具有时延和丢包的非线性网络控制系统的切换稳定性研究①

张 奇 刘 斌

(*武汉科技大学冶金自动化与测量技术工程研究中心 武汉 430081)(**湖北省冶金过程系统科学重点实验室 武汉 430081)

0 引 言

随着网络通讯技术和计算机技术的高速发展，网络控制系统(networked control system， NCS)应运而生。相比于传统的控制策略，NCS的优势在于能够实现远程分布控制和远程分布共享，安装维护方便以及具有高度的灵活性[1]。然而，通过网络传输数据时，系统中不可避免地存在随机时延和数据包丢失，这将会影响系统的控制性能，甚至破坏其稳定性。针对存在的随机时延和随机丢包的线性NCS，输入时延、Bernoulli分布、Markov链以及切换系统等方法已经被用于对其进行建模和分析[2-5]。然而，只有少数文章研究了非线性被控对象。因此，对存在随机时延和丢包的非线性网络控制系统(nonlinear networked control system， NNCS)的研究是很有必要的。

对于一般的非线性被控对象，通常对其在平衡点附近进行线性化，然后再基于线性化后的模型进行分析和设计控制器。然而，线性化后的模型与原非线性系统模型之间存在较大偏差，这会影响系统的被控性能。由于Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型对非线性函数具有良好的逼近能力，因此，T-S模糊模型已被广泛用于非线性系统模型的表示[6]。文献[7，8]使用输入时延的方法将网络诱导时延和丢包等效为输入时延，并研究了基于T-S模糊模型的NNCS的稳定性问题。然而使用输入时延的方法往往需要构造复杂的Lyapunov函数来进行稳定性分析。文献[9]将NCS中的时延和丢包的概率作为模糊隶属度函数，提出了一种准T-S模糊模型去表示NCS。文献[10-12]将NCS中存在的丢包描述为Bernoulli过程，并采用随机系统的分析方法给出了基于T-S模糊模型的NNCS状态均方稳定的条件。

由于具有随机丢包的NCS具有切换系统的特性，可以将存在丢包的NCS建模为具有有限个子系统的切换系统模型。文献[13]将带有固定时延和随机丢包的NCS建立为切换系统，采用平均驻留时间(average dwell time， ADT)的方法研究了其指数稳定性问题。文献[14]将带有时变时延和随机丢包的T-S模糊系统建模为带有输入时延的切换模糊系统，并采用ADT的方法分析了其指数稳定性。文献[15]针对存在有限个稳定子系统和不稳定子系统的切换系统，在ADT的基础上提出了慢切换和快切换的模型依赖的平均驻留时间(mode-dependent average dwell time， MDADT)方法。文献[16]将MDADT扩展到在T-S模糊模型上的应用，但该文章仅研究了开环切换系统。文献[17]将存在双边随机时延和丢包的NCS建模为参数不确定性的离散时间切换系统模型，并采用慢切换的MDADT方法对系统的指数稳定性进行了分析。但是，其研究的对象为线性系统。文献[18]将存在丢包的type-2模糊系统建模为具有不稳定子系统的模糊切换系统模型，并对采用慢切换和快切换的MDADT方法分析了系统指数稳定性。但是，该文章并没有考虑系统中存在的随机时延且采用的是零输出方式来描述丢包现象。

基于上述分析，本文将存在双边随机时延和随机丢包的NNCS建模为带有参数不确定性的离散切换模糊系统，针对切换系统中的稳定子系统和不稳定子系统，分别采用慢切换和快切换的MDADT方法对系统的指数稳定性进行了分析，并给出了模糊状态反馈控制器的设计方法。最后，通过非线性倒立摆实验，证明了所提方法的有效性，并通过对比实验验证了基于T-S模糊模型设计的模糊控制器比基于线性化模型设计的线性状态反馈控制器具有更大的稳定范围。

1 问题构建及系统模型

本节基于T-S模糊模型，对具有随机时延和丢包的一般非线性网络控制系统(NNCS)进行建模。

考虑如下一般的非线性系统：

(1)

