建立方程模型 加强应用意识

文 康叶红

生活离不开数学，数学离不开生活，数学知识源于生活而最终服务于生活。一元二次方程是揭示现实社会数量关系的一个重要数学模型。用一元二次方程解决实际问题时，通常要经历以下过程：从实际问题中抽象出数学数量关系，列出一元二次方程求出它的根，进而解决实际问题。具体如下图：

在现实生活中，许多问题中的数量关系都可以抽象为一元二次方程。用一元二次方程解决实际问题的常见题型有：图形的面积问题、平均变化率（增长或下降）问题、销售问题等。下面我们结合例题，一起来看一下如何用一元二次方程解决实际问题。

问题1 图形的面积问题

例1（2020·江苏南京秦淮一模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名。它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”。下图中的手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm。若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值。

【分析】问题中出现的图形是矩形，其数量关系是：矩形的面积=长×宽。正确审题，弄清题意，体会“算两次”的数学方法，理性思考即可。

解：根据题意，得（1000-4x-200）·（40-2x）=15200。

解这个方程，得x1=210（不合题意，舍去），x2=10。

所以x的值为10。

【总结】用一元二次方程解决实际问题的一般过程为：审、找、设、列、解、验、答。其关键是找出实际问题中数量之间的相等关系，列出方程。一般地，当我们经历以上过程，便能更进一步体会建立数学模型的思想，积累数学活动的经验，增强数学的应用意识。

问题2 平均变化率（增长或下降）问题

例2（2020·上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%。

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8月份、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等。求该商店去年8月份、9月份营业额的月增长率。

【分析】平均变化率问题（以增长为例）中常用的数量关系是：变化前的量+增长的量=增长后的量，增长的量=变化前的量×增长率。我们将这两个数量关系合起来可表示为：变化前的量×（1+平均增长率）=增长后的量。

第（2）问中，如果设平均增长率为x，则可用表格表示为：

解：（1）450+450×12%=504（万元）。

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额是504万元。

（2）设该商店去年8月份、9月份营业额的月增长率是x。

根据题意，得350×（1+x）2=504。

解这个方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）。

答：该商店去年8月份、9月份营业额的月增长率是20%。

【总结】平均变化率问题的关键是理解平均变化率和变化量的区别，如果设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过n次变化后的数量关系可表示为a×（1±x）n=b。

问题3 销售问题

例3（2020·江苏南京建邺一模）某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件。为了增加盈利，商场采取涨价措施。若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？

【分析】这个问题中的数量关系较多，如涨价前每件衬衫的利润×涨价前每月的销售量=涨价前总利润，即（40-30）×600=6000，涨价后每件衬衫的利润×涨价后每月的销售量=涨价后总利润，涨价后每件衬衫的售价-每件衬衫的进价=涨价后每件衬衫的利润，涨价前每月的销售量-10×涨价数=涨价后每月的销售量等。我们可以借助列表的形式分析其中的数量关系，设这种衬衫每件的价格应定为x元，则可表示如下表。

解：设这种衬衫每件的价格应定为x元。

根据题意，得（x-30）［600-（x-40）×10］=10000。

解这个方程，得x1=50，x2=80。

答：这种衬衫每件的价格应定为50元或80元。

【总结】在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，可以借助于适当的数学直观工具（如表格、线形示意图等），找出问题中的已知量、未知量，分析数量之间的相等关系，建立数学模型，解决实际问题。此外，还需要根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。其具体过程是：

总之，利用一元二次方程解决实际问题，需要对题目中的关键语句进行分析，运用各种策略，确定等量关系，建立方程模型，问题便能迎刃而解。