参数化弧齿锥齿轮建模分析

◎何 昕 许嘉豪 韩文虎

（1.黄河水利职业技术学院机械工程学院，河南开封475004；2.河南科技大学机电工程学院，河南洛阳471003）

我国机械行业发展迅猛，对机械传动领域研究进一步深入，其中齿轮传动是机械传动中最为重要的传动方式。近些年高校在齿轮的科学研究和项目建设投入逐渐增长，考虑到在齿轮行业中相交轴齿轮承载能力和啮合性能较为优异，对相交轴齿轮的研究也进一步完善，特别是弧齿锥齿轮，其传动性能稳定，在高速、重载的相交轴传动中应用非常广泛[1]，通过对这种齿轮的理论研究和技术创新对机械工业的发展会有一定的推动作用。

通过建模发现，弧齿锥齿轮的齿面是空间复杂曲面，所以该种齿轮的设计和加工复杂，并且弧齿锥齿轮的生产制造精度和强度要求较高，如何以低成本、高效率生产出精度和硬度都能满足规格要求的弧齿锥齿轮，是当前弧齿锥齿轮生产制造中普遍关注的问题[2-3]。为了提高弧齿锥齿轮设计分析效率和精度，笔者提出了参数化建模弧齿锥齿轮，只改变齿轮的主要参数就可对不同参数的齿轮进行分析、建模，以此提高齿轮设计效率和理论分析精度。

以参数化建模思想为基础，通过VB 语言编写出轮坯几何参数计算程序，以及基于弧齿锥齿轮的啮合原理编写的齿面点求解程序，可以建立精确的弧齿锥齿轮三维模型，达到参数化建模、分析计算的目的。通过对齿轮副模型进行静力学分析，比对仿真运动接触区域结果基本一致，完善和验证了弧齿锥齿轮参数化设计理论的可行性。

1 弧齿锥齿轮精确参数化三维建模

1.1 齿轮轮坯参数化精确建模

弧齿锥齿轮的三维模型建立分为两个部分，首先需要根据齿轮的基本几何参数绘制出弧齿锥齿轮轮坯三维模型。而对于弧齿锥齿轮来说，其主要几何参数计算较为繁杂，计算起来非常的烦琐，对不同几何参数的锥齿轮的设计还需要重新计算，十分耗时。笔者从提高计算、分析效率出发，利用VB 语言编写几何参数计算程序，能够有效且正确计算出轮坯几何参数，提高计算精度以及设计效率，如图1 所示为轮坯参数示意图。

从锥齿轮的轮坯参数图可以发现，弧齿锥齿轮结构复杂、参数较多，通过以一对齿数为20 和22 的弧齿锥齿轮为例，对其进行参数化建模分析，以验证编写的程序正确、高效，验证参数化建模模型的精度和科研可用性，其中弧齿锥齿轮副的主要几何参数如表1 所示：

图1 轮坯参数示意图

表1 齿轮几何参数

通过VB 语言编写相关参数计算程序，在很大程度上减小了锥齿轮参数计算的任务量。同时为了满足编写程序的可视性，设计出齿轮基本参数计算输入窗口，如图2 所示分别为齿轮基本几何参数输入窗口和计算后的轮坯几何参数输出表。

图2 几何参数计算

在得到轮坯详细的几何参数后，可以在UG中建立精确的轮坯模型，笔者所采用建立轮坯的方法，一定程度上避免了人工计算的失误，同时也提高了计算精度和效率，满足后续力学分析、啮合分析要求和需要。如图3 所示为轮坯三维模型。

图3 小轮轮坯模型

1.2 轮齿曲面参数化建模思想

弧齿锥齿轮的齿面是空间曲面，齿面结构异常复杂，因此齿面无法直接用方程表达出来而进行精确建模[4-7]。

笔者基于局部综合法，建立大轮产成坐标系推导大轮齿面方程：大轮的齿面是刀具切削面所包络形成的，切齿时内外刀切削刃绕刀盘中心主轴旋转形成了两个切削锥面；与此同时，摇台以一定的速度和角度与被加工齿轮也绕各种轴线旋转，从而展成出大轮齿面。

如图4 所示为弧齿锥齿轮产成坐标系，在图4 中：坐标系Sm是以机床中心Om为坐标原点，以与摇台主轴垂直的平面为XmOmYm面，Sq是建立在摇台上的坐标系，在切齿时，Sq绕Sm的坐标轴Zm旋转。

在齿轮加工过程中，选取切削刃上面一点，在切削过程的任一瞬间，通过坐标系转换，推导计算出齿面上对应的这一点的坐标值。在切削刃上取一系列的点族，通过坐标系变换，可以构成齿轮的齿面点族。通过求解出的齿面点族在三维软件中拟合出弧齿锥齿轮齿面，从而达到精确建模的目的。

图4 大轮产成坐标系

通过分析弧齿锥齿轮的加工过程，可以求解出其齿面方程，继而通过VB 语言编制齿轮齿面点求解程序，在编写程序时，以齿轮基本参数为变量，在研究设计不同参数的齿轮时，只需改变齿轮基本参数即可得到不同参数齿轮的齿面点族。