其中，x(t)∈Rn表示系统的状态变量，v(t)∈Rm表示系统的输入变量，f(x(t))和g(x(t)，v(t))为已知的非线性函数。

T-S模糊模型首先将非线性系统表示为几个局部线性的子系统，然后平滑地将各个局部线性的子系统通过相应的隶属度连接起来，从而形成非线性系统的全局模糊模型。因此非线性系统式(1)可以由一个T-S模糊模型表示，其第i条规则表示如下：

规则i： IFθ1(t) isMi1, …,θg(t) isMig

(2)

其中，θ1(t),θ2(t), …,θg(t)为状态变量组成的函数，即前件变量；Mij(i=1,…r,j=1,…,g)是模糊集；r是模糊规则数；Ai为Bi为具有合适维度的系数矩阵。因此，非线性系统式(1)可以表示为

(3)

图1 非线性网络控制系统结构框图

对其作如下假设。

(1) 传感器采用时间驱动方式，且采样周期为T。

(2) 控制器和执行器采用事件驱动方式。执行器采用0阶保持输出，当系统发生数据包丢失时(传感器到控制器之间或控制器到执行器之间发生丢包)，当前周期内执行器数据不会更新。

NCS的信号时序如图2。由于考虑了网络时延，被控对象的控制输入可以表示为[19]

(4)

图2 网络控制系统时序图

当系统在当前时刻未发生数据包丢失时，如图2在[kT, (k+1)T]、[(k+3)T, (k+4)T]以及[(k+4)T, (k+5)T]等时间周期内，由于存在着随机时延，连续被控对象模糊模型式(3)的离散化模型为S0。

S0:x(k+1)

(5)

当系统发生数据包丢失时，如图2在[(k+1)T, (k+2)T]、[(k+2)T, (k+3)T]等时间周期内，由于执行器采用0阶保持器输出，则连续被控对象模糊模型式(3)的离散化模型为S1。

(6)

+Γσ(k)iu(k))

(7)

当σ(k)=0时，系统当前时刻未发生丢包，则有：

当σ(k)=1时，系统当前时刻发生丢包，则有：

针对系统模型中存在的随机时延，使用不确定性的方法对其进行如下表示。

针对离散时间的模糊切换系统模型式(6)，使用增广矩阵z(k)的状态信息，根据并行分布补偿(parallel distributed compensation， PDC)，给出了模糊状态反馈控制器u(k)的设计方法[20]。

(8)

其中，Ki为待设计的控制器参数。

将式(8)带入式(7)中可以得到如下带有参数不确定性的离散时间模糊切换闭环系统模型Sσ(k)。

(9)

由于σ(k)∈Ω={0, 1}，即S0表示系统当前时刻未发生丢包；S1表示系统当前时刻发生丢包。由切换系统式(9)可知，当系统被控对象开环不稳定时，可以通过设计合适的控制器使子系统S0状态稳定，即子系统S0为稳定的子系统；然而当系统被控对象开环不稳定时，由于子系统S1不可控，即子系统S1为不稳定子系统。因此，根据系统当前时刻是否发生数据包丢失可以将系统描述为一个稳定子系统S0和一个不稳定子系统S1之间相互切换的切换系统模型。本文所给出的模糊切换系统模型可以有效地描述具有随机时延和丢包的NNCS。

2 系统指数稳定性分析

定义1对于给定的切换信号σ(k)，如果存在常数α>0， 0<γ<1，使得对于任意的初始状态x(k0)满足‖x(k)‖≤αγ(k-k0)‖x(k0)‖， ∀k≥k0，则离散时间切换系统模型式(9)的平衡点x=0在切换信号σ(k)的作用下全局一致指数稳定且具有衰减率γ。

定义2慢切换平均驻留时间(slow switching MDADT)[15]，对任意的k2>k1≥0，令Nσp(k1,k2)为在时间区域[k1,k2]上子系统Sp被激活的次数，Tp(k1,k2)表示在时间区域[k1,k2]上子系统Sp被激活的总时间周期数，N0p为系统的颤抖界，p∈Ω={0, 1}。如果存在常数τap>0，使得Nσp(k1,k2)≤N0p+Tp(k1,k2)/τap成立，则称τap为子系统Sp模型依赖的MDADT。

