中美数学课本开放题数量、类型比较探究

李隆禧 郭肖雯 黄泳誉

摘 要：数学开放题有助于培养学生遇见问题解决问题的能力，本文分别对加州数学G6、人教版六年级课本和北师大六年级课本的数学开放题进行统计分析，然后分析国内课本和加州数学G6在开放题方面的优势，并提出了国内六年级数学课本可能的改进建议。

关键词：数学开放题;加州数学G6;人教版教材;北师大版教材

一、 研究问题

在中国知网，以数学开放题为关键词进行搜索可以搜到文献549篇;以“数学开放题”为篇名进行搜索可以找到文献375篇。这说明数学开放题日益受研究者关注。若以“数学开放题”和“比较研究”为主题进行搜索，则只能搜到文献8篇。这说明对于数学开放题的比较研究不够透彻，需要进一步进行研究。因此开展了数学开放题的对比研究，将中美两国六年级数学课本中的数学开放题作为比较研究的对象，并将研究问题确定为：中美六年级数学课本开放题数量、类型比较研究。

二、 研究意义

（一）数学开放题有助于培养学生发现、分析、解决问题的能力

数学开放题中的综合开放题可以给学生一个实际的情境，而不告诉学生问题是什么，它要求学生通过自己的观察去发现问题。也不硬性要求学生使用特定的条件，而是允许学生自己给定条件。还不限定学生采用哪种解题策略，而是让学生根据所学用自己的策略解决问题。进而使学生在解决数学开放题的过程中，提升发现、分析、解决问题的能力。

（二）数学开放题有助于培养学生的数学能力

数学开放题有些来自现实生活，其出题意图是让学生体验从实际问题抽象到数学问题，再到解决数学问题最后下结论的过程，在这一过程中，学生采用的解题策略，进行的分析、运算、绘图等都可以提高学生的数学能力。有些开放题属于策略开放题，其本身是一个纯数学问题，但是学生可以尝试通过不同的策略来解决同一个问题，这有助于培养学生的发散思维。

（三）数学开放题有利于师生关系的革新

教授数学开放题就是很好的选择，教师通过给学生数学开放题，让学生自行决定条件、策略、结论，这样可以保障学生在学习中的主体地位。同时，当学生有了自己的问题情境后，教師可以协助学生进行研究，由于没有事先的预案，教师在帮助学生解决问题的过程中将自觉地从传统的上下级关系转变为“平等中的首席”。再者，当师生共同解决数学开放题时，教师也不再采取旧式讲知识、做练习的方法，而是变为修正学生在探究过程中表现出来的错误，培养学生的数学观念和认真仔细的学习态度，最终实现学生的自我教育，让教师成为学生发展的促进者。

三、 研究方法

使用文献分析法对课本中数学开放题数量和种类进行研究，本文分别分析加州数学G6、人教版六年级课本和北师大六年级课本，找出其中的数学开放题并且判定其类型，同时记录课本中总的练习题数量，之后对这些开放题进行统计。依据其类型分布以及数量占比来进行分析。

四、 数学开放题定义

数学开放题在目前还尚不存在统一的定义，主流的数学开放题一般有三种分法，分别是：（1）答案不确定的数学问题;（2）条件不完备，结论不确定的数学问题;（3）依据题目中的未知要素所在位置分为条件开放题、结论开放题、策略开放题和有两个及以上未知要素的综合开放题。其中，第三种对于数学开放题的定义更加全面，分别从情景条件、操作者选择的解决方案、不同的结果及包含不同的未知要素等方面来定义数学开放题，是一种更加科学的数学开放题定义方式。因此本文中对数学开放题的定义选择采用第三种定义方式，若其未知的要素是假设，则判定为条件开放题;若其未知的要素是推理，则判定为策略开放题;若其未知的要素是判断，则判定为结论开放题;若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都需要在情境中自行设定与寻找，则判定为综合开放题。

五、 研究对象的选择

（一）选择加州数学作为美国参考教材的原因

首先，美国的体制决定其不太可能出版国家级别的教育大纲，因此其没有国家统一的教材，只能选择有代表性的数学教材。加利福尼亚州在美国属于教育大州，教育水平优秀。其次，该类图书的作者来源丰富，从普通教师到教授都有，参考性比较强。再者，加州数学的课程内容与我国的课程标准所规定的教学内容有相似性，如加州数学G6课本的内容与我国六年级数学课本都包含分数、百分数、几何初步知识等。

（二）选择人教版和北师大版数学教材作为国内参考教材的原因

人教版和北师大版的使用范围更大，更具有代表性，除去江苏、上海以及其他教育实验地区，剩下的大部分地区均采用人教版或者北师大版的教材。广大的使用量让其作为研究对象将更具有代表性。由于人教版和北师大版都使用的比较广泛，单纯将其中任何一个版本的教材作为我国教材的代表都是不合适的，因此，将人教版和北师大版同时作为国内参考对象，力求结论更加客观。

六、 研究结果分析

（一）统计加州数学G6教材数学开放题

（二）统计人教版教材数学开放题

（三）统计北师大版教材数学开放题

（四）三种数学教材数学开放题统计结果分析

1. 加州数学G6与人教版六年级数学开放题对比

（1）对比数学开放题总数量，加州数学G6的数学开放题要多于人教版的数学开放题数量，加州数学G6共有158道数学开放题，人教版则有23道数学开放题，加州数学的总开放题数量更多。

