MIMO多向中继信道在完整数据交换模型下的自由度*

李勇，袁晓军

(1 中国科学院上海微系统与信息技术研究所, 上海 200050； 2 上海科技大学信息学院，上海 201210；3 中国科学院大学，北京 101408； 4 电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室，成都 611731)

多向中继信道模型(multiway relay channel, mRC)[1-2]主要有以下两种数据交换模型：成对的数据交换模型，即两个用户相互交换信息；完整的数据交换模型，即一个用户将相同的信息广播给多个用户。此模型在实际应用中普遍存在。例如，社交网络中，多个小组的用户希望在同组中共享文件。由于网络中每个节点配置有多根天线，多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)mRC可以极大地提高复用增益。但是由于中继信道的信道容量难以刻画[3]，所以很多工作集中在模型自由度(degree of freedom, DoF)的分析上，即高信噪比下的性能特点。简单说，网络的DoF是网络中可以支持的独立数据流数目[4]。

目前，国内外学者对于mRC的DoF分析已经有了一些结果，但是大多数研究集中在成对的数据交换模型[5-9]中，尤其是基于成对数据交换模型的一种特殊模型，Y-信道模型[10-11]。并且由于成对数据交换模型上行和下行链路是对称的，所以大多数工作集中在全双工通信模型。相比来说，对于完整数据交换模型的分析相对较少，并且由于完整数据交换模型上行和下行链路是非对称的，分析半双工通信下系统可达的DoF也非常重要。文献[12]给出全双工通信下有多个用户集群的完整数据交换模型一个可达的DoF。对于有多个用户集群，每个用户集群中有多个用户的信道模型，通过设计信号对齐，给出此模型一个一般化的结果。文献[13]分析半双工通信下有一个用户集群，用户集群中有多个用户的完整数据交换模型的DoF。此模型中，对于每一个用户来说，没有来自于其他用户集群的干扰信号。作者推出此模型在半双工通信下的DoF容量，即验证了此模型的割集上界是可达的。并且当上行和下行时隙相等时，作者将半双工通信的结果推广到全双工通信。由于有多个用户集群的完整数据交换模型比较复杂，直接分析其DoF比较困难，文献[14]结合优化算法[15]推出一个优化的结果。但是此算法仅对全双工通信有效，对于半双工通信下的DoF仍然未知。

本文研究半双工通信下两个用户集群，每个用户集群中多个用户的MIMO mRC在完整数据交换模型下可达的DoF。同时对于全双工通信，假设每个结点可以进行自干扰消除。所以当上行和下行时隙相等时，半双工通信的结果可以推广到全双工通信，即此时全双工通信的结果是半双工通信的2倍。将半双工通信下上行和下行时隙相等的结果推广到全双工通信，并且验证该信号对齐方案可以达到全双工通信目前最优的结果。

1 系统模型

1.1 信道模型

图1 两个用户集群，每个集群中K个用户的MIMO mRC 模型 Fig. 1 The MIMO mRC with two clusters each of which contains K users

考虑物理层网络编码[16]，整个数据交换包含两个传输链路，即上行链路和下行链路。上行链路所有用户将信号发送给中继,下行链路中继将信号广播给所有用户。假设上行和下行链路分别包含Tu和Td个时隙，则在第t个时隙，信道模型可以表示为

(1)

(2)

由于上行和下行链路分别包含Tu和Td个时隙，上述信道模型简化为

(3)

(4)

Hjk=diag{Hjk(1),…,Hjk(Tu)}

1.2 用户端和中继端的预处理

假设用户Γjk发送信号Wjk给同一集群j中其他所有用户，并且希望收到来自集群j中其他所有用户发送的信号Wjk′，其中k′∈IK(〗k}，本文中符号AB表示从集合A中排除集合B。

(5)

接下来考虑中继端的处理。为了描述方便，引入以下符号：

Mj=[Hj1Uj1,…,HjKUjK],j∈IL，

(6a)

(6b)

M=[M1,M2]，

(6c)

(6d)

PjyR=PjMjx′j+PjzR，

(7)

