指向儿童深度理解的小数意义单元整体教学

朱俊华

摘    要  单元整体教学可以让学生经历数学概念建构的完整过程，促进学生深度理解概念的意义和内涵，让学生的深度学习真正发生，而学生对概念的深度理解离不开经验性理解、形式化理解、整体性理解和结构化理解。

关键词 单元整体 小数意义 经验性 结构化 形式化

单元整体教学是以小学数学教材为依托，整合相关单元的资源，聚焦于某一主题的研究，对单元学习内容、资源进行有效整合和优化的一种教学方式。单元整体教学打破了课时与课时之间、单元与单元之间的边界，为学生深度理解数学概念建构一个整体而开放的学习体系，让学生在各种元素的比较和整体建构中开展探究活动，积累数学活动经验，获得学科素养的提升。

一、经验性理解：从生活经验到小数意义

经验性理解是学生基于自身经验对数学概念的一种初始性理解，这种理解可能不深刻，也不全面，但却意义重大。学生的生活经验、知识基础、学习能力、活动经验、思维品质等都是学习新概念的基础。学生在学习小数意义之前，对小数并不是一无所知，他们在生活中积累了大量的经验，比如商品的价格、物体的重量、同学的身高、体育比赛的成绩等等。这些生活经验为学生全面学习小数和理解小数的意义积累了丰富的感性材料，也为他们理解小数意义提供认知基础。

1.在生活调查活动中认识小数

教学前，我们可以组织学生开展“寻找生活中的小数”调查活动，并让他们说一说这些小数具体表示的意思。比如，学生见到某件商品标价是50.68元，尝试和爸爸妈妈说一说这个小数表示的实际含义是什么。依据生活经验，他们肯定知道小数点左边的“50”表示50元钱，小数点右边的“6”表示6角，“ 8”表示8分，所以50.68元表示的是50元6角8分。无论是6角還是8分，都不足1元，所以用小数表示。

2.在测量身高活动中引入小数

小数的产生源于生活中精确测量的需要，生活中学生常常会听到某人的身高是一米七二，一米七二其实就是1.72米，而且学生知道1.72米表示的是1米7分米2厘米。教学时，可以引导学生经历小数产生和发展的过程。首先让学生观察米尺，知道米尺通常可以用来测量1米、2米、3米……较长的整米数长度，那么，测量人的身高时，该怎么表示呢？如果统一用米作单位怎么表示？这样的认知冲突不仅能够激发学生进一步探究的欲望，也让他们初步感受到小数产生的必要和意义。

为了让学生的生活经验真正在概念学习中发挥作用，无论是“人民币制”还是“米制”模型的引入，都有利于学生的经验性理解，有利于学生从生活经验到小数意义的无缝对接。

二、形式化理解：从分数意义到小数意义

形式化理解是学生对自身经验的抽象化整理、组织、概括和表征[1]。形式化理解是在生活经验数学化过程中，学生通过抽象和建模不断理解概念本质的方式。我们知道，学生对小数意义的理解不能仅停留在单位换算层面，也不能机械记忆成分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……反之，应该让学生在多元表征中厘清小数和分数之间的关系，理解小数的实际意义和产生价值，体悟小数是十进分数的另一种表示方式，进而理解小数的深刻内涵。

1.实物表征

学生对小数意义理解的关键概念是0.1元的意义建构。生活中为了方便和统一表达，物品价格通常用元作单位，可是不满1元如何表示呢？这就需要小数。那么0.1元到底是怎么来的？又表示什么意义？教学时可以通过实物图形的表征，帮助学生理解。学生的已有经验是1元=10角，那反过来，1角=？元，这就需要把1元平均分成10份（见图1），每份是1元的十分之一，写成小数就是0.1元。通过分硬币的过程，学生能够理解小数和分数一样，都是通过“均分”得到的，1元的十分之一就是0.1元。接着，让学生通过涂一涂的方式分别表示出2角、3角、4角……各是多少元，感受0.2元、0.3元、0.4元……的实际意义。同时也让学生理解有几个0.1元就是零点几元，从而感受到其他一位小数是在0.1元基础上不断累加得到的，渗透了一位小数计数单位的概念。

2.图形表征

当学生通过货币、长度等计量单位换算体会小数与分数之间的关系，并初步理解小数的实际意义后，还需要通过图形表征进一步帮助学生抽象出小数的一般意义（见图2）。教学时，可以把10枚一角的硬币隐去，并用自然数“1”替换1元硬币。引导学生理解把自然数“1”平均分成10份，每份就是十分之一，写成小数是0.1。接着教师再追问，如果把每一小格（0.1）再平均分成10份，每份又是多少？学生经过讨论知道，把0.1平均分成10份就是把自然数“1”平均分成100份，每份是百分之一，写成小数是0.01，以此类推就可以得到0.001、0.0001……同时，学生也能在不断均分的过程中理解：分的份数越多，得到小数就会越小。

