孤岛模式下直流微电网稳定域估计方法研究

邵选英 胡健 焦提操 秦玉杰

摘  要： 针对直流微电网内具有负阻抗特性的恒功率负载存在系统的稳定域问题，提出一种大信号稳定性分析方法。以孤岛运行模式下的直流微电网为研究对象，建立系统的等效非线性电路模型，利用混合势函数构造系统的李雅普诺夫函数，借助渐进稳定域定理求得系统的渐进稳定域，进而分析恒功率负载功率对系统渐进稳定域的影响。在Matlab/Simulink中搭建直流微电网仿真模型，验证该稳定性分析方法的可行性和有效性。

关键词： 直流微电网; 孤岛模式; 大信号分析; 混合势函数定理; 李雅普诺夫函数; 渐进稳定域

中图分类号： TN710?34; TM711                    文献标识码： A                    文章编号： 1004?373X（2020）17?0166?05

Abstract： In order to cope with the problem of system stability domain occurred to the constant power loads with negative impedance characteristics in DC microgrid， a large signal stability analysis method is proposed. The DC microgrid in islanding operation mode is taken as the research object， and then the equivalent nonlinear circuit model of the system is established. The mixed potential function is used to construct the Lyapunov function of the system， and the asymptotic stability domain of the system is obtained by the asymptotic stability domain theorem， so as to analyze the influence of constant power load power on the asymptotic stability domain of the system. The simulation model of DC microgrid is built in Matlab/Simulink to verify the feasibility and effectiveness of the method of stability analysis.

Keywords： DC microgrid; islanding mode; large signal analysis; mixed potential function theorem; Lyapunov function; asymptotic stability domain

0  引  言

微電网系统是由光伏等分布式电源、可控负载、储能装置以及各类变换器集成的微型综合能源系统，被认为是利用分布式能源的有效方式之一[1?2]。根据系统内低压电网类型的不同，微电网可以分为交流型、直流型和交直混合型三类。相比于交流微电网，直流微电网具有以下明显的优点[3]：可以减少能量转化环节，提高能源利用效率，控制简单等，因而受到国内外学者的广泛关注。

由于直流微电网中不存在无功功率的波动，因此，维持母线电压稳定是直流微电网安全可靠运行的关键[4]。为保证负载工作于额定电压，负载侧变换器通常采用闭环控制调节输出电压，对外表现为恒功率负载的负阻抗特性[5?6]。从控制理论的角度看，负阻抗特性会减小系统的有效阻尼，从而造成直流微电网母线电压振荡。对于母线电压稳定性分析，文献[7]基于平衡点线性化后系统的传递函数，利用经典控制理论的Routh Hurwitz判据、根轨迹图、频率响应等判据进行稳定性分析。文献[8?9]基于建立的状态空间模型，利用平衡点处雅克比矩阵的特征值判断系统的稳定性。然而，电力电子变换器是典型的非线性装置，负阻抗特性使得系统的非线性更加凸显。因此，上述基于线性控制理论的小信号分析方法只能分析小扰动下系统的稳定性，存在较大的局限性。

许多学者基于非线性模型进行了相关大信号研究，大信号分析法主要是基于标量函数即李雅普诺夫函数的分析方法，因此，李雅普诺夫候选函数的生成方法非常关键。文献[10]提出基于T?S多模型的稳定性分析工具，但是需要求解线性矩阵不等式，计算比较复杂。现有的生成李雅普诺夫函数的方法大多只适用于特定的系统，或者依赖于特定的简化假设，导致非常保守的分析结果，目前还没有系统的构造这种函数的方法。文中基于非线性电路的拓扑结构，根据混合势函数稳定定理构造系统的李雅普诺夫函数，结合渐进稳定域定理求解系统的渐进稳定域，并进一步分析恒功率负载对稳定域的影响。

1  直流微电网模型

直流微电网系统结构如图1所示，系统内的分布式电源、储能单元、负载等均要通过各类电力电子变换器接入直流母线。

直流微电网中为保证每个负载都工作于额定电压，负载侧变换器通常采用恒压控制以保障输出电压稳定。在此控制模式下，若负载侧变换器输入电压[ui]减小，则输入电流[ii]增大;若[ui]增大，则[ii]减小。因此，负载侧变换器与负载可共同等效为恒功率负载，理想的恒功率负载模型可用电压控制电流源表示，如图2所示。恒功率负载的负阻抗特性会减小系统阻尼甚至导致系统振荡，对系统的稳定运行具有不利影响。