其中x′j=[x′j1,…,x′jK]T。式中，通过投影，集群j′≠j中的信号被去除了。

因此，中继端发送的信号为

(8)

式中：α为中继端满足功率限制的缩放因子。

最终，用户Γjk收到的信号为

(9a)

(9b)

1.3 自由度

由于MIMO mRC的香农容量很难刻画，因此本文主要分析网络的DoF。简单来说，网络的DoF是网络中可以支持的独立信息流数目。

(10)

式中：Cjk(P)单位是bit，log表示对数以2为底，同时，定义每个用户可达到的DoF为

(11)

式中：duser表示用户收到的独立的数据流数目。

注意：考虑全双工通信时，此信道模型的一个割集上界[12]为dsum≤min(KLM,KN)，即平均每个用户收到的DoF为

(12)

2 问题讨论

2.1 初期讨论

分别对上行和下行链路进行分析。

结合以上对上行和下行链路的分析，如果设计上行预处理矩阵Ujk和下行接收处理矩阵Vjk满足

rank(PjMj)≥(K-1)duTu，

(13a)

(13b)

则用户Γjk的自由度取决于上行链路集群j中其他所有用户发送的数据流数目(K-1)duTu和下行链路它能接收到的数据流数目ddTd，即每个用户可达的DoF为

(13c)

为描述方便，后文分别称du和dd为上行和下行链路每个用户可达的DoF。

由于我们的信号对齐方案不考虑多个时隙之间的信号对齐，所以接下来考虑单个时隙下(此时Tu=Td=1)如何设计信号对齐，使得du和dd最大。

2.2 相关引理和定义

对上行和下行链路设计信号对齐时，均使用了天线禁用技术和角点的概念[12]。接下来以上行链路为例对天线禁用技术进行介绍，并且对角点进行定义。

引理1(天线禁用技术)对于所考虑的MIMO mRC，假设上行链路du=Nf(M/N)在一个固定的天线配置 (M=M0,N=N0)时，du=d0可达。那么通过在用户端禁用M-M0根天线，(x=M/N0,y=du)在线段x∈[M0/N0,∞)，y=d0上的每个点可达；通过在中继端禁用N0-(MN0/M0)根天线，(x=M/N0,y=du)在线段x∈(0,M0/N0],y=(d0N0/M0)x上的每个点可达。

通过天线禁用技术，只需要给出可达DoF曲线中特定的点，即可得到整个可达DoF曲线。接下来，称这些特定点为角点，并给出以下定义。

定义1(角点)已知上行链路一个可达的DoF曲线du=Nf(M/N)，固定中继端天线N=N0。对于可达DoF曲线中某一点(M0/N0,d0)， 如果当M>M0时，(M/M0,d0M/M0)不可达；并且当M

以上对天线禁用技术的描述和角点的定义同样适用于下行链路。接下来，只需找到上行和下行链路所有的角点，并且结合天线禁用技术，即可得上行和下行链路的可达DoF，即du和dd。为描述方便，定义g函数

(14)

式中a和b是常系数。

3 信号对齐

3.1 上行链路信号对齐

上行链路设计信号对齐满足单个时隙下rank(PjMj)≥(K-1)du。接下来，给出候选角点(M/N,du)，并结合候选角点给出相应的可达DoF。

引理2对于两个用户集群，每个集群K个用户的M×NMIMO mRC，当数据交换模型为完整数据交换模型时，对于上行链路以下候选角点(M/N,du)是可达的：

(15a)

(15b)

定义集合I包含式(15)中所有候选角点(M/N,du)，则上行链路每个用户可达的一个DoF为

(16)

证明已知候选角点，根据天线禁用技术，可以得到式(16)。接下来设计信号对齐证明角点(U1)和(U2)满足rank(PjMj)≥(K-1)du。

(17)

(18)

3.2 下行链路信号对齐

引理3 对于两个用户集群，每个集群K个用户的M×NMIMO mRC，当数据交换模型为完整数据交换模型时，下行链路以下候选角点(M/N,dd)是可达的：

(19a)

(19b)

(19c)

定义集合J包含(19)中所有候选角点(M/N,dd)，则下行链路每个用户可达的一个DoF为

(20)

