浅谈函数思想在数列中的应用

谢丽君

（吉林师范大学，吉林长春 130000）

引 言

数列在高中数学中占据着重要地位，可以看成以正整数集（或者是它的有限子集{1，2…，n}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一系列函数值[1]。在此基础上，学生可以将数列问题转化为函数问题，从而利用函数思想在数列中的应用进行解题。

一、函数解析式在数列中的应用

数列是一种函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成关于n的函数。下面，笔者通过表格给出数列的通项公式和前n项和公式与函数解析式之间的关系（见表1）。

表1 数列与函数解析式之间的关系表

用函数的思想解决题目中给出的数列前n项和公式的问题时，学生还需要注意该数列是否为分段数列，也就是说a1是否满足该数列的前n项和公式[2]。下面，笔者用一道例题进行简要说明。

例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n+1，则数列{an}的通项公式为__________。

解析：本题的常规做法是找到Sn与an之间的关系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)，再利用Sn求出首项a1，将a1代入前面所求的通项公式中进行验证即可。该题目给出的前n项和公式是含有常数项的二次函数，常规方法的解题步骤仍与前面相同，但是在最后的验证环节，学生会发现该题目中的首项并不满足所求的通项公式，即该数列是分段数列。通过运算得出本题的通项公式为

如果题目给出的前n项和公式是表1中的二次函数形式，那么学生就可以直接根据该数列是等差数列，求出公差d和a1即可。题目中给出的前n项和公式若是含有常数项的二次函数形式，则说明该数列是分段数列。

二、函数图像在数列中的应用

在解决函数相关问题的过程中，函数图像往往最能直接体现函数的特征。如根据数列前n项和求出Sn最大时n的值、数列中各项大小的比较等类型题目均可以借助函数图像的直观性进行解答[3]。

例2：在等差数列{an}中，已知a1=20。前n项和为Sn，且S10=S15，问当n为何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。

解析：如图1所示，用函数的观点来解决该题目可知，当S10=S15时，S25=0。在利用函数思想挖掘出本题目的隐含信息后，问题就变得容易了。由函数图像可以看出，当n=12和n=13时，本题目有两个相等的Sn最大值。根据题目中所给的信息a1=20 和S25=0，可以得到，所以a1+a25=2a13=0，即a13=0，最后再根据a13+a1=20，即可求出结果。

图1 利用函数图像表示数列前项和

三、函数单调性在数列中的应用

函数的单调性是函数的基本性质之一，因此，对数列单调性的判断可以借助函数单调性的判断方法。例如，等差数列{an}，根据其通项公式与一次函数之间的关系可知，当d＞0时，数列是递增数列；当d＜0 时,数列是递减数列；当d=0 时,数列是常数列[4]。

例3：已知数列{an} 满足，则an的最大项为________。

利用函数的单调性可以解决与数列有关的最值、不等式、比较各项大小等数学问题[5]。

四、函数周期性在数列中的应用

函数的周期性是指若存在一个非零常数T，对于定义域内的任意x，使得f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)为周期函数。而数列作为一种特殊的函数，其周期性是指对于任意的正整数n，若存在常数T(T∈N+)，使得an+T=an，则数列an具有周期性。

例4：数列{an}的通项，其前n项和为Sn，则S30为______。

解析：三角函数具有周期性，当三角函数与数列相结合时，数列就具有了周期性。首先对进行降幂处理，。通过列出前9 项可以发现该数列是以3 为最小正周期的数列，于是将每个周期内的三项相加，构成了一个以为首项，以9 为公差的数列{bn}，该数列的前10 项和T10即为最终答案。

当然，不仅数列与三角函数相结合会体现出周期性，还有一些数列本身就具有周期性。当题目中的数列各项没有明显关系时，学生可以根据题目中给出的递推关系式，先写出数列的前几项，再观察其规律，最后求出该数列的周期[6]。

结 语

函数思想是高中数学思想的重要组成部分。在函数基础上，研究数列的本质内容，不仅可以帮助学生更好地理解数列的概念，还能让学生更进一步地掌握和应用函数思想。学生要随着对数列考查的不断深入而灵活运用函数思想，使其成为解决数列问题的重要方法，从而提高解题效率。