本文研究中，假设直流微电网处于孤岛运行模式，分布式发电单元为光伏装置，采用最大功率跟踪策略以实现最大限度地利用可再生能源。此时，从母线端来看，光伏和相应的变换器可以建模为恒功率源，即不管母线电压如何变化，光伏变换器始终给母线端提供恒定的功率[11]。

孤岛运行时，储能单元作为能量平衡装置，通过双向储能变换器接入直流母线。以蓄电池为例，在下垂控制下蓄电池及其变换器的输出特性可以等效为理想电压源串联一个虚拟下垂阻抗[Rv]，等效模型中下垂阻抗和線路阻抗用一个总的阻抗[Rd]表示[11]。直流微电网的等效电路图如图3所示。

图3中：[us]为电压源电压;[Rd]为下垂阻抗和线路阻抗等效后总的阻抗;[Ld]为储能电感;[iL]为电感电流;[C]是直流母线等效电容;[uc]为直流母线电压;[R]为直接接入直流母线的电阻;[P]为等效负载功率，表达式如下：

式中：[PL]为恒功率负载的功率之和;[PS]为工作于最大功率跟踪策略下的分布式光伏输出功率之和。求解此非线性系统的渐进稳定域，关键问题是构造一个合理的李雅普诺夫函数。根据混合势函数稳定定理，可以构造李雅普诺夫函数，进而结合渐进稳定域定理求得系统的渐进稳定域。

2  稳定域估计方法

求解系统的渐进稳定域，首先给出渐进稳定域定理（考虑自治系统）：

式中：[P*（x）]是一个标量函数，设域[R={xP*（x）

因此，求解系统的渐进稳定域[R]主要包括两部分：一是构造一个合适的标量函数[P*（x）]，即李雅普诺夫函数;二是根据构造的李雅普诺夫函数求解系统的渐进稳定域。

2.1  混合势函数定义

混合势函数理论[12]适用于研究非线性电路，特别是含有负阻抗元件时系统的稳定性问题。混合势函数一般形式如下：

2.2  混合势函数稳定定理

混合势函数模型建立后，需要根据势函数特点选择合适的稳定性定理。文中由于恒功率负载的存在，需要应用混合势函数第3条稳定性定理[13?14]，具体内容表述如下。

因此，根据拉萨尔不变定理[15]，封闭集合[Ω]严格包含于非线性系统的稳定域，即[Ω?R]，因此，[Ω]即为文中求得的直流微电网系统的渐进稳定域。

3  直流微电网稳定性分析

对于图3所示的直流微电网简化电路图，为其构造混合势函数模型。其中，电压源、等效电阻和直流电阻的电流势函数为：

因此，构造的李雅普诺夫函数表达式如下：

系统在大信号下稳定条件为[μ1+μ2>0]，临界稳定时，[μ1+μ2=0]，即[μ2=-μ1=-RdLd]。临界电压[umin=PRdCLd+1R]，代入式（16）可得临界李雅谱诺夫函数如下：

当[P?i，umin]及其时间导数分别满足渐进稳定域定理时，根据式（8）可得系统的渐进稳定域为：

4  仿真验证

为了验证提出的稳定性分析方法的有效性，在Matlab/Simulink中建立如图3所示的直流微电网仿真模型，系统参数设置如表1所示。

4.1  系统稳定域

当[P=]100 kW时，系统的平衡点[（uo，io）]为（533.6， 214.1）。根据式（16）建立的临界李雅普诺夫函数[P*（i，umin）]的三维图像及其等高图如图4所示。从图4中可以看出，在平衡点附近李雅普诺夫函数正定，并把平衡点代入时间导数表达式（18）可得满足条件，因此，满足渐进稳定域定理中标量函数的要求。

结合图4和拉萨尔不变定理可得，当[P=]100 kW时，估计的渐进稳定域如图5所示。

4.2  稳定域仿真验证

为了验证求得的渐进稳定域的正确性，对稳定域边界上某点的电容电压和电感电流进行仿真，此时仿真波形图如图6所示。

从图6中可以看出，经过一段时间后，电容电压和电感电流都趋于系统的平衡点。这表明直流微电网系统的稳定域包含本文提出的稳定性分析工具得到的稳定域。

大信号法在系统发生较大干扰时仍适用，为了验证这一结论，当[t=]0.05 s时，电源电压由540 V变为480 V，其余参数不变，电容电压和电感电流的仿真波形图如图7所示。从图7中可以看出，电源电压发生较大波动时，电容电压和电感电流经过一段时间后可以重新收敛于新的系统平衡点，系统可以恢复稳定。

