促进法则内化 明晰生发原理——以“有理数加减法（1）”教学现实为例

■潘建明

在初中数学教学中，法则教学是重点内容。然而，在当下的数学法则教学中，常见的问题有：不明算理，机械地套用公式，运算缺乏合理性，对运算内涵缺乏科学的认识。我们团队（常州市自觉数学教育高端成长工作室）在法则教学的研究中达成如下共识：（1）要以法则教学为载体，在让学生掌握法则的同时，达到对“法理”的思考，从操作层面上升到思维层面，使数学思维品质得到发展；（2）在法则教学过程中，结合学生的认知基础，要整理好教学线索，例题选择要精，具有层次性和可变性，尽量能一题多变，一题多解，以便举一反三，触类旁通。练习切忌机械训练和重复演练，最好以题组的形式，多角度、多形式、全方位进行训练，以深化对法则的理解，形成解题技能；（3）法则的教学过程通常是给例子——找规律——归纳法则——适用辨析——运用法则——推广法则，要让学生亲历法则的形成过程，将带有生硬“规定性”的法则变成学生的自然生成，没有“过程性思辨”就没有思维品质的提升；（4）教学中要让学生学会举例，并对例子进行分类、归纳、综合、概括，然后用概括性的语言表达出来，体现从未知生长出新知，运用已有经验探索新知的过程，充分淡化生硬的“规定性”的痕迹；（5）掌握法则是教学的难点，教学中要认真思考如何让学生真正理解法则，要在关键处发力；（6）通过对法则适用性的思辨，可以让学生积累数学活动经验和感悟数学思想，培养思维品质。下面，笔者以苏科版数学教材七年级上册“§2.5有理数加减法（1）”的教学现实为例，谈谈法则教学，供大家参考。

一、经验唤醒

有理数的加法是在小学算术加法运算上的拓展，是初中数学运算最重要、最基础的内容之一。本节课是在学生已经理解并掌握了有理数概念的基础上进行教学的。学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，学生能否接受并形成在有理数范围内进行各种运算的思维方式（先定性再定量），关键在于这一节的学习。

师：在小学，我们已经学过了加、减、乘、除四则运算法则，不过参加运算的数都限于正数之间。现在我们已经学习了有理数，当然也要研究有理数的加、减、乘、除等运算。那么，有理数的这些运算的运算法则相对小学会发生什么样的变化呢？今天我们从最简单的运算——加法开始。有理数加法运算法则会和小学的加法运算法则一样吗？带着这样的思考，我们先进行相关知识的回顾。有理数是怎么分类的？

生1：有两种分类。

分类一：

分类二：

师：在“分类二”中，我们将正有理数简单称为正数，负有理数简单称为负数，当然有理数中还包括0，则两个有理数相加分别有几种类型？

生2：正数+正数、正数+负数、正数+0、0+0、负数+0、负数+负数。

师：我们把符号相同的两个数相加叫作同号两数相加，把符号不同的两个数相加叫作异号两数相加。上面的五种类型又可以重新分为几类？

生3：同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加。

［启示］数学是自然的、清楚的、合情合理的，要让学生理解新知，首先要关注新知的引入。新知的引入通常有两类：一类是从解决实际问题出发的引入；一类是从数学知识的发生发展过程引入。这里的引入属于后一种。

二、自觉体悟

在教学中，我们要让学生通过自主探究获得积极的感性体验，特别要关注学生的“过程性积淀”，要掌握时间火候，关注学路优先，让学生自己进行法则的总结和提炼，不能将法则“强加”给学生，只有这样，学生对有理数加法的法则才会理解深刻、掌握到位。

师：现在我们将铅笔的笔尖在数轴上进行左右方向的运动，规定向右为正。如：以原点为笔尖运动的起点，向左运动5 个单位记作-5。请同学们拿出课前准备好的数轴，先独立探究，再小组交流，对有问题的同学给予帮助。先请完成探究活动一。（学生探究、交流，教师巡学指导。）

问题①：先向右运动5个单位，再向右运动3个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

问题②：先向左运动5个单位，再向左运动3个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

学生总结归纳（教师板书）：（+5）+（+3）=8，（-5）+（-3）=-8。

师：再请完成探究活动二。（学生探究、交流，教师巡学指导。）

问题③：先向左运动3 个单位，再向右运动5个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

问题④：先向右运动3 个单位，再向左运动5个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

问题⑤：先向左运动5 个单位，再向右运动5个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

学生总结归纳（教师板书）：（-3）+5=2；3+（-5）=-2；（-5）+5=0。

师：最后请完成探究活动三。（学生探究、交流，教师巡学指导。）

问题⑥：如果笔尖第1 秒向右（或左）运动5个单位，第2 秒原地不动，两秒后笔尖从起点向右（或左）运动了5 个单位，能否用算式表示？总结果是什么？

学生总结归纳（板书）：5+0=5或（-5）+0=-5。

［启示］教学明线是学生进行探究活动，增强感性体悟。若探究活动放在一起进行，学生会很乱，也不易理出头绪。分阶段进行会让学生很清晰地看到问题的实质，使其获得的感性体验不断地得到强化。教学暗线是分类探究，与前面学生归纳的“同号两数相加、异号两数相加、一个数与0 相加”相吻合，利于学生归纳法则时进行分类思考。

