在Yang-Lee边界临界区域贝里相位标度行为的理论研究

高琪　裴明旭　吴晓庆　翟良君

摘    要：以纵向虚外场一维横场伊辛模型为例，计算了非厄米体系中贝里相位的标度行为。研究采用双参数空间中的贝里相位进行计算，结果表明：贝里相位的实部和虚部能够反映出Yang-Lee边界奇异点（Yang-Lee edge singularity， YLES）周围的异常行为;在由（0+1）D YLES和（1+1）D YLES的临界区构成的重叠临界区中，贝里相位的实部和虚部的标度规律可以同时用（0+1）D YLES和（1+1）D YLES标度理论加以描述。因此，复合贝里相可以作为非厄米系统中检测耗散性相变的通用序参量。

关键词：贝里相位;Yang-Lee边界临界区;对称性破缺相变

中图分类号：O413.3               文献标识码：A             文章编号：2095-7394（2020）02-0074-07

近年来，贝里相位的理论和实验探究受到了人们越来越多的关注。贝里相位描述了量子系统参数空间经历循环绝热过程而产生的量子相位效应，是物理学中一个非常重要的概念。由于其满足规范不变性，因而在原子分子物理、量子信息以及拓扑材料等众多领域中都有着极为广泛的应用[1-3]。近期，在凝聚态物理学的研究中，人们发现，贝里相位与量子相变（Quantum phase transition， QPT）之间存在着密切的联系[4-5]。研究表明：贝里相位能够作为序参量来描述系统的QPT，并且具有很好的标度性质。例如，ZHU等人的研究发现在XY伊辛链模型中，基态的贝里相位在QPT的临界区域表现出明显的异常行为，并且满足相关的标度规律[5]。除QPT和经典相变外，发生在非厄米量子系统中的Yang-Lee边界奇异点（Yang-Lee edge singularity， YLES）临界区域的耗散性相变（Dissipative phase transition， DPT）也具有重要的研究意义[6]。与QPT不同，非厄米量子系统中的DPT是由于量子系统的耗散强度的变化而引起的一种相变行为。虽然对QPT中贝里相位的标度行为已得到了广泛的研究，但DPT中贝里相位的标度行为还需要更深入的研究。

当考虑量子体系与外界环境的相互作用时，系统是一个开放的量子体系，可用非厄米哈密顿量来描述。近期，研究人員也将贝里相位推广至非厄米量子体系的几何描述中[7-9]，并对非厄米量子系统中贝里相位与QPT之间的关系进行了研究。由于DPT引起的变化同样能够反映在希尔伯特空间的几何结构变化中，而非厄米系统的贝里相位可以很好地描述这种几何结构的变化，这也就意味着，贝里相位可作为一个通用的序参量来描述QPT和DPT的标度行为。此外，由于在Yang-Lee边界临界区域的DPT通常伴随有宇称-时间对称性（Parity transformation and time reversal， PT）破缺的相变，因此，非厄米量子体系的DPT的研究也就能够作为研究PT对称性破缺相变的一个模型[10-13]。考虑到PT对称性量子力学研究的重要意义，对Yang-Lee边界临界区域贝里相位的标度行为理论研究也就同样具有重要的意义。近期，ZHAI等人[14]提出了一种能够满足规范变换不变性的数值方法，首次对Yang-Lee边界临界区域的贝里相位的标度行为进行了研究。他们的研究表明：对于中等大小的格子，贝里相位的实部和虚部都能够用来描述静态DPT，并且在靠近铁磁-顺磁相变点时其标度行为能够同时用（0+1）维（（0+1） D） YLES 相变以及通常的（1+1） D铁磁-顺磁相变的标度理论所描述。

以具有纵向虚外场的一维横场伊辛模型为例，采用文献[14]中提出的数值方法，计算了小格子以及中等大小格子时的复数贝里相位的标度行为。当远离铁磁-顺磁相变点时，该模型存在一个由（0+1） D YLES和（1+1） D YLES构成的重叠区域。发现贝里相的实部和虚部可以用（0+1）D YLES和（1+1） D YLES 的临界指数来进行标度。计算结果表明：复数贝里相位可以作为PT对称和PT对称破缺下DPT的通用序参量。

