基于Galois理论的抽象代数本科教学改革和研究

郑华 罗亮 孙宇锋

[摘 要] 以Galois理论为导向，对数学与应用数学本科专业的抽象代数课程进行教学改革，在更高的理论框架下展现课程主体知识的关联和延伸，使学生进一步明确课程目标、激发兴趣以及拓宽视野，提高学生学习动力和提升教学效果，使学习更有深度、广度和宽度。

[关键词] 抽象代数;Galois理论;数学与应用数学

[基金项目] 教育部2017年“产学合作协同育人”项目（No：201701044035、201701044085）;广东省2016年“质量工程”建设项目（大学生实践教学基地立项No.46）;2018年广东省高等教育教学改革项目（面向新工科《数学分析》课程之“对分课堂”教学改革研究与实践No.531）;韶关学院第十九批教育教学改革研究重点项目（基于大数据创新能力培养的《专业核心技能训练》课程教学改革研究与实践No.SYJY20181908）;韶关学院第二十批教育教学改革研究项目（《数学模型》课程思政化教学模式构建与实践研究No.SYJY20192006）;2017年韶关学院“质量工程”建设项目（模糊数学在工程中的应用No.29）;2018年韶关学院“质量工程”建设资助项目（科学计算中的若干问题No：7）

[作者简介] 郑 华（1982—），男，广东韶关人，博士，副教授，主要從事数值代数研究;罗 亮（1981—），女，江西丰城人，博士，副教授（通信作者），主要从事自适应控制研究。

[中图分类号] G642    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）37-0172-02    [收稿日期] 2019-12-25

一、引言

代数是纯数学领域的一个重要分支，法国数学家Galois在1832年运用群的思想解决了多项式方程求根公式的存在性问题，使得代数学成了研究代数结构的科学，进而把代数学推向了抽象代数时期（也称为近世代数）[1].

抽象代数是本科数学与应用数学专业的重要专业课之一，通过讲解群、环、域[2]等知识，使学生在掌握代数学核心内容的同时，在抽象性、严谨性上得到一定的思维训练。本文主要从教学设计的角度，给出基于Galois理论对抽象代数课程本科教学进行改革的若干策略。

二、Galois理论回顾

Galois理论的重要应用之一，是一元五次方程求根公式的存在性问题[3-4].先给出一些相关的引理.

引理1[5] 如果从A到B的域扩张对应的Galois群是可解的，那么存在不变子群G1，G2，…，Gk，使得A？茳G■？茳G■？茳…？茳G■？茳B，并且每一个商群G■/G■都是交换群.

引理2[5] 记一元五次方程根所在的域为K，则所有从Q到K的域扩张对应的Galois群是S5.记A5为S5中所有偶置换构成的集合，则A5不是交换群，并且S1？茳A5？茳S5是S5唯一的不变子群链.

用Galois理论讨论一元五次方程求根公式存在性问题的基本思路为：（I）为了找到方程的解（不在Q中），需要对Q进行域扩张;（II）多项式的零点具有某种对称性，而这种对称性可以用群来描述，进一步可以等价地用域扩张的对称性来描述;（III）只通过加减乘除无法得到Q的域扩张，而通过开方得到的域扩张具有某种对称性，即对应的Galois群是可解的;（IV）根据引理1和引理2，一元五次方程的根所对应的Galois群是不可解的，因此只通过加减乘除和开方运算是不能从Q扩张到包含五次方程解的域，再根据Galois对应的定义，即得一元五次方程求根公式是不存在的.

三、基于Galois理论的教学策略实施

从Galois理论在一元五次方程求根公式存在性问题中的探讨思路可见，整个过程涉及的群、环、域的相关基础知识包括了：（I）域扩张;（II）群的定义;（III）对称群;（IV）不变子群、置换群、群同构、商群.可见，Galois理论覆盖了抽象代数的主要常规教学内容，并且把对称性、不变子群、商群、同构等抽象的概念有机地串联了起来.考虑在每一章节常规的教学内容中为Galois理论的引入做适当铺垫，尽量压缩跟Galois理论关联较少的知识教学时间，最后再利用2个课时对Galois理论进行介绍，可以帮助学生更好地理解抽象代数课程的核心理论.

