本期练习类题目参考答案及提示

请你来挑错

1.已知三条线段，画出一个平行四边形需满足：两条线段的一半，与第三条线段能构成一个三角形，显然，以较短的两条线段a和6为对角线，较长的线段c为边，不能构成三角形，因为a/2+b/2

正解：选B.

2.对题中八个命题可以分别画出八个图形，如图1所示.容易看出只有（4）足真命题（清同学们自己证明）.这也给我们以启示，要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）就可以了.

正解：（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）x（6）× （7）× （8）×

点评：这八道判断题均属于基本概念辨析类题目，难度不大，但同学们的正确率却不高.所以同学们在学习数学时，必须概念清晰，分清图形的性质与判定，处理好特殊与一般的关系，并会用举反例的方法来否定一个命题.

3.原解错用了∠3=∠4.即直接把∠3与∠4当成了对顶角.OE，OF是从O点分别向AB，CD所作的垂线段，而OE，OF是否在同一直线上还需要证明，故不能直接使用∠3=∠4.

正解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC.

∵AB//CD，

∴∠1=∠2.

又OE上AB，OF⊥CD，∠AEO=∠CFO=90°，

∴△AOE≌△COF， OE=OF

4.原解考慮问题不全面，漏掉了点F在线段CB延长线上的情况.

正解：（1）若点F在BC边上，同原解.

（2）若点F在CB的延长线上，如图2，同理可求出FC=5.

综上，F.C两点的距离为1或5.

练一练

1.C 2.C 3.168/25cm 25/2cm 4.四边形

25

2DECF是菱形，理由略.

“平行四边形”优题库

1.C2.A3.D4.B5.D

6. 35° 7.（-2，0）或（4，0）或（2，2） 8.5 9.8（CE=AB） 10. 41

11. 16

12.√34/2

13.证EF是△ABD的中位线.

14.1（证△AGC足等腰三角形，证明EF是△BCG的中位线）.

15. （1） 如图 3.

（2） BC 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分

（2）易证△PDH≌△EGH（边角边）.由题设条件.DP=GE=BE.

（3）猜想EC=CP，证明如下（如图5）：

∵△PDH≌△EGH，

∴DP//EF.

∴∠PDC=∠DFE.

∵∠BEF=∠BCD=90°.

∠EBC+∠EFC=180°.

又∵∠DFE+∠EFC=180°，

∴∠EBC=∠DFE=∠PDC.

∴△EBC≌△PDC（边角边），EC=CP.

17.（1）H1，H2

（2）点A和四边形CDEF的“中点形”是四边形，如图6.

各顶点的坐标为：（0，0），（0，1）， （3/2，1） ，（3/2，0）.

18.（1）①45°

②△ADE≌△ECF，证明如下：

如图7，由题设条件可知∠2=∠3（均与∠1互余）.

在等腰Rt△BCE中，EC=BC=AD.

∴△ADE≌△ECF（角边角）.

（2）连接BH，如图8.

∵△ADE≌△ECF，

∴DF=CF=DH.

∴∠1=∠2=45°.

又∵BEC=45°.

∴∠HEB=90°.

∵NH //BE，NB//HE，

∴四边形NBEH是矩形.

∴NE=BH.

在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，

∴BH=2＼/-5.NE=2＼/-5.

2019年“平行四边形”中考题演练

1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A9.D 10.A（连接AE.由全等i角形得AF=CE=AE）

11.D（如图9所示）

12.C 13.A 14.B 15.D（作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点N，连接CM.由题设可知EC=8，FC=4.点M与点F关于BC对称，故CF=CM=4，∠ACM=90°.所以EM=√EC2+CM2=4√5.则在线段BC上存在点N，N到点E和点F的距离之和最小，最小值为4√5<9，故在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF=9.同理，在线段AB，AD，CD上都存在两个点）

