求索数学之道

杜月娇

在现代数学众多的分支学科中，代数几何是一门非常重要又特别的基础学科，它与数学中其他分支学科有着广泛的联系，并且被深刻地应用到理论物理及其他的科学技术中，而在大多数20世纪现代数学重大进步的背后，或多或少都有代数几何的身影。

在很多人的印象当中，数学家的工作场景就是每天埋头在草纸堆里演算，枯燥且乏味。但对于数学研究者来说，数字以及几何模型背后所隐藏的是无穷的科学奥秘以及鲜有人发现的“美”。在21世纪各类高新技术科学发展的大背景下，代数几何学研究领域也并没有被现代科学潮流所淹没，且有越来越多的科研人选择投身其中，南京大学数学系宗润弘教授就是其中之一。与代数几何领域结缘以来，他在代数几何的主要分支领域——双有理几何或极小模型纲领中不断探索，在穷极数理研究中，实现着思维的蜕变，实现着一次又一次的科研突破。

走进代数几何世界

中国宋明时代理学家有“格物致知、穷理明辨”的说法，Physics（物理学）最初被翻译成“格致”便是由此而来。高中时期，宗润弘就对物理这一“格万物而致穷理”的学科产生了极大兴趣。2006年，宗润弘考入中国科学技术大学。但因为高考分数的客观因素，他不得不放弃当年竞争激烈的物理专业，正式步入了电子学专业开始学习。

俗话说：“数理不分家。”也许是冥冥中缘分使然，大学一年级期间，宗润弘在偶然旁听数学系的拓扑学课程时，被授课老师发现其极大的数学天赋，并建议其转入数学系，进行今后的深度研究。再三考虑之后，宗润弘接受了这一提议，并顺利转入了中国科学技术大学数学系，从此开启了在代数几何领域的研究之旅。

代数几何是一门古老的学科，其中所蕴含的代数推理一般都比较精巧，而其研究对象又具有几何的直观，深入到这一学科之中，宗润弘对这一领域的研究兴趣也越来越深。整个本科期间，宗润弘系统学习了代数几何这一领域相关的知识，本科毕业之后，他顺利被导师推荐到普林斯顿大学从事代数几何研究，踏上了国外的漫漫求学之路。

代数几何领域于2010年左右在我国掀起了研究高潮，当时国内涌现了约10位左右的青年数学研究者，做出了一系列优秀的科研成果。而那时，正是宗润弘即将前往国外攻读博士的时期，这一学科在新时期的研究趋势与背景，也在潜移默化中激发了他走向更大的平台，深耕更深奥的代数几何领域问题的决心。

从2010年—2019年，在国外9年时间，宗润弘先后在美国普林斯顿大学、美国普林斯顿高等研究院以及德国美因茨大学等学术机构中进行科学研究。在国外21世纪掀起的金融风潮中，他不仅没有丢失自己的科研初心，还投身于自己真正感兴趣的代数几何领域的科研问题中，孜孜不倦求索，从未放弃。

深入极小模型纲领研究

数学是无穷的科学。在宗润弘眼中，代数几何领域所存在的诸多问题，都对他有着极大的吸引力。多年来，他就将研究扎根在纯粹数学中代数几何方向的理论研究中，特别是在作为代数几何的几个主要分支领域之一的双有理几何或极小模型纲领中，与相关研究者合作，实现了诸多科研创新突破。

20世纪80年代，双有理几何中最核心的纲领——极小模型纲领，是数学界里一个活跃的研究方向，1990年，日本数学家森重文因其在此领域的研究成果，获得了国际数学界最高奖菲尔兹奖。遗憾的是，此后10年间，这个领域的研究略微有些沉寂。直到2000年后，数学家们才取得重大进展。

零特征的代数闭域上的极小模型纲领，是极小模型纲领的一个基本思想。在这一思想的指导下，人们普遍猜测任何一个定义在代数闭域上的不可化归为有理连通代数簇的纤维化的代数簇都可双有理等价于一个极小模型代数簇。对于代数闭域的特征为零的情形，在双有理几何或极小模型纲领中已经有了由Prof. Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所证明的如下著名结论：对于一个射影的奇异性为Kawamata Log Terminal的对数偶（Log Pair）（X， D），如果其边界除子D是Big的且其对数标准从KX+D是Pseudo-Effective的，则KX+D一定有一个奇异性为Log Terminal的模型。这项结论可以蕴含零特征代数闭域上属于General Type的代数簇或者属于Log General Type的对数偶的极小模型的存在性。

虽然已经有了如上著名结果，但在零特征的代数闭域上的极小模型纲领中还有很多基本和重要问题尚未解决。比如，双有理几何或极小模型纲领的著名专家Prof. Shokurov曾提出如下猜想：给定一种来自镜像对称的零特征的代数闭域上的对数偶（X，D）的复杂度和绝对复杂度的定义（此种定义主要来自对边界除子D的在数量等价下的有效分解的分析），则当此对数偶（X，D）的奇异性为Log Canonical且其复杂度小于1时，代数簇X一定是一个Toric代数簇，而当此奇异性为Log Canonical的对数偶（X，D）的绝对复杂度小于2时，代数簇X一定是几何有理代数簇。运用零特征的代数闭域上的极小模型纲领的标准技术，以及一些关于对数偶上的锥的奇异性与对数偶的几何特性之关系的特殊观察及技巧，宗润弘与团队合作一起完全解决了如上由Prof. Shokurov提出的猜想。

目前，这项成果已经被他们在多场学术会议及多所高校及其他学术研究机构的研討班中予以报告，并且广受与会者及听众好评，有关的一篇论文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已经被Duke Mathematical Journal发表。

有理连通代数簇的性质探索

所有科学都来自人们对有趣的、非常规道路的发掘，代数几何领域也是如此。术语“簇”取自拉丁语族中词源的概念，有基于“同源”而“变形”之意。代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合，是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象，而这一研究对象对于扎根在代数几何领域的宗润弘来说有着极大的探索空间。在兴趣的驱使下，他不断深入有理连通代数簇研究中，试图通过研究解析其中所蕴藏的几何、拓扑与算术性质奥秘。