关于一道数学题的拓展思考

王淳 郝俊奎

一、问题背景

在北京市海淀区2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题中有这样一道题：如图，棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转θ（θ>0），若旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是;三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所形成的几何体的体积为.

这道题的解决并不算难，只要利用旋转体的性质和正方体的性质就可以得出旋转后所得的几何体为圆锥，底面半径为2，高度为，θ的最小值是，几何体的体积为。

二、问题提出

虽说上面的题目解决起来并不算难，但是如果将该试题研究的这个几何体拓展到研究整个正方体旋转后得到的几何体而言那就是另一回事了。

所以将这个问题更一般化：对于一个棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转一周后所形成的几何体是什么？

三、问题分析

由于所要研究的体是一种旋转体，对于旋转体而言，可以看成由许多的圆“摞”在一起，所以如果要研究它的形状不妨从它旋转的各部分的半径入手去研究所形成的体的特点。

对于正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转这一问题而言，可以先将正方体的12条棱分成两类：第一类是线段D1A1、D1C1、D1D、BB1、BC、BA，这一类线段分出的原因是：①这六条线段的一个端点与线段BD1的一个端点重合②线段的另外一个端点到线段BD1的最远距离为③这六条线段与线段BD1的夹角都为，所以这六条线段可以看成是“等效”的;第二类是线段B1A1、A1A、AD、DC、CC1、C1B1，這一类线段分出的原因是①这六条线段与线段BD1距离为②这六条线段的端点到线段BD1的距离都是③与线段BD1的夹角都为，所以这六条线段对于体对角线BD1而言在位置上是相同的。进而可知这六条线段对于中间部分几何体的形成是“等效”的，所以为了研究这个问题的方便，我们就来研究一下线段B1A1的旋转特点。

通过分析题干不难得出三棱锥D1-A1C1D和三棱锥B-ACB1绕体对角线BD1旋转后形成圆锥，高度均为，由于，所以由线段B1A1旋转所形成的几何体的高度为。

所以通过上述分析，如果寻找到了圆的半径和每一个半径所对应的竖直高度之间所蕴含的联系就可以判断出由线段B1A1旋转所形成的几何体到底是一个什么样的几何体了，也就解决了这个问题。

由此易得线段A1B1绕体对角线BD1旋转后所得的面为双曲面。

五、方法评析

法一主要是利用了平行投影中的平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等的这个性质，利用平行投影把形成中间部分的半径平移到同一个面上，再利用旋转将半径旋转到同一条直线上，利用一个中间量去建立这两个量之间的“桥梁”。

法二主要是利用空间直角坐标系，利用半径与体对角线垂直这一隐含条件，将用坐标表示出来，直接去寻找的关系，再利用旋转去解决问题。

作者简介：王淳（2002.02）男，籍贯：北京市，北京市海淀区教师进修学校附属实验学校