高中数学解题能力培养须以学生认知为基础

刘廷民

（福建省连江尚德中学，福建福州 350510）

引 言

学生解答数学问题后，很少主动回顾问题，这不利于学生深刻认知数学问题中的知识点，会降低学生的解题效率。因此，在高中数学解题过程中，教师有必要夯实学生的知识认知基础，并以学生认知情况为基础开展高中数学解题教学，从而帮助学生有效解答数学问题。笔者认为，培养学生的数学解题能力须以学生认知为基础，文本将对此展开分析。

一、以认知为基础培养学生高中数学解题能力的重要性

（一）高中数学核心素养的教学要求

在高中数学核心素养背景下，以生为本的教学理念应运而生，在这一新理念下，教师应以学生认知为基础，针对学生的学习能力，利用有效的教学方式，引导学生解答数学问题，促使学生在解答数学问题的过程中积累有效的经验，从而帮助学生构建良好的数学知识体系[1]。因此，以学生认知为基础的高中数学解题能力培养符合新课程改革的教学要求。

（二）高中数学学科的特征

高中数学与初中数学相比，知识点更多、更抽象，对于学生的逻辑思维能力要求更高。学生如果缺乏良好的数学认知基础，将无法正确解答数学问题。因此，根据高中数学学科的特征，教师要以学生的认知为基础，让学生真正认知数学知识，帮助学生明确解答某一题目需要运用到哪些知识，从而使学生更加准确、快速地解答数学问题。

二、以认知为基础培养学生高中数学解题能力的方式

（一）引导学生结合自身认知，从转化角度分析与解答数学问题

在高中数学学习中，许多学生分析与解答高中平面向量问题时，往往会遇到困难，如审题不正确、计算流程复杂、找不到解题思路等。学生如果在解答平面向量问题时，没有具备良好的分析与解题能力，对平面向量基础知识认知不清，将会耗费大量时间，导致数学解题效率低下。因此，在解答平面向量问题时，教师不能只是简单地讲解答案，而要重点培养学生对平面向量知识的认知能力，引导学生构建有效的平面向量知识体系，这样才能使学生准确找到平面向量问题的解题方向。其中，将转化思想融入数学平面向量解题教学中，能够让学生基于所学的平面向量知识，转化平面向量问题，从而找到正确的解题方向。

以高中数学“平面向量”的有关问题为例，“平面向量”是高中生应掌握的重要知识点，也是高中数学问题中的常见知识点。因此，为了引导学生正确、快速地解答平面向量问题，教师可以在教学中渗透转化思想，引导学生基于已知的平面向量基础知识，对平面向量问题进行转化。

已知平面上的直线L的方向向量，点（0，0）和A（1，-2）在L上的射影分别为O'和A'，若则λ为？

分析：对于这道平面向量数学题目，教师可以先让学生回顾已经学习过的平面向量概念、基本定理及坐标等知识，一方面，帮助学生巩固所学知识；另一方面，提高学生对平面向量的认知能力，从而以学生认知为基础来引导学生解答问题。在学生回顾完平面向量知识后，教师可以引导学生从转化思维的角度，利用一般转特殊的解题方法，将题目的一般情况转为特殊情况，将其转化为易于理解的问题，再进行问题的解答[2]。

解析：将题目一般情况转为特殊情况，如直线L的斜率一定，但直线是变化的，而λ可以看作定值，那么直线L就对λ的值无影响，则学生可以取L为来求出数值。

（二）基于学生的数学认知能力，引导学生运用数形结合思维解答数学问题

对于高中生而言，立体几何一直是困扰他们的难题。多数学生都感到几何问题非常难解答，所以很多学生对立体几何的学习兴趣不高，常常会放弃一些复杂几何问题的作答机会。为了鼓励学生勇于解答几何问题，教师既要以学生认知能力为基础，又要引导学生通过数形结合思想来分析和解答问题，从而在大脑中构建知识框架。此外，教师也要发挥教学指导作用，多给学生一些时间，让学生挖掘立体几何题目中的重要信息，从而找到几何题目与数形结合之间的关系，进而快速找到几何问题的解题突破口[3]。

以高中数学的“立体几何”为例，在引导学生解答“立体几何”问题时，教师可以利用数形结合思维，基于学生所学的几何知识，培养学生分析与解题能力，使学生可以有效理解和解答“立体几何”问题。在下面这道例题中，教师可以指导学生运用数形结合思想来分析和解答问题。

分析：在解答这类几何题目时，教师应引导学生回顾接触过的几何图形，如椭圆、三角形等，帮助学生回忆以往所学的高中数学知识，使学生基于已学过的数学基础知识，运用数形结合思想来解答问题。首先，根据这道几何例题，教师可以提醒学生从题目中的已知条件找到数形结合的点，如根据问题中所给的信息，学生可以先简单画出几何图像，如图1所示。然后，学生可以根据几何图像，对点P是否为直角顶点进行判断。学生可以利用椭圆的性质、直角三角形的性质、定理等知识进行分析，从而求出点P的坐标，进而得出点P到x轴的距离。

图1

解析：∵a=4，b=3，∴，那么以O为圆心，并以OF1为半径画圆，而此圆与椭圆无交点，则P点不可能是直角三角形的顶点，那么△PF1F2中∠PF1F2或者∠PF2F1是直角。所以，将代入到椭圆方程，得到，进而求出点P到x轴的距离为。

（三）从学生的认知角度，运用分类分步解题思维解答数学问题

很多高中数学题目较为复杂，抽象性非常强，学生如果不懂得变通和创新解题思路，将无法解答数学题目，也无法提高自身解题能力。虽然数形结合是一种有效的解题方法，但对于一些复杂的数学题目，学生还是需要结合自身认知情况，利用多元化的解题思路，才能解答数学问题。其中，学生可以利用分类分步计算的方式来解答一些常见的数学问题，即在原有数学知识的基础上，对数学问题进行分类、分步计算，确保数学解题过程有序、有效。

以高中数学“概率”问题为例，在解答相关问题时，学生如果无法从转化、数形结合思想中找到解题突破口，可以转变解题思路，从分类分步计算的角度去分析概率问题，从而有序地解答数学概率问题。如下面这道例题。

某高校从E、F 和G 三家公司购买同一设备的比例分别为20%、40%和40%，E、F 和G 三家公司所生产设备的合格率分别为98%、98%和99%，那么现随机购买到一台次品设备的概率是多少？

分析：这道概率问题看似简单，但学生如果只关注题目中给出的条件，没有意识到其中数据的关系，便难以找到解题的方向。其中，学生可以运用分类分步思维，将满足条件的各种情况概率相加，并将题目中满足条件的每个步骤概率进行乘积运算，从而解答问题[4]。

解析：首先，学生应按照分步思维，将E、F、G 三家公司购买到的次品概率进行分步计算，如20%×2%、40%×2%、40%×1%。然后，学生按照分类思维，将满足条件的各种情况的概率相加，如20%×2%+40%×2%+40%×1%，最后得出这一问题的答案，即0.016。由此可见，这道概率问题看似简单，但学生如果缺乏分类分步解题思维，对概率问题的认知不够深入，便很难快速解答数学问题，也容易忽略一些关键数据。

结 语

综上所述，在高中数学教学中，学生会面对多种类型的数学题目，这对于学生的基础认知能力、分析与解题能力都提出了较高要求。所以，教师有必要结合相关数学解题思维，基于学生的认知基础，引导学生展开数学问题的解题学习，从而不断提高学生的数学解题能力。