1   纵向虚外场一维横场伊辛模型的贝里相位

纵向虚外场一维横场伊辛模型的哈密顿量表述为：

[H=-n=1Lσznσzn+1-λn=1Lσxn-ihn=1Lσzn']  ，            （1）

其中，[σxn]和[σzn]分别表示格点n处x和z方向上的泡利矩阵，[λ]和[h]分别为沿横向和纵向的外场分量，L为晶格大小。对于模型（1），由于纵向虚外场具有与实外场相同的量纲，其铁磁-顺磁相变点会出现在[λc=1]且[h=0]的位置。而在此铁磁-顺磁相变点之外，当[g=λ-λc>0]时，YLES的相变点出现在[gLYL'hLYL]处，其中，上标L表示晶格大小。与一般的铁磁-顺磁相变总是出现在热力学极限下有所不同，YLES点可以在有限晶格大小时出现，并且它们的位置会随着L的变化而变化[15]。

在YLES点附近，该模型也会经历PT对称性破缺相变。对于固定的[g]，[hgLYL]）时，系统处于PT对称相，基态能量为实数;对于固定[g]，[h>hLYL]（或固定[h]，[g

为了解决贝里相位计算中的规范变换问题[5][16]，我们通过引入两种方向的自旋的旋转对哈密顿（1）式做了规范变换。变换后的哈密顿为：

[Hθη=UθUηHU+ηU+θ] ，                 （2）

其中，[Uθ=n=1Leiθσzn/2]表示自旋绕z轴做角度为[θ]的旋转，[Uη=n=1Leiησxn/2]表示自旋绕x轴做角度为[η]的旋转。通过这些幺正变换，可以得到一个由[θ，η]构成的二维参数空间，并可以在此参数空间里应用规范不变性的贝里相位的数值计算公式。但值得注意的是，体系在临界区域的动力学行为并不依赖于参数[θ]和[η]，这是因为哈密顿（2）式的能谱不会受到该幺正变换的影响。

非厄米系统中贝里相位定义[4]为：

[βn=cΨnλ?aΨnλdλa]，                        （3）

其中[Ψnλ]和[Ψnλ]分别是非厄米矩阵的左右本征向量，其满足：[HλΨnλ=EnλΨnλ]，[ΨnλHλ=EnλΨnλ]，以及[mΨmλΨmλ=1]。在二维参数空间中，体系基态的贝里相位可表示为：

[βg=χθ，ηdθdη=idθdηm≠gψg?θHψmψm?ηHψg-θ?ηEg-Em2=βR+iβI，]                                                                                    （4）

其中，定义了贝里曲率[χθ，η]，[?θ=??θ]，[?η=??η]，[ψm]是[H]的本征态，[ψg]为基态。[βR]和[βI]分别为贝里相的实部和虚部。尽管这个表达式与厄米系统中贝里相的表达式形式一致，但这里的能量Em一般是一个复数。

[ψm]可以由哈密顿（1）的本征态[?m]做如下的变换得到：

[ψm=U+ηU+θ?m]。                               （5）

由于本征态[?m]与参量[θ]和[η]无关，贝里曲率[χθ，η]写为：

[χθ，η=-im≠g?mWθ?m?mWη?m-θ?η]，                                                                                   （6）

其中：[Wθ=UθUη?θUη+Uθ+=Uθ?θUθ+]，[Wη=UθUη?ηUη+Uθ+]。[Wθ]也可以写成：

[Wθ=n=1Leiθ2σznk…?e-iθ2σzk-1?θ?e-iθ2σzk?e-iθ2σzk+1?...=k…?σ0?eiθθ2σzk?θ?e-iθ2σzk?σ0?...=-i2kσzk，                                                                 （7）]其中[σ0]为单位矩阵。可见，[Wθ]也与参量[θ]和[η]无关，采用同样方式也可以对[Wη]做变化得到：