（2）对比数学开放题占比，人教版六年级的占比是4.5%，而加州数学G6的占比则是3.4%，人教版的占比高。

（3）对比数学开放题在各章分布，加州数学G6在每一章都有数学开放题分布，而人教版的数学开放题则在几章没有分布。

（4）对比开放题的类型，加州数学G6的综合开放题较多，人教版的结论开放题较多。

2. 加州数学G6与北师大版六年级数学开放题对比

（1）对比数学开放题总数量，加州数学G6的数学开放题要多于北师大版的数学开放题数量，加州数学G6共有158道数学开放题，北师大版则有35道数学开放题，加州数学G6的总开放题数量更多。

（2）对比数学开放题占比，北师大版六年级数学的占比是7%，而加州数学G6的占比则是3.4%，北师大版的占比更高，是加州数学G6的两倍多。

（3）对比数学开放题在各章分布，加州数学G6在每一章都有数学开放题分布，而北师大版的数学开放题则在几章没有分布。

（4）对比开放题的类型，加州数学G6的综合开放题较多，北师大版的结论开放题较多。

七、 结论

在对加州数学G6、人教版六年级数学课本和北师大版六年级数学课本开放题进行比较后，分析了国内课本和加州数学G6在开放题方面的优势，并提出了国内六年级数学课本可能的改进建议。

（一）研究结果

1. 国内课本数学开放题方面的优势

（1）国内课本数学开放题比重较美国的大。国内课本开放题占得比重较大，即使是相对少的人教版课本，数学开放题在课本练习中的比重也达到了4.5%。这是好的现象，说明国内的编者开始逐步认可数学开放题的重要地位，肯定了数学开放题对学生学习和知识建构以及教师教学的作用。

（2）国内课本数学开放题在类型上更注重结论开放题和条件开放题。六年级的学生尚处于具体运算阶段，其抽象思维能力以及思考问题的能力还有待提高，且其生活经验较少，接触事物不多。若过多要求去做自行决定情景的综合开放题，则会经常导致学生提出的问题情境与所学内容相关性不大或者学生难于提出问题情境的情况发生。条件开放题和结论开放题可以解决这个问题。条件开放题允许学生自行从给定的情境中选取数据并解决问题;结论开放题则是让学生在经过一系列运算后能够根据运算结果给出判断。由于有前面題干或者运算的铺垫，学生的认知负荷将大大减少，更有利于学生学习数学知识。

2. 国内课本数学开放题方面的劣势

（1）国内课本某些章节数学开放题比重偏大，如北师大版上册第五章：数据处理，其数学开放题比重达到了64.3%，过多的数学开放题可能会影响学生的判断。

（2）数学开放题种类不够丰富，结论开放题和条件开放题较多，而综合开放题和策略开放题略少。

3. 加州数学G6数学开放题方面的优势

（1）加州数学G6的题量更丰富，在整个六年级的课本中提供了4645道练习题。相较于国内人教版的506道练习题和北师大版的500道练习题而言加州数学G6的题量已经相当可观了。这些题目可以为学生提供强度更大的练习，从而让学生的学习得到更好的巩固。这一点国内课本也非常重视，国内的课本一般会有配套的练习册，为学生提供课后相应的练习。

（2）加州数学G6的开放题在每个章节的分布优于国内。根据图1的统计数据可以得知，加州数学G6的教材在每一章都有开放题，并且每一章的开放题类型都比较全面。笔者认为这样的好处是能够让学生得到更全面的锻炼，综合开放题能让学生发现数学源自生活;条件开放题可让学生保持学习主体地位;策略开放题可以丰富学生解决问题的思维;结论开放题可以增强学生的判断力。因此，将不同类型的开放题布置在不同的章节中将促进学生的全面发展。

（3）加州数学G6开放题标识更加明确。加州数学G6的开放题比较明显，一般情况下会在该题前面用彩色字体写明“open-ended”字样，明确告诉学生这是数学开放题。这有利于学生及时转换思维，选择对应的解决问题的策略。

（二）国内课本的改进建议

1. 保持结论开放题和条件开放题的占比

这是国内教材的优势，应当继续保持，但不应大幅增加，若使学生形成错误的思维定式将得不偿失。

2. 适当增加综合开放题和策略开放题的数量

综合开放题不仅仅是情景题，也可以是综合了学生自主选择条件并进行判断的纯数学问题。综合开放题可以既让学生拥有主体地位，又让教师发挥主导作用，还可以让学生体会数学思维的严密性。通过对比图1、图2、图3的数据，笔者认为国内教材有必要增加综合开放题。同时，国内课本还应适当增加策略开放题的比重，并更加明确策略的定义，让学生知道用电脑来解决数学问题也是解题策略之一，解题策略不应局限在纸笔。

3. 数学开放题应当分布更广泛

通过图2和图3的数据可知，国内教材有些章节没有明显的数学开放题分布，这一点应当解决。数学开放题可以让教师判断学生的学习情况，进而让教学更有目的性。若在抽象性开始提高的章节不出现开放题则可能让学生的解决问题的思路变得局限，不利于其数学能力的发展。

参考文献：

[1]戴再平.时代的呼唤：数学开放题研究进展综述[J].中学数学教学参考，1999（4）：19-21.

[2]何光峰.数学开放题及其教学的研究综述[J].数学通报，2001（5）：0-3.

[3]邓小俐.中美初中数学教材中习题的对比研究[D].南京：南京师范大学，2002.

作者简介：

李隆禧，郭肖雯，黄泳誉，广东省佛山市，广东省佛山市禅城区佛山科学技术学院。