定义3快切换平均驻留时间(fast switching MDADT)[15]，对任意的k2>k1≥0，令Nσp(k1,k2)为在时间区域[k1,k2]上快切换子系统Sp被激活的次数，Tp(k2,k1)表示在时间区域[k1,k2]上快切换子系统Sp被激活的总时间周期数，N0p为系统的颤抖界，p∈Ω={0, 1}。如果存在常数τap>0，使得Nσp(k1,k2)≥N0p+Tp(k1,k2)/τap成立，则称τap为快切换子系统Sp的MDADT。

根据上述定义，慢切换MDADT的含义为切换系统式(9)中某个子系统Sp在某2个相邻切换点之间的时间间隔可能会小于τap个采样周期，但是在整个时间域内，子系统Sp在某2个相邻切换点之间的时间间隔平均起来不小于τap个采样周期。同理，快切换MDADT的含义为切换系统式(9)中某个子系统Sp在某2个相邻切换点之间的时间间隔可能会大于τap个采样周期，但是在整个时间域内，子系统Sp在某2个相邻切换点之间的时间间隔平均起来不大于τap个采样周期。

由上文可知，系统可以被描述为在一个稳定子系统S0和一个不稳定子系统S1之间相互切换的离散模糊系统模型。根据上述所给出的离散切换系统的2类MDADT，与文献[17]采用慢切换去处理所有的子系统不同的是，本文采用慢切换方法去处理稳定子系统S0，采用快切换方法去处理不稳定的子系统S1。其主要思想是设计切换规则使稳定子系统的MDADT足够大以及使不稳定子系统的MDADT足够小，从而使整个切换系统指数稳定。因此，在时间区域[k1,k2]上，对于稳定子系统S0，有Nσ0(k1,k2)≤N00+T0(k1,k2)/τa0；对于不稳定子系统S1，有Nσ1(k1,k2)≥N01+T1(k1,k2)/τa1。

本文的主要目的是在考虑一定时延和丢包率的条件下，采用模型依赖的平均驻留时间方法，通过合理地设计控制器增益，使系统的状态全局一致指数稳定。

引理1考虑上述系统式(9)，对于给定的常数-1<λ0<0、λ1>0，假设存在C1函数V0(z(k))和V1(z(k))：Rn→R以及κ∞类函数κ1、κ2，使得：

以及对于任意的切换信号满足如下的MDADT：

(10)

其中，τa0是子系统S0的MDADT，τa1是子系统S1的MDADT，那么切换系统式(9)是全局一致指数稳定的，其指数收敛率为γ。

定理1考虑离散模糊切换系统式(9)，对于给定的常数μ0>1、 0<μ1<1， -1<λ0<0、 0<λ1<1，如果存在对称矩阵Pp>0，Pq>0， ∀(p,q)∈Ω×Ω，且p≠q，使得下式成立：

Vp(z(k+1))≤(1+λp)Vp(z(k))

(11)

Pp<μpPq

(12)

且如果切换系统的MDADT满足式(10)时，离散模糊切换系统式(9)是全局一致指数稳定的。

Vσ(ki)(k)

…

Vσ(k0)(k0)

令k0=0，Vσ(k)(k)=Vσ(ki)(k)，对于模型依赖的平均驻留时间满足式(10)的切换信号，有：

=exp{N00(k, 0)lnμ0+N01(k, 0)lnμ1}

≤exp{N00(k,0)lnμ0+N01(k,0)lnμ1}γkVσ(0)(0)

(13)

β1‖z(k)‖≤Vσ(k)(k)

≤Lγk·β2‖z(0)‖

‖x(k)‖≤‖z(k)‖<αγk‖z(0)‖

=αγk‖x(0)‖

当γ<1时，系统状态指数稳定。证毕。

3 系统指数稳定控制器设计

引理2(Schur补引理)对于给定的对称矩阵A、对称正定矩阵C、矩阵B，A+BTCB<0等价于

引理3对于给定的实矩阵W、D、E和F(k)，其中W为对称矩阵，对于任意满足FT(k)F(k)0，使得W+εDDT+ε-1ETE<0。

引理4对于任意实对称矩阵Xi、Yi(1≤i≤r)和适当维数的矩阵S>0，以下不等式成立：

定理2考虑离散模糊切换系统模型式(9)，对于给定的常数μ0>1、0<μ1<1，-1<λ0<0、0<λ1<1，若存在对称正定矩阵Xp，p∈Ω，矩阵Y0i以及标量εi>0，i=1,…,r，使得如下线性矩阵不等式(LMIs)成立。

