滑块与轨道之间的摩擦生热Q。

【解析】(1)设滑块经过B点时的速度为vB，此时受到的支持力为FN

由牛顿第三定律得FN=F压=8mg

联立各式得Ep=35 J

滑块从半圆形导轨的最低点B运动到最高点C的过程中，由能量守恒定律得

联立各式得Q=10 J

【解题总结】(1)弹簧将滑块推出时，滑块受到的合力是变力，匀变速直线运动规律并不适用，此时往往利用功能关系寻找突破口；(2)滑块在轨道上运动时，滑块做的是变速圆周运动，在圆周运动模型中，涉及某个位置的信息时，列向心力的来源方程，涉及研究对象从某个位置运动到另一个位置的过程问题时，列动能定理方程或能量守恒定律方程。

【例6】现有两个质量分布均匀的星球A和B，将两个完全相同的弹簧分别竖直固定在两个星球的水平桌面上，再将两物体P和Q分别轻轻放到星球A和B上弹簧的上端，两物体的加速度a与弹簧的压缩量x之间的函数关系分别如图5中的实线和虚线所示，已知星球A的半径是星球B的半径的3倍，下列说法正确的是

图5

( )

A.星球A和星球B具有相同的密度

B.物体P和物体Q的质量之比为3∶1

C.下落过程中，物体P和物体Q的最大动能之比为1∶4

D.下落过程中，物体P和物体Q的最大位移之比为1∶4