证明已知候选角点，根据天线禁用技术，可以得到式(20)。接下来我们设计信号对齐证明角点(D1), (D2)和(D3)满足rank(WjGjkVjk)≥dd。

(21)

(22)

因此，span(Gj1Vj1,…,GjKVjK)=span(Gj1Vj1,…,GjkVjk)，并且以概率1是kN/(k+1)维度。此时，每个用户接收dd=N/(k+1)个独立数据流，经过信号对齐，在中继端一个集群接收的KN/(k+1)个数据流压缩到kN/(k+1)个空间维度。所以中继端发送给另一个集群的无干扰信号维度为N-kN/(k+1)=dd。即rank(WjGjkVjk)=N-kN/(k+1)=dd。

证毕。

4 主要结果

引理2和引理3分别给出两个用户集群，每个集群K个用户的MIMO mRC完整数据交换模型上行链路的候选角点(M/N,du)∈I和下行链路的候选角点(M/N,dd)∈J。并根据候选角点给出相应的可达DoF。 接下来，结合引理2和引理3，给出此模型一个可达的DoF。

考虑全双工通信，假设每个结点都可以进行自干扰消除，则以上对半双工通信的分析经过调整可以应用于全双工通信。全双工通信和半双工通信主要的区别在于，对于全双工通信，每个结点同时发送和接收信号，因此上行和下行链路总是占用相同的时隙，即Tu=Td=T。由于引理2和引理3均考虑单个时隙下的信号对齐，由此，令Tu=Td=T，很容易推出此模型全双工通信下一个可达的DoF。

定理1对于两个用户集群，每个集群K个用户的M×NMIMO mRC，当考虑完整数据交换模型，并且考虑全双工通信时，每个用户可达到的一个DoF为

(23)

令定理1中K=3和K=4，给出以下结论。

推论1对于L=2，K=3的M×NMIMO mRC，当考虑完整数据交换模型，并且考虑全双工通信时，每个用户可达的一个DoF为

(24)

证明当K=3时，下行链路存在以下候选角点(M/N,dd)：

由式(23)得到推论1。

推论2对于L=2，K=4的M×NMIMO mRC，当考虑完整数据交换模型，并且考虑全双工通信时，每个用户可达的一个DoF为

(25)

证明当K=4时，下行链路存在以下候选角点(M/N,dd)：

由式(22)得到推论2。

图2和图3分别给出L=2,K=3和L=2,K=4全双工通信下系统可达到的DoF。对于L=2,K=3，将全双工通信下的割集上界以及文献[12]，[14]的结果加入进去比较。由于得到2个更优的角点(1/4，N/4)和(3/5，2N/5)，我们的结果在这2个角点附近优于文献[12]中的结果。同时，此结果和文献[14]使用算法优化得到的结果相同。而且这也是目前为止此模型最优的可达DoF。对于L=2,K=4将全双工通信下的割集上界以及文献[12]的结果加入进去比较。此时，得到3个更优的角点(1/5，N/5)，(4/11,3N/11)和(5/9，N/3)，所以在这几个角点附近我们的结果优于文献[12]中的结果。

图2 全双工通信L=2,K=3模型可达到的DoFFig. 2 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=3 in full duplex model

图3 全双工通信L=2,K=4模型可达到的DoFFig. 3 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=4 in full duplex model

注意：考虑全双工通信时，由于网络的瓶颈是下行链路，所以文献[12]中作者考虑上行和下行链路对称设计是足够的,同时，作者假设每个用户发送一个独立的数据流，则将一个集群的信号尽可能压缩到一维。这和我们下行链路设计信号对齐的要求(13b)是类似的。但是我们在设计下行链路信号对齐时考虑了更多的信号对齐模式，所以得到了更优化的结果。

通过定理1进一步验证了对于完整数据交换模型，下行链路是网络的瓶颈。所以对于半双工通信，通过优化上行和下行链路的时隙可以使系统的DoF进一步提高。

定理2对于两个用户集群，每个集群K个用户的M×NMIMO mRC，当考虑完整数据交换模型，并且考虑半双工通信时，优化上行和下行链路的时隙分配为

(26a)