三、探究导学

为了让学生进一步感知法则，我们可以通过足球比赛的净胜球数让学生在不同的背景下进行感知，然后进行法则的归纳与提炼。其设计有：其一是强化认知经验，其二是进行认知的迁移；让学生将黑板上所有算式关于两个加数的符号进行分类，是对分类思想的再强化；在此基础上，（三个分类型中）让学生观察、分析、归纳和提炼有理数加法的法则，就能较好地“顺应”学生的认知规律。

师：大家都喜欢足球，实际上足球比赛中赢球数与输球数是相反意义的量。我们可以规定赢球为“正”，输球为“负”，比如，赢3 球记为+3，输2 球记为-2。在足球比赛中规定：进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫作净胜球。那么学校足球队在一场比赛中的净胜球可能有以下各种不同的情形：（1）上半场赢了3球，下半场赢了2 球，全场共赢了5 球，也就是（+3）+（+2）=+5；（2）上半场输了2 球，下半场输了1 球，全场共输了3 球，也就是（-2）+（-1）=-3。你们还能说出其他情形吗？（教师将所列出的算式进行板书。）

生4：上半场赢了3 球，下半场输了2 球，全场赢了1球，也就是（+3）+（-2）=+1。

生5：上半场输了3 球，下半场赢了2 球，全场输了1球，也就是（-3）+（+2）=-1。

生6：上半场赢了3 球，下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是（+3）+0=+3。

生7：上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是（-2）+0=-2。

生8：上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是0+0=0。

师：请同学们将黑板上所有算式按关于两个加数的符号进行分类。

生9：分三类，分别是同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加。

师：看看这些算式，你们认为有理数的加法法则和小学里学的加法法则一样吗？

生10：不一样。

师：请同学们分三类来归纳出有理数加法法则，先自己说给自己听（独学），再说给同桌听（对学），最后小组交流（群学）。（学生表述、交流，教师巡学指导。）

教师在学生全班展示的过程中，板书有理数加法法则。（略）

师：哪一类法则最难归纳？

生11：异号两数相加，它也要分两种情况——绝对值不相等的异号两数相加和绝对值相等的异号两数相加。

［启示］由学生喜欢的足球入手，以净胜球数让学生列出其他算式，从多个算式中让学生进行分类，并进行启发，加强了学生对“分三类”的分类思想的认知。分三类分步进行归纳减轻了学生归纳的“工作量”，也降低了归纳和理解的难度，使不同层次的学生都能跟上“节奏”；最后一句“哪一类法则最难归纳？”加深了学生对异号相加法则要“分类”的记忆。

为了让学生理解法则和学会书面表达，举例如下。

例1 计算：①（-3）+（-9）；②（-4.7）+3.9；③0+（+11）。

例2 某公司三年的盈亏情况如下表所示，规定盈利为“+”（单位：万元）。

第三年+42第一年-24第二年+15.6

（1）该公司前两年盈利了多少万元？该公司三年共盈利多少万元？

（2）请自己创编计算练习题。

（3）试着利用这些算式编制应用题：①（-2）+（+2）；②（+12）-（-8）；③（-8）+（+6）。

［启示］针对解题过程的规范格式，教师一开始就要强调到位，只有不断地强化和约束，才能让学生慢慢养成良好的习惯；对于“现在大家有没有发现做两个有理数的加法运算和小学里做两个数的加法运算有什么不同吗？”的追问，是想让学生自己归纳出来以强化“代数算法思维”——先定性再定量；例2 的补充是为了拓宽学生的视野，从求两个有理数的和到求3个有理数的和，形成推广能力。

国际著名数学教育家弗赖登塔尓指出：“学生学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生个人把要学的东西自己去发现或创造出来。教师的任务是引导和帮助学生去进行再创造，而不是把现成的结论灌输给学生。”本节课让有理数加法法则“化雪无痕”地落到学生的心里，使学生“自然地吸收”，也就是说在教学中，我们要通过学生的思维活动，把前人的思维结果化为他们的思维结果，重视学生的“自觉建构”。