(14)

(15)

(16)

其中，

(17)

对式(12)和式(17)运用Schur补引理得：

∀p∈Ω(18)

(19)

∀p∈Ω(20)

(21)

因此，由不等式(21)可得不等式(16)。

(22)

因此，当式(15)成立时，式(22)成立。

当p=0，系统不发生丢包，系统中存在的随机时变时延用参数不确定性的形式表现，由式(20)可得：

<0 (23)

其中，Y0j=KjX0。

< 0 (24)

运用Schur补引理，不等式(22)可以等效为

<0 (25)

因此，当式(14)成立时，式(25)成立。证毕。

同样地，当考虑线性被控对象时，在定理2的基础上，有如下推论。

(26)

(27)

(28)

证明推论1证明过程与定理2类似，在此不作说明。

由定理1和定理2可知，如果切换系统的MDADT满足式(10)，则可以对模糊切换系统式(9)的指数稳定性进行分析及控制器的求解。值得注意的是，系统的丢包率越大，越难得到满足系统状态指数稳定的控制器。

传统的ADT方法是让所有子系统共用同一个ADT，而MDADT方法是让每个子系统都拥有单独的ADT，相比较而言，MDADT方法在稳定性分析上具有更小的保守性。同时快切换和慢切换相结合的MDADT方法更是对慢切换MDADT方法的一种补充。

4 数值仿真

考虑带有随机时延和随机丢包的非线性倒立摆系统，倒立摆的动力学模型描述如下：

(29)

分别使用T-S模糊模型以及线性化后的模型表示上述倒立摆的分线性动力学模型，然后分别根据相应的模型以及本文所提出的方法设计模糊状态反馈控制器以及线性控制器，比较两者控制器的控制效果。

4.1 T-S模糊模型

当x1(t)在平衡0点附近时，有sin(α)≈α和cos(α)≈1。值得注意的是，当x1(t)=±π/2时，系统是不可控的。因此，当x1(t)在±π/2附近时，有sin(x1(t))≈±1和cos(x1(t))≈cos(±88 °)。由式(2)可知，倒立摆的动力学模型式(29)可以被表示为T-S模糊模型，其模糊规则如下：

(30)

4.2 线性化模型

当x1(t)在平衡0点附近时，有sin(α)≈α和cos(α)≈1。则式(29)在0点附近线性化为

(31)

对于上述的线性化的模型式(31)，通过推论1求解LMIs式(26)～(28),可得：K=[69.369616.6809 0.5031]。

如图4可知，当摆杆的初始状态满足x1(0)∈[-55 °, 55 °]时，模糊控制器可以使倒立摆平衡，当摆杆的初始状态|x1(0)|>55 °时，系统状态发散。如图5可知，当摆杆的初始状态满足x1(0)∈[-45 °, 45 °]时，模糊控制器可以使倒立摆平衡，当摆杆的初始状态|x1(0)|>45 °时，系统状态发散。因此，对于带有随机时延和丢包NNCS稳定性分析,仿真结果证明了所提方法的有效性，并且通过对比实验验证了根据T-S模糊模型所设计的模糊控制器比根据模型线性化方法所设计的线性控制器具有更大的稳定范围。

图3 采样周期T=0.04 s，丢包率17.20%的数据包传输时序图

图4 模糊控制器仿真实验结果

图5 线性控制器仿真实验结果

5 结 论

本文使用T-S模糊模型、参数不确定性方法以及切换系统方法将带有双边随机时延和丢包的NNCS建模为参数不确定性的离散模糊切换系统，使用慢切换和快切换相结合的MDADT方法给出了该切换系统状态指数稳定性条件，并求解相应的LMIs得到模糊控制参数，根据T-S模糊模型所设计的模糊控制器比根据模型线性化方法所设计的线性控制器具有更好的控制效果。