“平抛+斜面”模型六大解题策略

福建 饶华东

平抛运动是考查“运动合成与分解”相关知识的重要载体，同时还可以结合功能关系考查，历来是高考的重点和热点，高考真题和各省质检试题中结合体育运动、生产劳动、军事训练等考查平抛运动的题目层出不穷。这些试题中“平抛+斜面”模型又是最常见的，特别是在2007年至2013年期间几乎每年都有高考试题涉及该模型(见表1)。2020年第32届夏季奥运会在日本东京举办，2022年第24届冬季奥运会则将在我国由北京和张家口联合举办，在此背景下，以跳台滑雪、飞镖投掷等体育运动为情景的“平抛+斜面”模型(或其衍生模型)，有可能再次进入命题专家的视野，2020年考生在高考备考时应该重视这一点，本文从六个方面阐述了“平抛+斜面”模型的解题策略以期对考生有所帮助。

表1 2007～2018年间“平抛+斜面”模型高考题统计

一、化曲为直，变难为易

平抛运动是匀变速曲线运动，运动过程中加速度不变，但速度方向和位移方向时刻在变，直接分析将会感到无从下手，如果将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，对运动过程的分析将变得简单明了。

图1

【例1】(2008年全国卷Ⅰ第14题)如图2所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足

( )

A.tanφ=sinθB.tanφ=cosθ

C.tanφ=tanθD.tanφ=2tanθ

图2

【解析】φ为速度与水平方向的夹角，而θ等于位移与水平方向的夹角，直接套用前面分析得出的结论：做平抛运动的物体，任意时刻速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，故选项D正确。

【点评】本题主要考查平抛运动规律的理解和应用，将平抛运动分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动，结合数学知识，便可推导出正确答案，当然如果能熟练运用二级结论，本题可以直接“秒杀”。需要指出的是熟练运用二级结论的前提是深刻理解平抛运动的规律，教学中发现部分同学将结论记成φ=2θ，在复习过程中应特别提醒学生，避免他们犯错。

【例2】横截面为直角三角形的两个相同斜面体紧靠在一起，固定在水平面上，如图3所示，它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶端以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是

( )

图3

A.图中三个小球相比较，落在a点的小球运动时间最长

B.图中三个小球相比较，落在c点的小球初速度最大

C.图中三个小球相比较，落在c点的小球运动过程中速度变化最快

D.无论小球抛出时速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直

【点评】做平抛运动的物体，其运动时间由下落高度决定，水平位移大小由初速度和下落高度共同决定，而落到斜面上时，速度与斜面的夹角受到平抛运动规律的限制，并非所有的值都能取到，这点需要特别注意。

二、另类分解，突破难点

解答平抛运动有关习题时，一般将运动分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动，但我们在解题过程中要避免陷入思维定式，在某些特殊的情景中，另类的分解方式往往可以快速突破难点，比如对于斜面上的平抛运动，可以将其分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直斜面的类上抛运动。类似的，斜抛运动除了可以分解为水平的匀速运动和竖直的上抛运动，还可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动。

【例3】(原创)如图4所示，以初速度v0从倾角为θ的斜面上A点水平向右抛出一个可视为质点的小球，小球落在斜面上的B点，C点为小球在运动过程中离斜面最远的点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是

( )

图4

B.小球从A到C和从C到B所需时间相等

C.小球从A到C和C到B沿斜面的位移x1∶x2=1∶1

D.小球从A到C和C到B沿斜面的位移x1∶x2=1∶3

图5

【点评】本题是笔者原创的习题，在实际测试中，得分率不高。CD选项错选率很高，错选C的同学误认为小球沿斜面匀速，而错选D的同学，虽然知道小球沿斜面是匀加速运动，但没注意到小球沿斜面有初速度。此外，求解小球离斜面的最远距离也是本题的难点。

三、妙用结论，快速解题

图6

结论二 从斜面上抛出一个小球又落在斜面上，落在斜面上时末速度与斜面的夹角β为一定值，满足tan(θ+β)=2tanθ(θ为斜面倾角)，即以不同的初速平抛小球，打在斜面上时，末速度方向平行。

【例4】如图7所示的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在斜面顶端将两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两个小球平抛运动时间之比为

( )

图7

A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16

( )

图8

【点评】若使用常规方法，这两个例题都需要大量计算，如果套用二级结论，则可轻松得出正确选项。

四、图形辅助，直观想象

【例6】(2015年上海卷第16题)如图9所示，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a点，第二颗落在b点。斜坡上c、d两点与a、b共线，且ab=bc=cd，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在

( )

图9

A.bc之间 B.c点 C.cd之间 D.d点

【解析】如图10所示，碰到斜坡前，炸弹在空中的轨迹是相互“平行”的，a、b之间及b、c之间的竖直高度差Δh相等，由于炸弹在竖直方向做自由落体运动，竖直速度越来越大，炸弹在b、c之间的下落时间Δt2小于炸弹在a、b之间的下落时间Δt1，炸弹在水平方向做匀速直线运动，Δt1时间内的水平位移Δx1=v0Δt1，Δt2时间内的水平位移Δx2=v0Δt2，显然Δx2<Δx1，炸弹在c点前碰到斜坡，落在bc之间。

图10

【点评】本题若采用解析法，列方程求解将会十分繁琐，而借助图象，直观明了，大大缩短了解题时间，提高了效率。

五、归类对比，明辨异同

图11所示甲乙丙的三种情形，是学生容易混淆的，小球“切入斜面”是指小球刚到达斜面时速度与斜面平行，“垂直打击斜面”是指小球到达斜面时速度与斜面垂直，“落在斜面上离抛出点最近的位置”指的是落在斜面上时位移与斜面垂直。

甲

乙

丙

【例7】(原创题)如图12所示，固定斜面倾角为θ，两个可视为质点的小球，先后从相同高度以初速度v0水平向右抛出，第一个小球垂直撞在斜面上，第二个小球落在斜面上离抛出点最近的位置，则两个小球在空中的运动时间之比为

( )

图12

图13

图14

【点评】解答本题的关键是要理解“小球垂直撞在斜面上”和“小球落在斜面上离抛出点最近的位置”的物理意义。在正确理解的情况下，根据平抛运动规律，结合几何关系，便可得出正确答案。

六、数理结合，巧求极值

平抛运动的极值问题，是平抛问题中的难点，要突破这一难点，需要一定的数学技巧。常用的技巧有“构造均值不等式求极值”“利用二次函数单调性求极值”“导数法求极值”等。

【例8】(原创题)如图15所示，一质量为m的小球(可视为质点)从倾角θ=45°的固定斜面底端A点正上方不同位置水平抛出，均落在斜面上的D点上，不计空气阻力，已知D、C点在同一水平线上，C点在A点正上方，D、C间距x=1 m，试分析h取何值时小球落在D点时的动能最小？

图15

【点评】平抛运动中，如果涉及速度、位移、动能等物理量极值的求解，一般需要根据平抛运动规律得出相应物理量的表达式，再结合数学知识求解。

平抛运动是历年高考的必考内容，“平抛+斜面”模型在高考题中频频出现，近年来题目背景推陈出新，加强了物理知识与生活背景的联系，但不管题目背景如何变化，考查方向不会变，解题方法不会变，掌握好上述六大策略，便能“逢山开路，遇水搭桥”“化曲为直找规律，数形结合巧解题。”