16. 100

17. C（1，2）

18.5/2 19. 24

20. 4.821. 21°（△DEC为等腰三角形）22.13/2（连接FC）23. 16√3或8√3（过点D作DE⊥AB于E，DE在□ABCD内部或外部） 24.2√13（S△PAB=S△PCD，故点P到AB，CD的距离相等，即点P在线段AD垂直平分线MN上.连接AC，交MN于点P，此时PC+PD的值最小）25.①②③（连接P，QN.若PM，QN都过对角线交点O，则为平行四边形.若PM=QN，为矩形;若PM⊥QN，为菱形）26. 4+2√2（注意，有几个等腰直角三角形）27. 12

28. 22007

29.②③（易证②正确（四边相等）.若CQ=CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD，故∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°.这个不一定成立，故①错误.点P与点A重合时，设BN=x，在Rt△ABN中.42+X2=（8-x）2，解得x=3.故CN=5.而AC=4√5，CQ=2√5，故QN=√CN2-CQ2=√5，MN=2√5，③正确，当MN过点D时，CN最短，四边形CMPN（成为正方形）的面积最小，此时S=1/4S菱形CMPN=1/4×4x4=4;当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，此时S=1/4×5×4=5.故4≤S≤5.④错误）

30.略.

31.（1） S=ab-a-b+l;（2）2.

32.略.

33.添加条件BE=DF（答案不唯一）.征明略.

34.（1）略.

（2）因AD//BC.故∠EAF=∠AEB=90°.因∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°.故四边形AECF是矩形.

35.（1）D，F，F分别是AB，BC，CA的中点，所以DF//BE，EF∥BD，匹边形BEFD是平行四边形.

（2）∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6.敞DF=DB=DA=1/2AB=3.故□BEFD是菱形，周长为12.

36.（1）计算可知AF=CF=CE=AE=5/2，故四边形AECF是菱形.

（2）过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形.AH=DF=3/2，FH=AD=2，EH=5/2-3/2=1，放EF=√FH2+EH2=√5.

37.（1）由“边角边”易证△BAE≌△ADF.故BE=AF.

（2）AB=4，AE=3，故BE=5.∠DAF+∠AEG=∠DAF+∠DFA=90°，AG⊥BE.在Rt△ABE中，有1/2ABxAE=1/2BExAG，AG=12/5.

38.（1）四邊形EFGH是矩形，故有∠GFH=∠EHF，从而∠BFG=∠DHE.四边形ABCD是菱形，∠GBF=∠EDH.故△BGF≌△DEH（角角边）.BG=DE.

（2）连接EG.四边形ABCD是菱形，故AD=BC，AD//BC.E为AD中点，则AE=DE.因BG=DE，故AE=BG.而AE//BG，故四边形ABGE足平行四边形，所以，AB=EG=FH=2.故菱形ABCD的周长为8.

39.（1）略.

（2）点E在□ABCD内部，故S△BCE+S△ADE=1/2S□ABCD-由（1）知△BCE≌△ADF，S△BCE=S△ADF，故S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BCE+S△ADE=1/2S□ABCD·S/T=2.

40.（1）如图10所示，线段AF即为所求：

（2）如图10所示，点G即为所求;

（3）如图11所示，线段EM即为所求.

41.（1）略.

（2）△ABE的面积=△CDF的面积=△BCE的面积=△DAF的面积=矩形ABCD面积的1/8（连接AC，则AC，BD将矩形ABCD分为四个面积相等的三角形，且其中有两个是等边三角形）.

42.（1）由题意，可得∠FGE=∠GEC=∠FEG，故FG=FE=CE，四边形CEFG是平行四边形.又CE=FE.则四边形CEFG是菱形.

（2）BC=BF，可得AF=8，DF=2.设EF=x，则CE=x，DE=6-x，∠D=90°，故22+（6-x）2=x2，解得x=10/3.

3CE=10/3.四边形CEFG的面积是CE·DF=20/3.

43.（1）略.

（2）如图12所示，作PG上BQ于G，则GC=PD=QC.故PD=QC=1/3，易知EF是△PBQ的中位线，故EF=1/2（1+1/3）=2/3=AP.从而四边形AFEP是平行四边形.

