求平面法向量的策略

汪朝宽

【摘 要】本文阐明方程组法和截距法两种法向量的求法，以例讲解求平面法向量的三种策略，说明具体的解法，提出求法向量的五个要点。

【关键词】空间向量 法向量 方程组法 截距法

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）05B-0119-02

在高考中，立体几何的考查往往是两个小题和一个大题，共 22 分，而且大题都是属于中低档题目，考生务必拿到满分。其中，理科的大题一般第一问是证明线线关系或者线面关系，第二问是求线面角或者二面角。从近几年的高考题来看，考查的方向都是要求学生利用空间向量来解答第二问。而在求平面法向量当中，不少考生解法不对，导致该题拿不到满分。下面谈一谈求平面法向量的策略，这个策略既快速又不容易错，值得借鉴。

一、法向量的求法

（一）方程组法

利用法向量与平面垂直的判定定理，在平面内任取两个不共线向量。由于法向量与它们垂直，可构造一個三元一次方程组。

（二）截距法

若该平面在 x，y，z 轴的截距分别为 a，b，c（abc≠0），则法向量为 （在高考解答中不能直接用）。证明如下：

〖证明〗如图 1，A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c），则 =（-a，b，0），=（0，-b，c）

设平面 ABC 的法向量为 =（x，y，z），则

，取，则。

二、举例分析

〖例 1〗（2017 年全国Ⅰ卷理科 18）如图 2，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。

（Ⅰ）证明：平面 PAB⊥平面 PAD;

（Ⅱ）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖解〗（Ⅰ）略

（Ⅱ）取 AD 中点为 O，BC 中点为 E，连接 PO，EO，如图 3 所示。

∵ AB∥CD，且 AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形

∴  AB∥OE，且 AB=OE

由（Ⅰ）知 AB⊥平面 PAD，知 OE⊥平面 PAD，OE⊥AD，OE⊥PO;

又∵ PA=PD

∴ PO⊥AD

即 OA，OE，OP 两两垂直。

以 OA，OE，OP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz，设 PA=2，则

设平面 PAB 的法向量为 =（x，y，z），则

（说明：选择 ，能使方程组容易计算。策略 1：列方程组时尽量选择与坐标轴平行或者在坐标面内的向量，这种向量的坐标有 0，方程组好解。也可以列好方程后不解，用截距法来求该法向量，然后直接写上去，平面 PAB 在 x 轴和 z 轴上的截距为  和 ，与 y 轴平行，截距为 +∞，所以法向量为 ，可取 。策略 2：列方程组求法向量时，可以列好方程后，利用截距法来求法向量，确保不会错）

同理可得平面 PBC 的法向量为 。

（说明：第二个平面的法向量可以写“同理可得”，用截距法来求，平面 PBC 在 y 轴和 z 轴上的截距为 2 和 ，与 x 轴平行，截距为 +∞，所以法向量为 ，可取 ，让向量的坐标为整数，确保两个法向量一进一出。策略 3：第二个平面的法向量可以写“同理可得”，用截距法来求）

设二面角 A-PB-C 的大小为 θ，则

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 。

〖例 2〗（2017 年全国Ⅲ卷理科 19）如图 4，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD。

（Ⅰ）证明：平面 ACD⊥平面 ABC;

（Ⅱ）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值。

〖解〗（Ⅰ）略

（Ⅱ）由题知 VD-ACE=VB-ACE，所以 D 到平面 ACE 的距离与 B 到平面 ACE 的距离相等，故 E 是 BD 的中点。

由（Ⅰ）知 OA，OC，OD 两两垂直，以 OA，OB，OD 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz。

设 ，则

设平面 ACE 的法向量为  =（x，y，z），则

（说明：列方程组可选择 ，但是  不在坐标面内，向量的坐标没有 0，而  在平面 yOz 面内，所以选择向量时不一定选择这三点连线的边界。平面 ACE 经过原点，在 x，y，z 轴上的截距有 0，0 的倒数不存在，所以平面 ACE 的法向量不能用截距法来求。策略 4：经过原点的平面只能用方程组来求法向量，不能用截距法来求）

同理可得平面 ADE 的法向量为 。

（说明：平面 ADE 的法向量就是平面 ADB 的法向量，在 x，y，z 轴上的截距分别为 ，所以法向量为 ，可取 ，让向量的坐标为整数，确保两个法向量一进一出）

设二面角 D-AE-C 的大小为 θ，则

三、求法向量的五个要点

1.列方程组时尽量选择与坐标轴平行或者在坐标面内的向量，这种向量的坐标有 0，方程组好解;

2.法向量的坐标取整数，方便计算;

3.列方程组求法向量时，可以列好方程后，利用截距法来求法向量，确保不会错;

4.第二个平面的法向量可以写“同理可得”，用截距法来求;

5.如果一个平面过原点，那么该平面的法向量用方程组来求，另一个用截距法求。

（责编 卢建龙）