浅谈借助“数学画”解决问题的教学策略

管安

解决问题通常都是结合生活情境，信息呈现方式繁多或者图文并茂。学生在读题过程中容易被文字信息绕住，但是在教学中加入“数学画”模型建构的過程，当学生再遇到此类问题时，会主动分析题目信息之间的联系，再次回忆起数学模型的基本数量关系。

一、直观想象作铺垫：引儿童学数学

小学生的认知处于由形象直观思维为主向抽象逻辑思维发展过渡的阶段，我们的数学教学需要回归儿童视角，紧贴儿童认知发展水平进行。先让学生画图，利用“看得着”的图形让学生基于图形展开空间想象：看着自己画的图形，学生会更容易回忆和体会相关知识，更便捷地知道怎样可以使已知信息解决问题;如果不画图，学生凭空想象，要解决问题并非易事，而且很多学生甚至包括大部分成人还是要在脑海里完成直观想象。

借助可视化的直观图形展开直观想象，其实也暗含着对概念的直观理解和对问题的合情推理，例如：长方形图应用广泛，长方形图可以表示长×宽=面积这个数量关系，也可以单价×数量=总价，速度×时间=路程诸如此类的数量关系建立联系。借助长方形图，激发了学生对组合图形的直观理解，使学生对实际问题能不言自明，迎刃而解。所谓“有图有真相”，作为数学学科研究对象的“数”与“形”在相互结合的同时又各具特色，形的直观性和背后的“数的背景”使其具有一种“简单的深刻”，有利于小学生的概念理解和问题解决。以易于理解的图形问题激发学生思考其中的内在联系，进一步引导学生既看到图形的直观性，更看到图形的抽象性。

二、画图整理助探究：从画题意到画思路

问题解决领域的“数学画”我们统称“画思路”，若细加考量还可以有“画题意”和“画思路”之分。所谓“画题意”即画图表征题意，也是整理题目中的数量关系，先理清已知什么？求什么？

例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？引导学生的一系列画图，画题意，细致到位，有助于学生理解题意和数量关系。文字与图形互译的过程就是几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象的过程，这有助于直观理解数学，探索解决问题的思路，预测结果。一旦学生把问题表征清楚了，问题也就解决了一大半。

问题解决中的很多问题根源都出在“理解题意”上。培养学生的几何直观意识和能力对于发展学生的数学抽象思维显得尤其重要。通过“数学画”结合实际问题，学生逐步掌握用图形描述和分析问题，并能逐步优化出更为简洁的图形表示，借助图形使问题简明、形象，并敢于在独立解决实际问题的过程中借助“数学画”分析。几何直观基于“图形与几何”，又超越“图形与几何”。

画好题意之后，有些学生会继续将解决问题的思维过程清楚地画出来，这就是“画思路”，这方面最能体现学生思维的个性差异。让不同解法的学生展示自己的图，依图说思路。画图解决，很清晰地画出了解决问题的思考过程有助于锻炼思维的有序性条理性和多样性灵活性，有助于师生发现思维的疏漏之处便于更好地进行“教”的引导和“学”的改进，有助于学生想得“更清晰、更深入、更全面、更合理。

三、多方画图破难点：纸上画和脑海画

画图有三种水平，第一是在纸上画，第二是在脑海画，最高水平是在脑海画后再在纸上画加以验证。对于画图辅助问题解决来说，首先当然是纸上画图，整理题意，理清数量关系，思维可视化，顺利找到解决问题的方法;熟练了以后，可以不用纸上画图，直接在脑海想象，这也是空间想象力的发展;总有些问题比较复杂，仅凭脑海想象很容易出错，需要再回归纸上画图验证和修正想象。

例如：“长和宽各增加8米，面积增加了多少平方米？”这样的问题，学生很容易错用40×8+50×8=720（平方米）的计算解答，仅凭“想当然”的直观想象难以准确把握。当学生在画图时出现偏差，就要请学生纸上画图看看“到底是不是”，回到问题的本源处追问：“一个长方形长和宽各增加8米后会是一个什么图形？”引导学生重新审视所画的图，认识到“少了一个角”，从而及时发现和修正问题。这样的经验紧接着就被学生迁移到“长和宽各减少8米，面积减少了多少平方米？”等问题解决中去。而“有没有可能长增加和宽减少一定的米数，而面积不变呢？”成功地将学生的思考延伸到课后。

“数学画”不仅是一种解决问题的策略和方法，也是学生内隐性思维的一种外显化，从而“暴露”学生思维中的偏差和错误，促使学生和老师能够清晰地看见偏差和错误，进而使得老师的“教”和学生的“学”都有了支点，纠正“偏差”和修正“错误”的过程就是学习真正发生的过程。