“动量守恒定律”要点透析

◎ 夏振华

动量守恒定律是自然界的基本规律之一，它在物理教学中是一个难点。基于动量守恒定律的重要性，许多教材对其理解要点进行了归纳，但均不够全面。本文试图在经典力学范围内比较全面地讨论动量守恒定律的理解要点。

一、质点组

动量守恒定律的描述对象是质点组。为确定质点组我们可以“随意选择系统边界，但是一旦选好了边界，哪些质点包括在系统之内，哪些质点是在系统之外，也就确定了”。

以上划分质点组的过程中，有一点不应忽视，那就是质点组是我们“随意”划定的。“随意”就没有客观标准，从没有客观标准划定的质点组出发得到的动量守恒就不可避免地与人联系在一起。

二、动量守恒的条件分析

1.质点组动量守恒条件

对于由n多个质点组成的系统。根据质心的定义可有：

2.质点组应用动量守恒条件之一

动量守恒的矢量表达式P=P0=恒定矢量。它有三个分量，各个分量可以分别守恒，即若Fx=0，则Px=常量；Fy=0，则Py=常量；Fz=0，则PZ=常量。即要求每个分量所在方向上所受的合力为零，这个方向上的动量就是守恒的。这一点有重要意义，因为在许多实际问题中，作用于体系的外力并不为零，体系的动量不守恒。但如果外力在某一方向的分量为零，或外力在该方向分量的代数和为零，则体系的动量在这一方向的分量是守恒的。

3.质点组应用动量守恒的条件之二

动量守恒定律的应用条件在理论基础上放宽为“质点组内部的相互作用远大于外部对质点组的作用”这一点具有重要的现实意义。因为在许多问题中，我们无法确定质点组受到的合外力是否一定为零，但是可以很容易判定质点组内部的相互作用是否远大于外部对质点组的作用。

三、用动量守恒定律解题需要注意时间性

1.质点组的时间性

动量守恒是动量在转化过程中的守恒。当动量无转化时，谈论使用动量守恒将没有意义。同样，我们划定质点组是为了讨论质点组中质点间的动量转化，如果某个质点组的质点间没有动量转化，那么这样的质点组也就没有存在的意义，所以质点组的存在是有时间性的。

比如，在光滑的水平面上有两个铁球m和M，M正以速度v向静止的m运动，并在之后的某时刻与m相碰。处理这个问题我们应用动量守恒，视m、M为质点，则它们组成质点组，需要注意的是，这个质点组只有在二者相碰时才成立。没有相碰时两个小球不构成质点组，因为它们之间没有动量交换，这样再去分析它们的动量是否守恒也就没有意义。

2.动量的瞬时性

动量守恒定律的瞬时性表现在动量守恒的表达式(以两个质点一维碰撞为例)：m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(4.2-1)。等式左边的动量都相对于动量交换的开始时刻，等式右边的动量都相对于动量交换结束后的时刻，这就需要特别注意式中各速度的时刻选取问题。下面就火箭推进问题进行阐述。

火箭飞行的基本原理就是利用动量守恒定律。考虑火箭在足够远的外层空间飞行，空气的阻力和重力的影响都可以忽略不计。设在某一瞬时t，火箭和燃料系统的质量为m，速度为v，在其后t到t+dt时刻内，火箭喷出质量为dm的气体(这里dm是质量m在dt时间内的增量，由于质量m是随t增加而减小，所以dm本身具有负值)，喷出气体相对于火箭的速度为u，喷气后火箭速度增加了dv，由于整个系统没有受到外力的作用，动量是守恒的，因此根据动量守恒定律可列出方程，取火箭前进方向为动量的正方向得：mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u)(4.2-2)。方程的左边是喷气前系统的动量，右边是喷气后系统的动量，式中v+dv是末时刻火箭对地的速度，v+dv-u是气体末时刻对地的速度。在有的教科书中方程却为：mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-u)(4.2-3)。

这个方程是不妥当的，因为等式右边v+dv是t+dt时刻火箭所具有的速度，而燃气的速度v-u所对应的时刻不是t+dt，t+dt时刻喷出气体dm相对地面的速度应为v+dv-u。在方程(4.2-2)和(4.2-3)中，方程(4.2-2)二阶无穷小项dmdv因式中出现一正一负而抵消，方程(4.2-3)在解方程时略去了二阶无穷小项dmdv，致使所研究问题的最后结论相同，都为：v2-v1=uln(4.2-4)。但方程(4.2-3)忽视了速度的瞬时性问题，这样的物理思想是不严密的。

通过以上例子的分析可以看出，在动量守恒定律的应用中，如果忽视速度的瞬时性问题，就会导致错误。

四、动量守恒的矢量性