3.语言表征

小数是十进分数的特殊形式，教材是通过十进分数和小数的关系来理解小数的意义的。那么在实物表征和图形表征的基础上，我们还要强化学生的语言表达，让学生大声地把小数的意义说出来。比如把整数1平均分成10份，每份是，写成小数就是0.1，5份是，写成小数就是0.5;把整数1平均分成100份，每份就是，写成小数是0.01，99份是，写成小数就是0.99;把整数1平均分成1000份，每份就是，写成小数是0.001，125份是，写成小数就是0.125。同时，还要鼓励学生用自己的语言归纳，比如十分之几可以用一位小数来表示，百分之几可以用两位小数表示，千分之几可以用三位小数表示……

三、整体性理解：从整数计数到小数意义

整体性理解是学生对相关知识的一种整体认知。整体性理解是基于数学知识的内在结构，通过知识之间的比较、关联和迁移，实现知识的整体建构。整体性理解不仅有利于学生从整体上把握知识的本质，形成完整的数学认知结构，还有利于学生获得数学思想、提升数学能力。

小数和整数一样，都是建立在十进制基础上的数，小数的产生是数系的一次扩充。那么我们完全可以从整数的计数方法入手帮助学生研究小数的计数规律，从而更全面地理解小数的意义。教学时，我们可以通过小方块模型和计数器来帮助学生回顾整数的计数制（见图3）。如果用一个小方块表示整数1，一个一个地数，10个一就是1个十，10个十就是1个百，10个百就是1个千……从而让学生认识到整数“满十进一”的十进制本质。接着倒过来，让学生感受“十分”的过程，把1个千平均分成10份，每份就是1个百，把1个百平均分成10份，每份就是1个十，把1个十平均分成10份，每份就是1个一。以此类推，如果再把1个一平均分成10份，每份会是多少呢？显然，把1平均分成10份，每份就是十分之一，写成小数是0.1（见图4），把0.1再平均分成10份，每份就是0.01，把0.01平均分成10份，每份就是0.001……小数和整数一样，每相邻两个计数单位的进率也是10。

这样，就统一了小数和整数的计数方法，融通了小数和整数之间的内在关联，从整体上理解小数的形成和意义。无论是小数还是整数，相邻两个计数单位的进率都是十，小数和整数一样都是十进制计数法。

四、结构化理解：从一位小数到多位小数

结构化理解是在充分尊重学生已有认知基础上，强调连续儿童经验，关联相关元素，主动迁移运用，在结构关联中理解知识本质。布鲁纳说：“具有结构性的教材，才有利于学生理解，学生从结构中学到的原理，容易迁移到今后的学习中去。”[2]结构化理解要求我们的教学要处理好局部知识与整体知识之间的关系，让学生感受知识的结构性，从不同层次加以理解。

苏教版数学教材安排的小数意义的学习以“1分米等于几分之几米？写成小数是多少米？3分米呢？你是怎样想的？”展开讨论，然后迁移到两位小数和三位小数的意义理解。这样的安排符合学生的认知规律，也是在充分尊重学生认知经验的基础上开展教学的。教学时，我们不妨对一位小数的意义进行重点讨论和再研究。首先，通过生活中的商品价格引导学生回忆一位小数的实际含义，比如0.1元，是把1元平均分成10份，表示这样的1份，接着再理解0.2元、0.3元……0.9元，从而归纳出把1元平均分成10份，表示这样的几份就是零点几元。接着，通过使用一把无刻度的米尺测量课桌面的长（8分米），发现不足一米无法表示，只能把米尺平均分成10份，课桌面的长是这样的8份，用分数表示就是米，写成小数就是0.8米。然后，把数轴上的0～1这一段平均分成10份，在数轴的上下分别对应表示出和0.1、和0.2、和0.3……最后，把0.1元、0.1米和0.1联系起来思考，说说一位小數表示的意义。学生通过以上活动充分理解一位小数的意义。再进行经验迁移，自主探索并理解二位小数、三位小数……的意义，实现小数意义的整体建构。最后，学生把一位小数、二位小数、三位小数……的意义进行对比，寻找彼此之间的相同点和不同点，完善认知结构，最终实现对小数意义的结构化理解。

当然，结构化理解下的教学不要求面面俱到，也不要求在同类知识上平均用力，而是重点做到以下两点。一是把关键知识在“种子课”上进行着重探究和深度理解，既要拓展知识的宽度，丰富概念的内涵和外延，也要挖掘知识的深度，让数学概念的建构更加通透。二是通过知识、方法和经验的迁移探索其他相关联知识，实现知识的整体理解。所以，教学需要从知识的本质和系统出发，注重知识的内在关联和纵横联系，强调知识的整体建构和结构化理解，实现学生 “悟一通三”的教学效果。

基于单元整体的深度教学让学生在知识的整体关联中厘清知识的来龙去脉，感受知识的整体结构，体悟知识的深刻内涵，积累丰富的活动经验，形成数学学科关键能力。

参考文献

[1] 赵兆兵.数学理解的过程模型与实践策略[J].小学数学教师， 2018（11）.

[2] 布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982.

[责任编辑：陈国庆]