[Wη=-i2cosηjσxj+sinηjσyj]。              （8）

将（7）（8）两式带入（6），可得到贝里曲率：

[χθ，η=-12m≠gj?gσzj?m?mσxj?g-z?xcosη+?gσzj?m?mσyj?g-z?ysinη=χR+iχI。                                                                           （9）]其中[χR]和[χI]分别表示贝里曲率的实部和虚部，由此可见，贝里曲率[χθ，η]与参量[θ]无关。如图1所示，贝里曲率随角度[θ]和[η]变化，可以看到贝里曲率的实部和虚部均与[θ]无关。这一结果也表明，本研究中所采用的双参数空间中的贝里相位与以往研究中所采用较多的单参数空间的贝里相位应具有相同的物理意义。

2   数值结果

在本节中，我们将研究YLES点附近临界区域贝里相位的静态标度规律。在此临界区域，已有的研究发现对于较小晶格时，体系的相变行为能够用（0+1） D YLES指数所描述;而对于中等大小晶格时，其相变行为可以同时被（0+1） D和（1+1） D YLES临界指数来描述[14]。（0+1） D和（1+1） D YLES临界指数分别为：[β0=β1=1，ν0=-1，δ0=-2，ν1=-5/2，δ1=-6]，其中，下角标表示维度。如图2所示，给出了[λ]确定的情况下，YLES点周围的临界区的示意图。其中：黑色表示由[hLYL]构成的曲线，该曲线与x轴交点为[h∞YL]（格点无穷大时YLES点）;深色区域表示格点较小的情况时的临界区域，其相变行为能够用（0+1） D YLES理论所描述;而浅色区域表示中等大小格点情况，其相变行为可以被（1+1） D YLES理论所描述。

如图3所示，给出了在YLES点附近临界区域，尺寸较小晶格的贝里相位的实部和虚部随参数h和[λ]的变化。可以看到，在YLES周围[βR]和[βI]处均会出现异常的峰值，这些结果表明复数贝里相位能够描述DPT。

为了进一步了解贝里相位与DPT之间的关系，我们对[βR]和[βI]的标度规律进行了研究。在临界点附近，数值计算表明[βR]和[βI]满足如下的标度规律：

[βR（I）h-hLYL∝h-hLYL1δ0]。                   （10）

图4中，给出了L=2时，[hLYL]点附近[βR]和[βI]随[h-hLYL]的变化。其中拟合曲线的指数为-0.495 4和-0.497 8，接近0.5，证明了满足（0+1）D YLES的标度行为。hx=5，hyL= 2.933 353 621 854 912。在双数-对数坐标系中，[βR]和[βI]与[h-hLYL]为直线关系，说明[βR]和[βI]之间满足指数规律。进一步的拟合结果表明图中曲线的斜率分别为-0.499 7和-0.500 1，从而数值地验证了等式（10）。这个结果也表明（0+1）D YLES理论可以很好地描述贝里相位的标度行为[17]。值得注意的是，图4（a）中，[hhLYL‘]，贝里相位是在PT对称破缺相中所定义的。因此，这个结果也证明了贝里相位可以作为一个通用的序参量来描述PT对称相和PT对称破缺相。此外，公式（10）中的临界指数与文献[17]中定义的序参量的指数是完全相同的，该结果为在实验上测量贝里相位提供了一种新的思路。

对于中等大小的晶格的情况，我们首先给出了[λ=5]时，不同晶格尺寸的贝里相位随h变化的情况，如图5所示。可以看到，在YLES相变点附近，贝里相位的实部和虚部都会出现异常的峰值。这些结果也表明，在较大格子时，贝里相位的变化能够体现出DPT。

