数形结合思想在高巾数学解题教学巾的应用

郭志高

数和形是高中数学中的两个基本的研究对象，数主要是指数量关系，形则是指几何图形.数与形之间并不是毫无联系，而是密不可分的.在教学中，教师可以指导学生根据实数与数轴上的点的对应关系、函数与图象的对应关系、曲线与方程的对应关系等，实现数与形之间的相互转化，运用数形结合思想来辅助解题.运用数形结合思想有两种情形，第一种情形是以“形”变“数”，借助形的几何直观性来呈现数之间的某种关系;第二种情形是以“数”化“形”，借助数的精确性来表示形的某些属性、特征。

一、以“形”变“数”

在解答几何问题时，学生仅依靠单纯的图形分析会有一定的局限性，这时，教师要引导学生运用数形结合思想，以“形”变“数”来辅助解题.首先，仔细观察图形的特点，联系相关几何元素、几何条件的背景，运用向量或者图形的边、角关系将题中的图形用代数式表示出来，再利用相应的公式或定理等解答。

在解答本题时，教师要指导学生通过建立直角坐标系，将几何问题转化为平面向量问题来求解，首先把所求的模用某个变量的向量表示出来，把向量的模的运算转化为数量积运算，再根据动点的位置来求得结果。

二、以“数”化“形”

在解答代数问题时，教师可以指导学生深入挖掘所给代数式的几何意义，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.在解题教学中，教师首先要让学生明确代数式的几何意义，然后指导他们作出或构造出与之相适应的图形，如数轴、veen图、图象、曲线等，最后利用图形的性质、几何意义等解答问题。

例2。有50名学生，每个人至少参加了一个课外学习小组，参加数理化活动小组的人数分别为28人、25人和15人，同时参加数学和物理小組的人数有8人，同时参加数学和化学的6人，同时参加化学和物理的有9人，请问同时参加数理化的有几人？

由于题目中各学习小组交叉的人数太多，所以学生无法理清参加各个学习小组的人数关系，因此，在进行解题教学时，教师要引导学生利用数形结合思想来辅助解题，首先用veen图表示参加各个学习小组的人数关系，然后建立关系式，便能使问题顺利获解.运用以“数”化“形”方法解题较为方便、直观，大大提升了解题的效率。

由此可见，运用数和形结合方法要遵循两个原则——双向性和等价性.因此，在解题教学中，教师要指导学生根据题意构建数量关系与几何图形之间的等价关系，进行数与形的互化，以提升解题的效率。

（作者单位：安徽省无为第二中学）