高中数学圆锥曲线的离心率求解方法

周艳群

摘要：离心率是高中圆锥曲线部分学习的重要内容，也是教学的难点。求解圆心率的问题也时长出现在近些年的高考题目中，无论是教师还是学生必须要提高对这类问题的重视程度。基于此，本文将结合教学中的实际案例来分析高中数学圆锥曲线的离心率求解的主要方法。

关键词：高中数学;圆锥曲线;离心率

中图分类号：G633.6     文献标识码：B    文章编号：1672-1578（2020）27-0201-02

离心率是圆锥曲线中的一个重要概念，它的变化将直接影响到圆锥曲线的类型和形状，以离心率作为考察内容的题目在近些年的高考中屡次出现。因此，这部分是当前高中数学教学中的一项重点，不少学生在面对有关问题时都会觉得束手无策。本文将结合近些年出现的各类型试题，具体分析高中数学圆锥曲线的离心率求解方法。

1.基本量法

利用基本量法来求解离心率主要是指通过题目中已知的条件来求得参数a、c之间的关系，从而得到离心率e。

例1（1）已知椭圆方程x216k+y29k=1（k>0），求椭圆的离心率。

（2）设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点，如果双曲线上存在点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=|3AF2|，求双曲线的离心率。

解：（1）从题目已知可得a=44，b=3k，所以c为7k，即e=74或是e=1-b2a2=1-916=74。

（2）设|AF1|=t（t>0），则|AF1|=3t，从双曲线方程中可知a=t，2c=10t，所以c=102t，e=ca=102tt=102。

这一类型的解题方式相对来说比较简单，只要能够从题目已知中准确找到a、b、c三个基本量，就可以计算出离心率的值了。

2.定义法

在涉及到圆锥曲线上的点与焦点或是准线距离一类的问题时，我们就可以尝试利用离心率的定义，e=ca或是圆锥曲线的统一定义来计算离心率。

例2 （1）在等腰△ABC中，∠ABC为120°，求以A、B為焦点且过点C的双曲线的离心率.

（2）在△ABC中，∠A为90°，tanB=34。若以A、B为焦点的椭圆经过点C，那么该椭圆的离心率是多少？

解：（1）设双曲线的焦距AB=2c，在等腰△ABC中，因为∠ABC为120°，过B点做AC垂线可得AC=23c，CB=2c。由双曲线定义可得a=（3-1）c，所以e=ca=1+32

（2）设椭圆焦距AB=4，即c=2。因为tanB=34，所以CA=3，CB=5，所以点C在椭圆上，2a=CA+CB=8，a=4，e=ca=12。

3.向量法

向量知识的应用无疑是拓展了我们的解题思维，在求解离心率的过程中，向量可以更简单的解决含有垂直和共线的题目。

例3 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相较于M、N两点，而以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右定点，求双曲线的离心率。

解：如图，因为MN为圆F的直径，所以∠MAN=90°，F的坐标为（-c，0），由此可知M坐标为（-c，b2a），N坐标为（-c，-b2a），A点坐标为（a，0）。所以MA→=（a+c，-b2a），NA→=（a+c，b2a），MA→·NA→=（a+c）2-b4a2=0，即e2-e-2，所以e=2

4.参数法

在解决圆锥曲线的离心率问题是，如果题目的已知条件中含有参数，且知道或可以容易求得参数的范围，那么我们就可以通过分析离心率与参数之间的关系来确定离心率的范围。

例4 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，半焦距为c，圆M的方程为（x-5c3）2+y2+169c2。

（1）如果点P为圆上的一点，求证|PF1||PF2|为定值。

（2）如果椭圆经过圆上的一点Q，且cos∠F1QF2=116，求椭圆的离心率。

解（1）设p坐标为（x，y），则|PF1|=（x+c）2+y2，|PF2|=（x-c）2+y2。

|PF1|2|PF2|2=（x+c）2+y2（x-c）2+y2=（x+c）2+169c2-（x-53c）2（x-c）2+169c2-（x-53c）2=4，所以|PF1||PF2|=2，为定值

（2）由（1）可得，|PF1||PF2|=2，设|QF2|=m，则|QF1|=2m（m>0）

cos∠F1QF2=m2+4m2-4c24m2=5m2-4c24m2=1116，解得c=34m，m=34c

因为2m+m=3m=2a，所以4C=2a，e=12

5.平面几何图形法

相对于代数计算来说，平面几何图形更加形象直观，在解题过程中结合平面几何图形可以让我们更加清晰的认识到数量之间的关系，从而降低解题难度，提高解题效率。

例5：设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A的光线垂直于AF，并在椭圆的右准线处反射，反射光线与直线AF平行（如图所示），求椭圆的离心率。

解：入射光线与反射管线垂直，所以我们可以由此推断入射光线与准线之间的夹角为45°，也就是∠FAO=45°，所以b和c相等，e=22。

总之，圆锥曲线中的离心率计算是解析几何中的重点内容，也是近些年高考中最常见的题型。如果学生在学习中没有有效的思维拓展，只是就事论事，忽略了对题目的反思与总结，那么教学的效果必然不会十分明显。数学知识之间通常是有着十分密切的联系的，解题思路也是灵活多变，解题的方法通常也不唯一。学生在解题过程中即使能够一次性找到答案，也应该尽量去做更多的思考，找到最简最优的方式。同时，还要进一步对题目内容和解题过程进行反思，从中总结出更多的解题规律，实现学习能力与解题能力的进一步提升。

参考文献：

[1] 许如意，林清海.圆锥曲线离心率试题模型化及备考策略化[J].福建中学数学，2020（02）：29-31.

[2] 张启兆，陈之领.高三数学二轮复习微专题教学探讨——以《求圆锥曲线的离心率范围问题》一课为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（12）：56-60.

[3] 吉树华.圆锥曲线离心率问题的解题策略探析[J].数学教学通讯，2019（30）：87-88.

[4] 王晓卿.圆锥曲线离心率与相交直线斜率关系的探究[J].中学数学研究，2019（08）：31-32.