图6给出了较大格子时贝里相位的标度规律。图6（a）表示[λ=5]，L=9时贝里相位的虚部在YLES点附近的变化。可以看到，在双数-对数坐标系下，贝里相位的虚部与[h-hLYL]成线性关系，表明它们之间满足指数规律的关系。进一步的数据拟合发现，图中直线斜率为-0.498 8。对于贝里相位的实部，同样能夠得出类似的结论，表明在较大格子时贝里相位的标度规律同样可以用（0+1） D YLES理论所描述。

对于（1+1） D YLES的临界区域，相关的研究发现[18]，[hLYL]与[h∞YL=2.292 475]之差与晶格的尺寸满足如下的关系：

[hLYL-h∞YL=C（λ）L-（β1δ1/ν1）]。                    （11）

其中，[β1δ1/ν1=2.4]。为了验证该关系，在图6（b）中给出了贝里相位的异常点出现的位置与[h∞YL]之差随晶格大小的变化的规律。通过对该曲线的拟合发现，[hLYL-h∞YL]与晶格大小L满足[hLYL-h∞YL∝L-2.356]。该结果表明，中等大小晶格时，贝里相位的标度性质也能够被（1+1） D YLES理论所描述。

近期，PENG等人完成了实验上对XY海森堡模型的基态的贝里相位的测量[19];而关于Yang-Lee边界理论也在实验中得到了验证[20]。因此，我们也期待这里的理论计算结果能够被实验所证实。

3   结语

本文用数值方法计算了非厄米体系中YLES点临界区域贝里相位的标度规律。研究表明，贝里相位可以作为一个通用的序参量来描述在PT对称和PT对称破缺相中的DPT，并且在远离铁磁-顺磁相变点的情况下，其标度规律能够被（0+1） D和（1+1） D YLES临界理论同时所描述。由于贝里相位在量子力学的很多领域都具有普遍意义，并且总是与如磁矩、极化率或电导等实际模型中的序参量联系起来，因此，我们对贝里相位的标度规律的研究具有重要的物理意义。非厄米体系的相关问题是近期人们在理论和实验研究上的热点问题，考虑到我们这里定义的非厄米的贝里相位可以在复杂的相变中作为一个通用的序参量来描述相变，因此非厄米的贝里相位也同样能够应用于非厄米体系相关的其他问题的研究中。例如，对于非厄米体系的非平衡态相变动力学的问题，贝里相位同样可以作为序参量去描述非厄米非平衡相变动力学;在对非厄米体系中的拓扑相变问题的讨论中，由于在厄米体系中贝里相位总是与拓扑现象联系起来，因此，非厄米的贝里相位同样能够用于非厄米体系的拓扑相位的标度问题。当然，这些工作还有待今后进一步讨论。

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责任编辑    祁秀春

Theoretical Study on Bailey Phase Scaling Behavior in the Critical

Region of Yang-Lee Boundary

GAO Qi，PEI Mingxu，WU Xiaoqing，ZAI  Liangjun

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract：We employ a model of the one-dimensional quantum sing model in an imaginary longitudinal field to study the scaling behavior of the Berry phase in the non-Hermitian systems. The Berry phase in two parameters space is used for calculation. The results show that the real and imaginary parts of the Berry phase can show anomalies around the critical points of the Yang-Lee edge singularity （YLES）. In the overlapping critical regions constituted by the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）DYLES，we find that the real and imaginary parts of the Berry phase can be described by both the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）D YLES scaling theory. Therefore，the complex Berry phase can be used as universal order parameter for description of the dissipative phase transition in the non-Hermitian systems.

Key  words：Berry phase;Yang-Lee edge singularity;symmetry reaking phase transition

收稿日期：2019-10-29

基金項目：江苏省自然科学基金项目“不同类型外尔半金属手征磁效应的理论研究”（BK20170309）;国家自然科学基                               金项目“外尔半金属手征磁效应的理论研究”（11704161）

作者简介：高琪，助教，硕士，主要研究方向为功能材料;翟良君，副教授，博士，主要研究方向为凝聚态物理理论。