（一）课程总览

在抽象代数的课程介绍中，一般会提到Galois理论的历史.为了配合后续融合Galois理论思想的教学模式，需要额外介绍一元五次方程求根公式的数学问题.由于是第一次课，学生尚不具备任何抽象代数知识，因此问题介绍尽量不涉及课程的专业术语，多从“什么是求根公式？”、“一元二次、三次、四次方程的求根公式是什么？”等简单话题展开，先通俗粗糙地展示Galois理论的框架，以问题驱动的方式激发学生的学习兴趣.

（二）群的教学

在学习完群的定义后，常规教学过程会给出几个群的简单实例，虽然这严格遵循了代数的抽象定义体系，但由于各实例有一定的独立性，导致大部分学生对该定义的理解往往是一种机械的模式.为了后续Galois理论的需要，由上节的步骤（II），引入对称操作构成的群作为实例之一，并给学生强调该实例是跟求根公式探讨直接相关的例子.

对于对称群、置换群、不变子群、商群这些引申概念的讲解，在展示各个概念的定义之前，先结合后续求根公式存在性的推导过程，适当突出各概念在Galois理论中所涉及的性质.在对称群和置换群的教学中，虽然概念的构造比较简单，但为何特别要关注交换律而不是其他运算律，为何要关注置换构成的群，是部分学生可能产生的疑问，由上节步骤（III）可见，在教学中强调此处和Galois理论相关，即可马上消除学生的疑问.在不变子群和商群的教学中，部分学生难以理解为何要去学习这么“特殊”的群，同理，由上节步骤（IV），强调两个概念都是后续Galois理论要使用的，让学生先掌握纯数学的抽象定义，并且期待后续相关概念的融合.

对于群同构的教学，为何要讨论抽象概念之间的抽象关系，是学生在学习过程中可能产生的疑惑.由上节步骤（IV），群同构是为Galois理論分析“对称操作构成的群”内在性质做铺垫的，同构关系把群的特殊性抽象出来，同时可以回应群论的定理：“任意的群都同构于一个变换群”，帮助学生把所学的知识阶段性地串联起来.

（三）环和域的教学

Galois理论跟环论并无直接关联，因此，环论的教学策略可采用常规教学的模式.对于域的教学，常规的方式一般会在域的定义上花较多的时间，然后再简单介绍域的性质.结合Galois理论的需要，在教学中更重视域的性质，即该集合的元素在加减乘除四则运算下是封闭的.在寻找一元五次方程求根公式时，正是因为有理数域在四则运算下是封闭的，才有引入域扩张的必要性，因此关注域的上述特殊性质是有必要的.

对于域扩张理论（I），由于扩域的知识一般不在本科《抽象代数》课的教学大纲内，考虑到整体课程的学时安排，对这部分知识的教学，还是按大纲要求进行，不去详细讲解.由于求根公式问题只涉及域扩张的简单实例，而该实例只涉及整环和域的定义，因此可在讲解时引入有理数域扩展的实例，并强调该实例与Galois理论相关即可.

（四）Galois理论介绍

在常规内容的教学中，压缩跟Galois理论关联较少的群、环、域知识，在不超过课程总学时的前提下，用2个课时的时间给学生介绍Galois理论的推导思路.对于过程中的细节处理，需要关键的引理1和引理2，注意到这两个引理是超出本科教学范围要求的，由于课时有限，可采用忽略证明只介绍理论结果的方式进行.对于引理3，内容在本科教学的范围内，其细节推导可设置为讲解不变子群和置换群后的课堂作业.

四、小结

根据抽象代数的历史由来，以一元五次方程求根公式存在性问题为驱动，把Galois理论的思想渗透在抽象代数相关内容的教学过程中，给出相应的教学策略，把群、环、域等主体知识有机地串联起来，激发学生的学习兴趣，能有效地改善教学效果.

参考文献

[1]冯晓华，杨静.刘维尔与伽罗瓦数学手稿的发表[J].数学的实践与认识，2007，37（3）：139-144.

[2]Rotman J.Advanced Modern Algebra[M].Upper Saddle River：Prentice Hall，2004.

[3]李青燕.从五次方程根式求解到伽罗瓦理论及其数学哲学意蕴[J].太原师范学院学报（自然科学版），2010（3）：49-53.

[4]谢彦麟.代数方程的根式解及伽罗瓦理论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

[5]刘邵学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2004.