例谈中考题中的变化率问题

文 曹 丹

建立一元二次方程模型可以解决日常生活和社会实践中的许多问题，求变化率问题是一元二次方程的主要应用。下面，我们结合中考真题，谈谈变化率问题的解题策略。

例1（2019·黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）。

A.20% B.40% C.18% D.36%

【解析】本题是典型的平均降低率问题，可通过列表的方法来构建出问题变化的本质。设平均每次降价的百分率为x。

则25（1-x）2=16，解这个方程，得x1=20%，x2=180%（不符合题意，舍去），选A。

【点评】增长（降低）率问题的一般规律是：假设起始数为a，每次增长（降低）率为x，n为增长（降低）的次数，则一次变化后的数据是a×（1±x），2次变化后的数据是a×（1±x）2，n次变化后的数据是a×（1±x）n。设终端数为b，则我们得到一个模型：a×（1±x）n=b，那么对于平均增长（降低）率问题，应用模型可直接列方程解决。

例2（2019·湖南长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导。某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导。据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次。

（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率。

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【解析】（1）设这个增长率为x，则2×（1+x）2=2.42，

解这个方程，得x1=10%，x2=-210%（不符合题意，舍去）。

答：增长率是10%。

（2）2.42×（1+10%）=2.662（万人次）。

答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次。

【点评】问题（1）是一个标准的平均增长率问题，解决此类问题的关键是要弄清楚增长（降低）的含义是什么，问题的起始数是什么，经过几次变化后的终端数是什么。这几个问题弄清楚了，利用平均增长率模型：a×（1±x）n=b，就可以很快解决问题。问题（2）要求出第四批人数，第一问已经将平均增长率求出来了，此题就是个纯计算问题了。

例3（2019·四川达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元。设该公司5月、6月这两个月的营业额的月平均增长率为x。根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）。

A．2500（1+x）2=9100

B．2500（1+x%）2=9100

C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9100

D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100

【解析】由题设可得5月营业额为2500（1+x）万元，6月营业额为2500（1＋x）2万元，具体如下表：

第二季度包括4月、5月和6月，故第二季度的总营业额为［2500+2500（1+x）+2500（1+x）2］万元，所以可列方程为2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100。选D。

【点评】本题不能错误地将方程列为2500（1+x）2=9100。这里的9100是第二季度的总营业额，也就是4、5、6三个月的总营业额，并非“终端数”。“终端数”是指某一个数量经过一次或多次变化后的数量，而不是变化后几个数量的和，这个我们一定要分清楚。

例4（2020·重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个小麦品种进行种植对比实验研究。去年A、B两个品种各种植了10亩。收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg。A、B两个品种全部售出后，总收入为21600元。

（1）请求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少。

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A、B种植亩数不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%。由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变。A、B两个品种全部售出后，总收入将在去年的基础上增加%，求a的值。

【解析】（1）设A品种去年平均亩产量为xkg，则B品种去年平均亩产量为（100+x）kg。

由 题 意，得10×（x+100+x）×2.4=21600。

解这个方程，得x=400，则100+x=500。

答：A品种去年平均亩产量为400kg，B品种去年平均亩产量为500kg。

（2）此题涉及A、B两个品种平均亩产量与B品种的单价、总收入这四个数量的变化，这是与上述几个例题的不同之处（上述几例只涉及一个数量的两次变化）。此题A、B两个品种平均亩产量这两个数量只经过一次变化，B品种单价与总收入这两个数量也只经过一次变化，我们可以将这四个数量的变化关系通过表格的形式表示出来。

根据总收入=A品种收入+B品种收入，即总收入=A品种单价×A品种平均亩产量×A品种亩数+B品种单价×B品种平均亩产量×B品种亩数，可列出方程：

解这个方程，得t1=0（不符合题意，舍去），t2=0.1。

故a=10。

【点评】此题以民生为背景考查增长率，具有实际意义。此题中四个数量各经过一次变化，而这几个数量内部之间存在一定的制约关系（总收入=A品种收入+B品种收入），那么我们就可以根据这种制约关系来列方程求解。题目中把平均增长率问题和几个数量中每一个数量经过各一次增长的问题进行综合，更考验大家对数据的处理能力。

解这类问题，还要注意两点：一是设增长率（降低率）为x，而不设为x%，这样能简化计算，所以例4解答过程中令a%=t；二是要根据题目的实际意义检验结果的合理性。