基于排队论的医院收费窗口优化设置

李凌洋，李晨阳

(1.北京交通大学海滨学院 土木建筑工程学院，河北 沧州 061000；2.天津大学 海洋科学与技术学院，天津 300072)

排队是在日常生活中常见的现象，如到医院看病、到图书馆借阅书刊、到超市购买东西等，均是某时刻服务机构的容量小于要求得到服务的顾客的数量时，系统便会出现排队现象[1].其中，患者到医院排队交费是一种很常见的排队现象.

随着医院的医疗水平不断提高，就医环境不断改善，医院就诊患者日益增多，医院排队现象严重，引起广大患者的抱怨和不满.提高“患者满意度”是医院管理的主要环节之一，只有不断提高“患者满意度”，医院才能增强自身竞争力，保持和增加市场份额，并获取长期利益[2].医院的交费服务系统是一种比较常见的排队系统，如果医院收费窗口太少或收费人员的效率太低，便会加剧拥挤，导致排队现象严重，进而造成患者的等待成本增加[3].如果增加收费窗口和人员，虽然可以在一定程度上缓解排队问题，但会相应地增加医院自身的经营成本[4]或造成系统的空闲浪费[5]，而且有些服务设施如医院收费窗口一旦建成就不易改动.因此，医院的管理人员希望在保证最低经营成本和最高工作效率的前提下，降低患者的等待成本，从而提高“患者满意度”.

目前，对医院收费窗口设置优化的研究分为2类.一类是以患者的角度进行研究即以合理的患者等候时间为目标设置医院收费窗口，如高强等[6]提出影响医院收费窗口质量优劣的主要原因是患者的等候时间.另一类是以医院的角度进行研究即以合适的服务强度或较低的经营成本为目标设置医院的收费窗口，如陈飞飞[7]提出医院收费窗口数量的增加可以有效地降低收费窗口的服务强度，减小收费服务压力.虽然这些研究为医院收费窗口数量最优化选择提供了一定的参考，但是存在研究过程不严谨和考虑问题不全面等问题，未能对医院收费窗口进行科学量化.鉴于此，综合考虑医院与患者的实际需求，运用排队论的思想和方法，对系统的窗口数量设计进行了全面具体的分析，得到了合理的医院收费窗口的数量.此外，在得到最优窗口数量后，对系统的患者损失率进行了计算与分析，进一步验证了最优窗口数量的正确性.

1 患者服务的排队模型

在医院的排队模型中，医院收费窗口为服务台，排队要求得到服务的人员称为患者，2者组成的系统称为排队系统[8]，对该系统的具体特征进行描述.

1.1 基本假设和前提

为了方便计算，简化该服务系统模型，对该系统进行一些合理假设.

1)各收费窗口的收费人员的收费时间是相同的.这是一种理想的情况，由于人的差异性，不同收费人员的服务水平不同，所以处理交易的速度不可能完全相同，但是可以通过对服务水平一般和交易速度适中的收费人员完成一笔交易的相关参数进行测算，大致估计系统整体的服务水平.

2)患者进入系统后，按到达次序接受服务.系统符合先到先服务的情形可以保证系统维持安定有序的运行，并且现实中大多数服务行业均符合这样的假设.

1.2 医院排队系统组成

1.2.1 输入与到达规则

在医院的排队系统中，医院所在地居民均可作为潜在的患者，故患者来源是无限的，即该系统为一个无限源系统.假定单位时间进入系统的患者流是最简单流，即患者到达的时间间隔相互独立并服从同一负指数分布.因此，根据最简单流的条件可以得知单位时间内进入系统的患者数服从泊松分布，即单位时间到达收费大厅的患者数为λ.

1.2.2 排队规则

当有患者到达时，若有空闲的收费窗口便立即接受服务，若没有空闲的服务窗口，则排队等待，直到有空闲收费窗口再接受服务，且医院对排队患者的服务顺序一般是先到先服务，而且到达和服务是彼此独立的.

1.2.3 服务结构

医院设置c(c≥1)个收费窗口独立地并行服务，即每个收费窗口均可以满足患者的服务要求.各收费窗口的服务时间取决于收费人员的服务水平和熟练程度，基本服从参数为μ的负指数分布[9]，即每个收费窗口单位时间服务的患者数为μ，则整个系统单位时间服务的患者数为cμ.综上所述，这样的系统被称为多服务窗等待制排队模型M/M/c/∞/∞/FCFS.第1个M指单位时间进入系统患者数服从泊松分布，第2个M指医院收费窗口的服务时间服从负指数分布，c指收费窗口数量，第1个∞指系统容量无限，第2个∞指系统对患者数目没有限制，FCFS指系统的服务规则为患者先到达系统先接受服务。

1.3 优化系统目标

医院排队系统优化目标之一就是患者的等待成本和医院自身的经营成本之和最小[10]，并确定到达最优目标时收费窗口的数量.研究医院排队问题的目的就是要运用排队论的模型确定医院最优收费窗口数量，不仅满足患者的需求，而且避免资源的浪费[11].对医院服务系统的优化首先是确定系统合适的服务强度，其次是根据优化目标确定最优方案，最终通过概率分析检验最优方案正确性.

1.3.1 较低的患者等待成本

患者的等待成本是等待时间的线性函数，包含患者选择某一收费窗口所花费的时间成本、体力成本等.当患者达到率超过收费窗口的服务效率，队伍将会延长，等待时间与等待成本便会趋于无穷大.随着等待成本增加，患者可能会产生不耐烦情绪，甚至退出排队系统[12].因此，降低患者等待成本可以保证医院的服务质量和效率.通过降低患者等待成本，一方面缓解患者不耐烦情绪，降低患者离开率，另一方面也能树立医院在患者心中良好的服务形象，增加医院的就诊率.

