基于元胞自动机的沙堡地基侵蚀模型

高顺 张若琦 李紫娟

摘 要：首先，將波浪确定为破坏沙堡地基的主要因素。通过得到一个几何沙堡在波浪塌陷时被海浪撞击的次数，获得沙堡的持续时间。在模型的基础上，建立了雨水冲刷模型，改善了雨水的撞击方式和元胞自动机的演化规律。通过对模拟结果的分析，得出结论，沙堡地基的最佳几何形状是下雨时倾斜度为37度的圆锥台。

最后，从两个方面：使用添加剂还是使用材料来延长沙堡寿命的策略。

关键词：元胞自动机;水蚀;网络流数值模拟

一、问题描述

如何使沙堡在海浪和潮汐的侵蚀下持续更长时间是必须解决的问题。

首先，当沙丘的大小和距同一海滩的水距离大致相同时，不同形状的沙堡对海浪和潮汐的反应不同。其次，在制作沙堡的过程中，不同的水沙比也会影响沙堡的稳定性。同时，不同的天气条件也会影响沙堡的稳定性。此外，还可以采用其他策略来改善沙堡的保存时间。

二、模型建立与说明

1.基于元胞自动机的沙堡地基侵蚀模型

（1）确定影响因素

元胞自动机：一个具有离散时间，空间和状态以及局部空间相互作用和时间因果关系的网格动态模型，具有模拟复杂系统的时空演化过程的能力。

沙堡地基的整个侵蚀过程受海水两个方面的影响：潮流、浪潮。

（2）一个周期内波浪对沙堡的侵蚀

由于波浪对沙堡的作用是周期性的，考虑一定时期内波浪对沙堡基础的侵蚀过程，将波浪作用周期平均分为12个部分。

2.一段时间内水细胞自动机的状态转变

在时间i（i = 1，2…12），考虑到沙堡基础的状态变化，表示在时刻i的沙池状态。该状态传递函数可以定义为：

在时刻i获得水细胞自动机的最终状态：

3.确定一段时间内沙池的分离

在第i时刻，水作用在沙池上的力与流水速度和周围水池数量之间的关系为：

k是沙池的应力关系因子。

当F大于f，确定沙池脱离沙堡地基并被水冲走。否则，被认为保持在其位置。用1表示沙池被冲走，用0表示沙池保留，判别沙池是否被冲走的函数：

4.海浪周期中沙堡地基倒塌率

除初始时间为0以外，每12s（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12）的每一时刻的沙池剥落总数为n（i）。波浪圈中的沙粒总数是这些时刻的沙粒总数之和：

沙堡基础中包含的沙室数为M0，在一个波浪周期中，沙堡基础坍塌的比例为P：

5.沙堡地基持续时间

在第j次波浪侵蚀后，沙堡地基的坍塌比为Pj，沙堡地基受波浪侵蚀过程表示如下：

根据每个倒塌的百分比，得出沙堡地基被破坏时的情况：

当x> 0，x是沙堡地基被破坏的次数。当x = 0时，沙堡地基未被破坏。

由波浪的周期为12s，沙堡地基的持续时间得出：

三、确定沙堡地基的最佳三维几何

在立方体和标准圆柱这两个基本3d几何的基础上修改了相关的数据属性：

k1：几何图形的正面（面向大海的一侧）的倾斜度

k2：几何图形的底边周长与其高度的比率

k3：几何底平面的长轴和短轴的长度之比

1.确定最佳的砂水混合比

使用最佳的沙堡地基三维几何形状，更改沙与水之间的混合比。根据获得的几何数据（大致是具有29°斜率和其他两个属性的圆锥台），引入了不同的水沙比，最佳比值计算为11%。

2.雨水侵蚀模型以调整最佳3d几何形状

假设在沙粒上滴一滴水会对周围的八粒沙粒产生影响，且不同方向的雨滴对周围的八个土壤颗粒的影响不同。九个不同方向的雨滴对这种土壤颗粒及其周围的八个土壤颗粒的影响定义为：

考虑蒙特卡洛形成雨水的最短时间t，一定时间内形成的雨水的最大数量，雨水的总流量I。这三个方面是对沙的测量城堡的承受能力。得到结果：

根据数据，随着坡度增加，雨水流的形成时间缩短。当T=500时，倾斜度为37度的圆形平台的水流量最大，雨水流量最大。因此，考虑在下雨时将沙堡的坡度调节至37度。

3.延长沙堡持续时间的策略

结合建造沙堡的具体条件，从使用和不使用其他添加剂或材料中给出以下策略：

（1）不使用其他添加剂或材料

建造沙堡时，请尽量远离大海。

沙子建造防波堤，以减少对海洋的影响。

挖一些导水槽以导水。

（2）使用其他添加剂或材料

在用于建造沙堡的沙粒中添加良好的粘度添加剂，可以增强沙堡的稳定性。

在沙堡底部用木板建造支撑架，以抬高沙堡底座。

参考文献

[1]F.Cai*，K.Ugai，A.Wakai，Q.Li.Effects of horizontal drains on slope stability under rainfall by three-dimensional finite element analysis[J].Computers and Geotechnics 23（1998）255–275.

[2]Maryam Pakpour，Mehdi Habibi，Peder Moller&Daniel Bonn.How to construct the perfect sandcastle[J].Scientific reports 549（2012）