关注函数本质，培养核心素养

张碧峰

二次函数可以说是初中阶段函数的升华，也是高中数学知识衔接的一个重要纽带。利用数形结合这把金钥匙，它能带领学生把图形中隐含的数量关系挖掘出来，运用形的特征来探索数的规律。如二次函数的增减性和最值性是初中阶段研究二次函数的重点和本质。

本文以二次函数最值问题微专题复习课为例，谈谈如何挖掘二次函数的增减性和最值性的本质。

一、教学本质分析

1、基础练习

问题1：已知二次函数 .

（1）当 时，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（2）当 时，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（3）当 时，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

学生1：该函数图像时一个开口向下的抛物线，自变量x的取值都在对称轴直线x=1的左侧，y随x的增大而增大，所以当x=-3时，取最小值y=-11，当x=-2时，取最大值y=-4。

学生2：自变量x的取值都在对称轴直线x=1的右侧，y随x的增大而减小，所以当x=2时，取最大值y=4，当x=4时，取最小值y=-4。

学生3：自变量x的取值都在对称轴直线x=1的两侧，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，而-2离对称轴的距离比2离对称轴的距离远，所以当x=-2时，取最小值y=-4，当x=1时，取最大值y=5。

教师提问：请思考：已知x的取值范围求y的最值问题时，

有哪几类情况？你认为解决此类问题有效的方法是什么？

学生4：有自变量取值范围在对称轴左侧，

右侧，两侧三种情况，利用图像解决问题。

教师总结：利用数形结合的数学思想是解决这类问题的金钥匙。

设计意图：设计这个题目主要让学生复习如何自变量x在取值范围内求函数的最值问题，本题分3小题，x的范围分别在二次函数的对称轴直线x=1的左侧，右侧和两侧。让学生利用二次函数的增减性解决函数的最值问题。

2、拓展练习

问题2：已知二次函数 .

（1）当 时，y的最大值是2n，则n=

（2）当 ，mn<0时，y的最大值为2n，y的最小值为2m，则

m+n=

问题2难度明显较问题1大，学生通过独立思考，小组合作讨论，由学生代表上台发言。引导学生画简图。

学生5：因为取值范围n是未知的，所以用数形结合无法一下子确定最大值在哪里，所以对于n要分类讨论。-31时，由图像可知，最大值是5，即2n=5，n=2.5。所以n=-2或2.5。

学生6：由题意m<0，n>0，m>1是不可能的。当n<1时，由上题可知最大值为2n，n=-2，不合题意舍去。当n>1时，分2类，①n-1<1-m，即m+n<2，当x=m时，取最小值2m，最大值是5，即m=-2，n=2.5，m+n=0.5;②n-1>1-m，即m+n>2，最大值是5，n=2.5，最小值是2m，即当x=n=2.5时，m= ，不合题意舍去。

这两位学生的回答都非常精彩，是班级里的佼佼者，也是小组讨论，集体的精华。

教师提问：请思考：问题2与问题1的区别在哪里？如何把它转化？

学生7：问题1的抛物线解析式已知，自变量取值范围已知，而问题2的自变量取值范围中有字母，所以要分类讨论。

教师总结：当自变量的取值范围未知时，那么我们就要对该取值范围在对称轴的左侧，右侧还是两侧进行分类讨论。

设计意图：本题设计主要让学生根据图像的对称性进行分类讨论，探索函数在取值范围内的单调性和最大最小值问题。

3、深化应用

问题3：当 时，二次函数 有最大值4，则m的值是

学生8：m>1时，对称轴直线x=m在自变量-2≤x≤1的右侧，y随着x的增大而增大，当x=1时，最大是4，即把x=1代入解析式，解得m=2，当m<-2时，对称轴直线x=m在自变量-2≤x≤1的左侧，y随着x的增大而减少，当x=-2时，最大是4，即把x=-2代入解析式，解得 ，不合题意舍去。对称轴直线x=m在自变量-2≤x≤1的之间，最大值为m2+1=4， ， 符合题意。所以m=2或 。（本题是在教师和学生的共同探索讨论得到）。

教师提问：请思考：问题3与问题1的区别在哪里？又该如何把它转化。

学生9：问题3的自变量的取值范围已知，抛物线的顶点坐标含有字母m，只要把抛物线的对称轴在自变量的右侧、左侧、两侧，即可分类讨论。

设计意图：本题的设计延伸了上一题的问题，学生根据已知自变量的取值范围，而未知对称轴的位置，同样可以转换为对称轴在自变量的左侧，右侧，和两侧进行分类，关键还是数形结合和转换思想，让学生的思维上升了一个台阶，培养了学生探索问题的能力。

二、教学设计流程

主線：定轴定区间→定轴动区间 →动轴定区间

数学思想：数形结合、分类讨论

三、教学思考

1、立足教材，适当延伸教学

初中复习课教学先要立足课本，让所有学生都掌握基本知识，让基础薄弱的学生也获得成就感，但也要适当的加深教学内容，让班级中基础较好的学生在掌握已有的知识的前提下，适当拓展和深化知识点。如本节复习课从最基础的已知函数和已知自变量的取值范围内求最值，拓展到已知函数，未知自变量的取值范围的情况下求字母的值，再深化到已知自变量的取值范围，未知函数，求字母的值，让学生观察体验函数在自变量取值范围内的一些特征，有利于发展学生的认知能力。

2、重视知识的形成过程，培养学生的核心素养

学习数学不是死记硬背，而需要学生主动去发现问题，探索问题和解决问题。在初中数学教学中，我们要根据学生的实际情况，培养学生的探究能力和解决问题的能力，由于高中数学对学生学习提出更高的要求，因此，我们在初中数学教学中，要注意打好基础，例如本节课深化和拓展时通过数形结合得到答案，培养学生的核心素养。

3、关注深度学习，培养探索能力

在数学知识的教学过程中，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，教师不要让学生停留在学习的表面，要设计有深度的问题，让学生深入探索问题的本质，让学生思维能够深入发展。这种良好的学习方式有益于今天的数学学习，也有益于将来高中课程的学习，甚至对学生的终身学习都有好处，更好的培养学生的核心素养。本节课的设计中，整节课围绕着函数的增减性和最值性这个知识点，有易到难，数形结合，培养学生探究问题和深入思考问题的能力，对将来的学习有很大的帮助。

参考文献

[1]  施贤宜。关注衔接教学，培养核心素养——以二次函数复习课为例。初中数学教与学