44.（1） 60。

（2）①=②作FM上BC于M.FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，故∠NFM=60°.又∠AFE=60°，所以∠AFN=∠EFM.因EF=EA.∠FAF=60°，故△AEF为等边三角形，FA=FE.从而△AFN≌△EFM（角角边）.FN=FM.所以点F在∠ABC的平分线上，

“平行四边形”单元测试题

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D（△BMN为等腰三角形.作MG⊥AC于G ，MG=MB.△AMG为等腰直角三角形）8.D（利用S△AOD=S△AOP+S△DOP）9.B 10.D

11.9 cm

12.8 13. 20 14.12/5（连接

5AD，AD=MN） 15.√10（恒经过矩形对角线交点）

16.（1）连接BD，证四边形DEBF的对角线互相平分.

（2）在Rt△CDE中，CE=5.

四边形DEBF是菱形.BD上EF.

设BD交AC于O点，则OD=DE×CD/CE=12/5.

∴OE=OF=√DE2-OD2=9/5.

∴EF=2OE=18/5，AE=CF=5一18/5=7/5.

17.（1）连接PC，可证△ABP≌△CBP（边角边）.

易知四边形PFCE是矩形，故EF=PC=PA.

（2）2a（△BEP，△PFD皆为等腰直角三角形）.

18.（1）由“边角边”易证.

（2）四边形BEDF是菱形，

先证四边形BEDF是平行四边形（因BE=DF）.

又四边形AGBD是矩形，故∠DBC=90°.

在Rt△DBC中，F为CD的中点，故BF=DF.

∴□BEDF是菱形.

19.（1）设运动时间为ts，则AP=tcm，CQ=tcm.

∴BP=（4一t）cm.

∴S四边形PBCQ=1/2（BP+CQ）·BC=1/2×4x2=4（cm2）.

（2）设P，Q两点出发ts时，△PQD是以PD为腰的等腰三角形.

CQ=tcm，DQ=（4一t）cm.

①当PQ=PD时，如图14，过P作PH上DQ于H，则PH =AD=2cm，DH=AP=HQ=tcm.

∵CQ=tcm，

∴CD=3tcm， 3t=4，t=4/3.

②当QD=PD时，

QD=（4-t）cm，PD=√22+t2cm，

∴22+t2=（4-t）2，t=3/2.

综上，当t=4/3或t=3/2时，△PQD是以PD为腰的等腰三角形.

20.（1） 25°（△BEF为等腰直角三角形）.

（2）延长AE交CF于G，在对顶三角形ABE和CGE中.∠BAE=∠GCE，故∠EGC=∠ABE=90°，AE⊥CF.

21.（1）8√3.

（2）易证△ABE≌△ADF（角角边）.

∴BE=DF.从而CE=CF.

∴∠CEF=180°-∠C/2=∠CBD.

∴FF∥BD.

（3）连接CG，如图15所示.

由菱形的对称性可知△AGD≌△CGD，△AGD和△CGD的面积相等.

∴S1-S2=S△CGE.

∵AB=BC=CE+BE=12.

∴AE=√AB2-BE2=4√5.

设EG=x，则CG=AG=4√5-x，

在Rt△CGE中，X2+42=（4√5-x）2.

解得x=8√5/-5，即EG=8√5/-5.

∴S1-S2=S△CGE=1/2CE·EC=16√5/5.

22.（1）易证△ADF≌△BCE（边角边），

∴∠AFD=∠BEC=90°，AF//BE.

∵AB//DC，

∴四边形ABEF是平行四边形，从而足矩形（因∠BED=90°）.

（2）OF=√29 （OF是Rt△AFC斜边上的中线.计算AC）.

23.（1）如图16所示，过E作EM⊥BC于M点，作EN⊥CD于N点.

易知四边形EMCN为正方形（矩形且对角线平分一组对角）.

∴EM=EN.

易证△DEN≌△FEM（角边角），

∴ED=EF，矩形DFFG为正方形.

（2）CE+CG的值为定值，理由如下：

易證△ADE≌△CDC（边角边）.

∴AE=CG.

∴CE+CG=AC=8.是定值.

妙用斜边中线定理

连接OE，证△COE和△DOF均为等腰三角形，

数学奇景

782+792+802+812+822+832+842=852+862+872+882+892+902