1.3 轮齿曲面建模

通过VB 语言对齿面方程处理后，只需要输入齿轮基本参数即可求得弧齿锥齿轮齿面片空间坐标点族。参数化编写齿面点的求解程序，可以对不同模数和齿数的齿轮进行齿面点的求解，提高了理论分析的效率和三维建模的精确性，通过此种方法所建立的模型，可以用于有限元分析和静力学分析而不影响分析精度，如图5 所示，为通过MATLAB 编制的齿面点求解参数输入程序窗口，只需要输入基本参数，就可求得齿轮的齿面点族。

图5 齿轮参数输入窗口

通过所编写的程序，算出轮齿面点族数据，对齿面点族数据进行处理输出为DAT 格式文件，将齿面点族DAT 文件导入UG 中生成弧齿锥齿轮的齿面片（齿轮的凹面和凸面）模型。对弧齿锥齿轮的凹凸齿面片进行缝合，可以生成一个齿槽模型。如图6 所示为弧齿锥齿轮大轮的齿槽模型。

图6 齿轮齿面片

2 齿轮副运动仿真

2.1 齿轮精确建模

弧齿锥齿轮的三维模型要满足静力学等CAE 分析精度，同时模型也要贴合实际生产齿轮几何构造。为了验证参数化建模模型的精度，在UG 中对齿轮副进行虚拟滚检分析，得到齿面接触区域后可以和后续静力学分析结论进行比对相互验证正确性。

对齿轮进行建模，调取生成的齿槽曲面在UG 中对上节参数化建模得到的轮坯模型进行切割处理，可以在轮坯上切割出一个齿槽，如图7 所示。

图7 切割齿槽

在建立的主、被动齿轮轮坯上切割出齿槽后，还要分别通过主、被动轮的齿数，分别阵列出本次所分析的弧齿锥齿轮主、被动轮齿数，完成齿轮的精确数学建模，在建模的同时，要注意调整大轮和小轮的坐标系和旋向，为下面的运动仿真做模型基础，如图8 示为大轮和小轮的三维模型。

图8 齿轮三维模型

2.2 接触区模拟运动仿真

通过齿轮副运动仿真可以模拟齿轮副啮合状态下的接触区域：将主动轮和从动轮装配在一起进行运动仿真，给主动轮一定转动速度，模拟弧齿锥齿轮在啮合状态下的齿面接触情况，通过齿面上的接触区域观察齿轮副的啮合性能，同时对下面齿面接触分析和静力学分析作出参考比对依据[8-9]，如图9 所示为该通过虚拟滚检分析实验得到的齿轮副虚拟滚检接触区域图，其中上面的齿轮为主动轮，下面的齿轮为被动轮，两轮齿面之间红色区域为仿真运动得到的虚拟滚检区域。

图9 运动仿真

3 齿轮静力学分析

参数化建立的齿轮副模型精度能够满足理论分析需要，贴合实际工况，为了进一步验证弧齿锥齿轮三维模型的精度，对其进行齿轮副静力学分析，首先在ANSYSWOKBENCH 有限元分析软件中导入建立的齿轮副三维模型，生成齿轮有限元模型。

以上节中弧齿锥齿轮副三维模型为例，导入到有限元软件中，如图10 所示为生成齿轮副的有限元模型，本课题所生成的齿轮三维模型是通过精确的齿面点建立的模型，在分析齿面接触应力在齿面上的分布情况和变化规律时计算精度可以得到有效提高。

图10 齿轮副有限元模型

在静力学分析中，设定大轮为从动轮，小轮为主动轮。在软件中可以自动生成齿轮副的齿面接触对（见图11），同时在大轮轴孔出添加150N·M 的转动扭矩。小轮输出一个转角，这里给定转角为25 度，模拟实际啮合状态下的齿轮副变形和应力分布情况。通过静力学分析，可以明显看出齿轮副的接触区域变化情况以及应力分布状态，对应力集中的部位可以进行设计更正，避免由于应力集中对齿轮造成的破坏，同时也可以对上节所做的运动仿真结果进行比对，验证分析结果，如图12 所示，为静力学分析后的齿轮应力分布图。

图11 轮齿接触对

图12 静力学分析

通过静力学分析得到轮齿齿面应力分布图，接触区域从齿根小端向齿顶大端分布，在齿中应力集中较为明显，和在UG 中运动仿真做得到接触区域以及动态变化一致，验证了参数化建模程序所建模的三维模型用于理论分析的可行性、模型的精度以及程序的正确性。

4 结论

笔者对弧齿锥齿轮参数化设计和理论分析进行了深入研究，从弧齿锥齿轮几何参数计算、精确建模、有限元模型建立、轮齿接触静力学分析等方面都融入了参数化的思想。对实际生产设计该种齿轮可以有效减少理论上设计分析时间，提高设计、生产效率。

为了验证所编写程序正确性和通过参数化所建立三维模型的精确性，提取运动仿真、静力学分析所得到的接触印痕进行比对，分析结果基本一致，验证了所提出参数化建模、分析弧齿锥齿轮的啮合性能的可行性，对今后弧齿锥齿轮的设计和优化计算有一定实际指导意义。