4.3  功率对稳定域影响

根据李雅普诺夫函数，不仅可以求得稳定域的大小，并且可以分析系统参数对稳定域大小的影响，与传统方法相比，不需要求解微分方程的解，不同功率下系统的稳定域大小如图8所示。

从图8中可以看出，恒功率负载的功率越大，系统的稳定域越小，当[P>]190 kW时，系统的稳定域逐渐减小，趋向于0。

5  结  论

本文从大信号的角度出发，讨论了直流微电网孤岛运行模式下系统的渐进稳定域问题，得出以下结论：

1） 根据选择的混合势函数稳定性定理构造系统的李雅普诺夫函数，并结合渐进稳定域定理和拉萨尔不变定理求得系统的渐进稳定域。

2） 通过仿真验证了所求渐进稳定域的有效性，并且从仿真结果图中可以看出，基于混合势函数稳定定理的分析方法比较简单、准确，适用于系统发生较大干扰时。

3） 通过求得的不同功率等级下系统渐进稳定域的大小，可以直观地看出恒功率负载功率的大小对系统渐进稳定域的影响。恒功率负载的功率越大，系统的渐进稳定域越小，母线电压越容易产生振荡。

参考文献

[1] 杨新法，苏剑，吕志鹏，等.微电网技术综述[J].中国电机工程学报，2014，34（1）：57?70.

[2] 周孝信，鲁宗相，刘应梅，等.中国未来电网的发展模式和关键技术[J].中國电机工程学报，2014，34（29）：4999?5008.

[3] 支娜，张辉，肖曦，等.分布式控制的直流微电网系统级稳定性分析[J].中国电机工程学报，2016，36（2）：368?378.

[4] 王成山，李微，王议锋，等.直流微电网母线电压波动分类及抑制方法综述[J].中国电机工程学报，2017，37（1）：84?97.

[5] EMADI A， KHALIGH A， RIVETTA C H， et al. Constant power loads and negative impedance instability in automotive systems： definition， modeling， stability， and control of power electronic converters and motor drives [J]. IEEE transactions on vehicular technology， 2006， 55（4）： 1112?1125.

[6] LIU Jianzhe， ZHANG Wei， RIZZONI G. Robust stability ana?lysis of DC microgrids with constant power loads [J]. IEEE transactions on power systems， 2018， 33（1）： 851?860.

[7] SMITH K， GALLOWAY S， BURT G M. A review of design criteria for low voltage DC distribution stability [C]// 51st International Universities Power Engineering Conference （UPEC）. [S.l.： s.n.]， 2016： 1?6.

[8] AMIN M， MOLINAS M. Small?signal stability assessment of power electronics?based power systems： a discussion of impe?dance? and eigenvalue?based methods [J]. IEEE transactions on industry applications， 2017， 53（5）： 5014?5030.

[9] 郭力，冯怿彬，李霞林，等.直流微电网稳定性分析及阻尼控制方法研究[J].中国电机工程学报，2016，36（4）：927?936.

[10] MAHMOUD K， PRITPAL S， DAGMAR N. Large signal Lyapunov?based stability studies in microgrids： a review [J]. IEEE transactions on smart grid， 2017， 8（5）： 2287?2295.

[11] TAHIM A P N， PAGANO D J， BENZ E， et al. Modeling and stability analysis of islanded DC microgrids under droop control [J]. IEEE transactions on power electronics， 2015， 30（8）： 4597?4607.

[12] BRAYTON R K， MOSER J K. A theory of nonlinear networks part I [J]. Quarterly of applied mathematics， 1964， 12（1）： 1?33.

[13] JELTSEMA D， SCHERPEN J M A. On Brayton and Moser′s missing stability theorem [J]. IEEE transactions on circuits and systems Ⅱ： express briefs， 2005， 52（9）： 550?552.

[14] 车延博，徐建梅，刘校坤.电力电子化机载电力系统稳定性分析[J].电力自动化设备，2018，38（6）：152?156.

[15] GRIFFIO A， WANG Jiabin. Large signal stability analysis of ′more electric′ aircraft power systems with constant power loads [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2011， 47（4）： 2574?2589.