1.3.2 较低的医院经营成本

目前医院收费窗口与收费人员一一对应，即1个收费窗口设置1个收费人员，故而收费窗口设置的合理程度会影响医院人力资源的利用率.不合理的医院收费窗口数量会导致医院出现患者高峰期收费人员不足，而患者低谷期收费人员冗余的情况.因此，有必要设置合理的医院收费窗口，减少人员浪费，降低医院经营成本.

1.3.3 合适的服务强度

2 医院收费窗口设置优化模型

2.1 基本模型

对于医院排队系统，普通收费人员完成一笔收费的平均时间和高峰时期单位时间进入收费大厅的患者人数及2者满足的概率分布已知，因此可以根据排队论的相关原理对系统相关的量进行探讨，即已知患者按泊松流到达，到达强度为λ；各窗口服务时间为负指数分布，平均服务率为μ，整个系统的平均服务率为cμ.

记ρ<1,用n表示系统中患者数量，Pn表示系统中有n个患者的概率，对于稳定的系统状态是一个生灭过程[15]，由统计平衡得到系统状态的平衡方程组如下：

(1)

(2)

(3)

由此可以求得需要的参数目标，患者等待时间即从患者进入收费大厅到患者开始接受服务的这段时间[16].

(4)

通过利用排队论的相关结论，对医院排队系统进行系统分析，并提出了合理确定医院收费窗口数量的方案.

2.2 优化方法

基于系统优化目标及基本模型理论，本研究通过对医院收费窗口数量进行调整达到系统优化目的.具体操作如下：

1)拟合度检验.对单位时间进入系统的患者数和医院收费窗口的服务时间进行拟合度检验，得到2个变量分别服从λ的泊松分布和μ的负指数分布.

2)参数测定.①λ、μ的测定，连续多天观察不同时段单位时间(1 h)内进入系统的患者数和医院收费窗口的服务时间，通过样本数据的平均值求得λ和μ的期望值.②采用调查法获取患者期望等待时间t数值，对不同时间段、不同年龄段的患者进行调查并记录数值，通过计算平均值求得t.

2.3 收费窗口优化模型

根据系统优化的目标可知要保证患者的等待成本和医院自身的经营成本之和最小，不仅应保证患者的平均等待时间低于患者期望等待时间且应确保每个收费窗口的服务强度适度.

2.3.1 最优收费窗口的确定

1)收费窗口只在首层设置时，根据实践测得当ρ<1时，收费人员能保持良好的工作状态.令ρ<1，可得出使收费人员保持良好工作状态的最小窗口数量c0，即可保证单位时间进入系统患者都能接受服务，又保证收费人员较高的服务质量.2)排队系统中存在不耐烦患者，当患者实际等待时间大于患者期望等待时间时，患者会产生不耐烦情绪，甚至会离开排队系统.设置医院收费窗口时需保证较低患者等待成本，患者的平均等待时间小于患者的期望等待时间，即Wq

2.3.2 最优方案的概率分析

患者到达医院收费系统后可能会因排队人数较多而犹豫是否进行排队等候服务[16]，在确定最优方案后，为了验证该结论的正确性，现在考虑这样一种混合制排队系统，该系统中共有m个位置，c个收费窗口独立平行的工作，c≤m，当m个位置已被患者全部占用时，新到的患者就自动离开，当系统中有空位置时，新到的患者就进入系统排队等待服务.患者到达的时间间隔和每个患者所需的服务时间相互独立，系统容量为m，医院对排队患者的服务顺序一般是先到先服务，且到达和服务是彼此独立的.假定系统中每队排队人数最多为a人(m=ac)，通过计算可以得出单位时间系统的容量为m的概率，即单位时间系统每队排队人数超过a人的概率[17].系统状态平衡方程如下：

(5)

(6)

式中，Q0表示系统空闲时的概率，Qm表示系统容量为m时的概率.

3 实例分析

3.1 最优收费窗口数量的确定

实地测定天津市西青医院普通收费人员完成1笔收费的平均时间为30 s，即μ为120.在高峰时期(上午10：00—12:00)每小时进入收费大厅的患者人数为1 750人，从而λ为1 750.另外，要求规定高峰时期排队人数不超过10人，那么患者等待时间T为270 s，则可以满足要求.

根据ρ<1求得c>14.58，即最少安排15个收费窗口.对c从15开始取不同的值，计算患者的平均等待时间Wq(c).

通过计算可以知道，当c≥15时，即可满足该医院的患者平均等待时间小于期望等待时间.当设置15个收费窗口时，相对成本较低，同时也能够满足高峰期间排队不超过10人的要求，所以设置15个收费窗口为医院的最优选择.

3.2 最优收费窗口的概率分析

通过计算分析可知，若医院只在一层收费大厅设置收费窗口，则15个收费窗口为医院的最优选择，假定系统中每队排队人数最多为10人，通过计算可以得出单位时间系统的容量为m的概率.

当c=15,m=150时,ρm=5.38×10-4.

通过计算可知，若医院设置15个收费窗口，高峰时期单位时间系统排队人数超过10人的概率为5.53×10-4.虽然随着窗口数量增加，高峰时期单位时间系统排队超过10人的概率将会更低，但医院经营成本会有所增加.综上所述，为尽量节约成本，设置15个收费窗口为医院的最优选择.

4 结论

基于排队论对医院收费窗口设置优化问题进行研究，通过天津市西青医院实际数据进行计算，设置合理的收费窗口数量，以期缓解患者缴费等候时间过长的问题，并对最优收费窗口进行概率分析，验证结论正确性.然而由于患者有不同的就医需求，在患者差异性假设条件下，如果将本研究方法与计算机仿真模拟相结合，对资源进行重新分配，优化效果将会更符合医院实际情况.