选考必选，素养必有

陈龙龙

【摘要】坐标系与参数方程作为选考内容，出现在全国卷高考中的第二十二题。该内容作为选考常被弃或在被轻视。学生选考，虽选不解，迫于时间有限，走马观花式的解决此内容。教学中亦出现对该内容价值挖掘不深，单纯从解决单一问题角度出发去处理该内容。坐标系与参数方程本质属于解析几何，所以可以处理解析几何内容，为学生理解解析几何的带来新视角，是解析几何培养学生核心素养另一途径的有力工具。本文从这些思考去探讨坐标系与参数方程的深入价值。

【关键字】坐标系与参数方程   核心素养   解析几何

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）08-022-02

经历了几轮课程改革，数学的育人价值由注重知识转变为注重学生情感态度价值观培养，着眼于学生的全面发展，着眼于学生的探究性学习，让学生有终身学习的发展理念。培养目标也随时代要求进一步完善，提出了六大核心素养。

而引导核心素养培养的课程理论，从知识构架方面，要求教师在设计课程中要有全局意识，培养素养的立意。其中解析几何在培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养有重要作用。而坐标系与参数方程在教学中从内容及知识应用上都未得到重视。坐标系和参数方程可以解决自身问题，也可以将坐标系与参数方程问题转化为直角坐标方程，但教学中出现了遇到极坐标与参数方程问题一般转化为直角方程问题来处理的偏颇。坐标系与参数方程的引入本身具有解析性质，那么解析几何问题能否用坐标系与参数方程知识解决呢？

坐标系与参数方程的引入是几何问题代数化的标志，坐标系与参数方程有更丰富的几何意义，理解掌握几何意义，是掌握其应用的关键。

近年高考中，解析几何必考，但坐标系与参数方程的方法未引起重视，需要教师引导学生前往探索。可以构建学生情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的学习过程的理解。

本文围绕实际问题探求解析问题的坐标系与参数方程视角下的解法，希望能给读者带来新的理解。希望推动解析几何下坐标系与参数方程教学为载体的学生核心素养培养的又一次思考。

例1.（2010年·全国Ⅱ·12）  已知椭圆C：

（a>b>0）的离心率为       ，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点。若AF=3FB ，则k= .

[解法一]：设椭圆方程为                   ，则F（ 3  ，0）

过F的直线的参数方程为

代入椭圆方程得

AF=3FB，则|AF|=3|FB|.即t1= -3t2 ，由①②  k=      .

[解法二]：以右焦点F为极点，x正半轴为极轴，F点到右准线距离为p，e为离心率。由椭圆第二定义，设任意一点P（  ，    ）点在椭圆上，则

即椭圆的极坐标方程.

利用上述結果，则

极坐标本身含有夹角与长度内容，是沟通角度与长度的重要载体。根据极坐标的特点，若用极坐标解决恰好将角度和长度在同一个方程里表示，而且明确了两者之间的关系。正因为如此，极坐标在处理与角度和长度相关问题更有其优越性与生命力。

例2.（2016年·全国Ⅱ）已知椭E：                   的焦点在x轴上.A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）略.

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

解：  过A（-  m，0），过A直线参数方程为

代入椭圆（3cos2θ+msin2θ ）t2 -6 m tcosθ=0

t=

2|AM|=|AN|

直线的参数方程亦能将长度与角度联系起来，直线的参数方程不仅具有消参可以使得变量统一的功能，更能根据自身特点联系长度与角度，解决与夹角和长度相关的问题。

例3.（2016年·全国Ⅰ·19 ）设椭圆C：              ，右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，M的坐标为（2，0）.

（1）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

证：（1）F（1，0），过F点的直线的参数方程为

例4.（广东佛山2019届高三质量检测（一））已知椭圆C1：                 （a>b>0）的焦点与抛物线C2： y2=8  2 x的焦点F重合，且椭圆右顶点P到F的距离为3-2  2.

（1）求椭圆C1的方程.

（2）设直线l与C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求Δ PAB面积的最大值.

解：（1）

（2）P（3，0）设过PA的直线参数方程为

结束语

坐标系与参数方程又是平面几何中曲线的又一重要表64现形式，有着重要的几何意义，沟通了夹角与距离两个重要几何量之间的关系。因此，可以用来解决解析几何问题，应根据问题的实际意义，探索性的使用极坐标与参数方程解决问题。坐标系与参数方程虽然是选考内容，但是对培养学生的几何直观，数学运算，逻辑推理等核心素养方面有着重要作用。在教学中需要教师挖掘极坐标与参数方程在解决具体问题中的实用价值，同时在平时的教学中要利用该内容渗透数学核心素养，培养学生丰富的数学认知，健全学生知识体系，培养学生深层次的全方位个性发展，构建学生终身发展学习理念。所以坐标系与参数方程在培养学生的解析几何下的核心素养有重要作用，应该引起教师的足够的重视。

【补充案例】

1.（2017全国卷1·理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F做相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|+|DE|的最小值。

2.（湖南长沙2019届高三模拟（节选）） 已知椭圆C：

，过x轴正半轴上一点M作l直线交椭圆C于A、B两点.

问：是否存在定点M，使当直线l绕点M转动时

为定值.

3.（2019年湖北第四届高考测评·理·16）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直弦AB、CD.若Δ=AFC与ΔBDF面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为                  .

[参 考 文 献]

[1] 人民教育出版社.普通高中课程标准实验教科书（A版）：数学4-4（选修）.

[2]教育部.普通高中数学课程标准.