此时每个用户可达的一个DoF为

(26b)

其中，集合I和集合J分别包含式(15)和式(19)中的角点，g函数定义在式(14)中。

令定理2中K=3，得到以下结果。

推论3对于L=2，K=3的M×NMIMO mRC，当考虑完整数据交换模型，并且考虑半双工通信时，优化上行/下行链路的时隙分配为

(27a)

此时每个用户可达的一个DoF为

(27b)

证明当K=3时，上行链路存在以下候选角点(M/N,du)：

(28)

结合推论1下行链路可达的DoF以及定理2,得到推论3。证毕。

注意：根据2.1节的讨论，当上行链路设计信号对齐满足rank(PjMj)≥(K-1)duTu。下行链路采用文献[12]的结果，通过优化上行和下行链路的时隙分配，可以得到L≥2 个用户集群，每个用户集群中K≥3个用户的MIMO mRC模型在半双工通信下可达的一个DoF。但是由于文献[12]中下行链路设计信号对齐的方式并不是最优的，所以最终得到的半双工通信下的结果并非最优。

图4给出半双工通信下L=2,K=3模型可达到的DoF。对于半双工通信，当不考虑上行和下行链路时隙优化分配时，系统可达的DoF是全双工通信的一半，很容易得到半双工通信下两个可达的DoF，即定理1中duser的1/2 以及文献[12]结果的1/2。在图4中将此不考虑时隙分配的结果加入进行比较。同时，如前所述，结合2.1节的讨论，文献[12]的结果经过上行和下行时隙优化分配，很容易推广到半双工通信。对于L=2,K=3，当上行链路设计信号对齐得到式(28)，下行链路采用文献[12]中的信号对齐方式时，可以推出半双工通信下经过上行/下行时隙优化后一个可达的DoF。将此结果加入图4进行比较。结果发现当M/N<5/6时，进行时隙优化分配后的结果明显优于不进行时隙分配的结果。同时，由于下行链路考虑了2个更优的角点(1/4，N/4)和(3/5，2N/5)，在这2个角点附近可得到更优化的DoF。

图4 半双工通信L=2,K=3模型可达到的DoFFig. 4 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=3 in half duplex model

注意：半双工通信时，上行和下行链路信号对齐非对称设计使得系统DoF进一步提高。这是因为对于一次完整的数据交换，上行链路中继端需要解出一个集群所有用户发送的信号，对应于式(13a)，下行链路中继端为每个集群中的所有用户发送相同的信号，对应于式(13b)。很明显，上行链路的信号对齐要求相比下行链路降低了，这是因为如果上行链路一个集群的信息在中继端压缩得过于严重时，需要消耗多余的时隙将压缩的信息解出来。

5 总结

由于L个用户集群，每个集群K个用户的MIMO mRC的完整数据交换模型较为复杂，目前此模型全双工通信和半双工通信下的信道容量是未知的。本文主要对两个集群，每个集群K个用户的MIMO mRC的完整数据交换模型进行分析。由于数据交换模型的特殊性，上行和下行链路的信号对齐是不对称的，所以对上行链路和下行链路分别设计信号对齐，得到相应的角点，并根据角点给出每个用户上行链路可以发送的独立数据流数目du和下行链路可以接收的独立数据流数目dd。对于全双工通信，假设每个结点可以进行自干扰消除，通过令Tu=Td=T，推出此模型在全双工通信下的结果。同时，由于下行链路是网络的瓶颈，通过上行和下行链路非对称设计，并且优化上行/下行链路时隙分配，得到半双工通信下一个优化的DoF。

通过给出全双工通信下L=2,K=3和L=2,K=4的可达DoF，验证了我们的结果优于目前已知的结果[12]，并和通过算法优化得到的结果[14]相同。同时通过优化上行/下行链路时隙分配Tu/Td，半双工通信下的L=2,K=3系统的DoF进一步得到提高。本文分析对于更一般的完整数据交换模型(L>2)在全双工通信和半双工通信下的DoF分析有参考价值。