中国数学的起源与早期成就

中国数学的起源与早期发展

一、数学的起源

数概念的产生是人类认识史上的一次飞跃，它标志着数学的起源.从出土文物可以看到，在中国发生这种飞跃的时间不晚于7000年前.例如，这一时期河姆渡（今浙江余姚境内）遗址中的骨耜都有两个孔，许多陶器有三足，一些陶钵底上刻着四叶纹，这是形成“二、三、四”等数的概念的依据.约6000年前的西安半坡遗址中，有的陶器上有整齐排列的点，数目由一到九（如图1），这说明人们已认识了“九”.

简单几何图形的出现，是数学起源的另一标志.半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长方形、菱形等各种几何图形.圆柱形陶纺轮的烧制，表明人们有了圆柱的观念;而造型精致的空心陶球，则说明人们已掌握一些关于球的知识.这些都是萌芽状态中的几何.我们从某些陶器的图案中，可以推测菱形产生的有趣过程，它体现了由具体到抽象的认识规律（如图2）.

数的概念产生之后，原始记数法便随之出现了.《易经》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契.”三国时吴人虞翮在《易九家义》中也说：“事大，大结其绳;事小，小结其绳，结之多少，随物众寡.”这些记载表明，结绳记数是原始社会普遍使用的一种记数方法.刻划记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会.人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目，这大概就是《易经》所说的契.例如1975年在青海乐都出土的原始社会末期遗物中，有40件带有三角形小口的骨片（如图3），这些小口便是用来记数的.

中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为陶文.例如，半坡出土的陶器上就有如下数字符号：

陕西姜寨出土的陶器（约6000年前）上也有类似的数字.很明显，这些数字都属十进制系统.

二、商周数学

大约4000年前夏朝的建立，标志着中国进入了奴隶社会.随着社会的发展，商代出现了比较成熟的文字--甲骨文，西周则演变为金文，即刻在青铜器上的铭文.

1.甲骨文中的数字

商代甲骨文表明，当时已有比较完整的数字系统.从1到10的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示：

十、百、千、万的倍数多用合文，例如10的倍数

甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊.也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念.

2.记数和运算

商代数学中，十进制已相当完善了，这是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义.著名的英国科学史家李约瑟（J.Needham，1900--1995）说：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了.”

对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程.

周代记数法与商代相比，有--个明显的进步，就是出现了位值记数.如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开.这说明当时已有了位值的观念，只是应用不多，还未形成系统的制度.

3.干支纪年法

六十循环的“天干地支”记数法，是商代数学的又一个成就.这种方法主要用于历法，可称干支纪年法.天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干与地支相配，共得60个不同单位--以甲子开始，以癸亥告终.然后又是甲子，如此循环不断.中国农历至今还使用这种方法.

三、春秋战国时代的数学

春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活跃.这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大.数学园地更是生机盎然，朝气勃勃.

值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片（或木片）上，用绳子穿成册，这就是早期的书.写上字的竹片称为简，或竹简.春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的.

1.几何与逻辑

《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试.《墨经》是以墨翟（约公元前490--前405）为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题.它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色.在这一点上，它同欧几里得（Euclid，约公元前330—前275）《几何原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价.下面略举几例：

（1）“平，同高也”--两线间高相等，叫平.这实际是平行线的定义.

（2）“同长，以正相尽也”--如果两条线段重合，就叫同长.

（3）“中，同长也”--到线段两端的距离相同的点叫中（点）.

（4）“圆，一中同长也”--到一个中心距离相同的图形叫圆.

《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区.在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷;莫不容尺，无穷也.”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷;若永远达不到这种程度，叫无穷.

《墨经》中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然.大故，有之必然.”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件.”大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件.

可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了.

2.算术

春秋战国时代，“九九歌”已是家喻户晓的常识了.《管子》等書中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止.至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序，则是宋元时代的事情了.

3.对数学中“无限”的认识

有限与无限的矛盾，是数学中的一对基本矛盾.对这一问题认识的不断深化，推动着古今数学的发展.

据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一;至小无内，谓之小一”的观点.其中“大一”“小一”可理解为无穷大，无穷小.这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大;小到没有内部，称为无穷小.书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”的发挥.一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去.

同《庄子》一样，《墨经》中也讨论了分割物体的问题.但墨家反对物质的无限可分.他们认为，如果把一条线段分成前后两半（比如以左为前，以右为后），保留前半而弃去后半（如图4中OB），再弃去前半的后半（即CO），如此不断地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，就是端（A点）.如果采用前后取的办法，即第一次取线段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半……取到最后，也会出现一个不可分割的端，这个端在线段中间而不在边缘（位于CO之间），这就是《墨经》所云“前则中无为半，犹端也;前后取，则端中也”.很明显，这种思想与近代极限理论是相符的.数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似.所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想.

4.组合数学的萌芽

组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代.春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽.

《易经》是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶.“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”.每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”;每次取三个，生成八卦（如图5）;每次取六个，则生成六十四卦.四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有nr种排列法.例如，在两种卦爻中每次取3个，共有23=8种排列，这就是八卦.

德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646--1716）发明二进制后不久，见到了传教士白晋（J.Bouvet，1656--1730）从中国寄去的八卦.莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已.实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为000（坤） 001（震） 010（坎） 011（兑）

100（艮） 101（离） 110（巽） 111（乾）

莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”，这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”，并因此产生对中国古代文明的崇敬，热烈地希望到中国来.由于种种原因，他未能如愿，便托人把自己亲手制造的手摇计算机送往中国，成为中、德关系史上的一段佳话.

5.早期的数学工具--算筹与规、矩

算筹即用于计算的小竹棍（也有木质、骨质或金属材料的算筹），它是中国人创造的计算工具.春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”（《十发》），“善计者不用筹策”（《老子》），等等.1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根，长短一致，约12厘米，是为算筹之实物.

用筹进行计算称为筹算.据文献记载，筹式有纵横两种：

（图中第一行为纵式，第二行为横式）

算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，遇零则空位.筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可.筹算乘除法的步骤稍微复杂一些.二数相乘（如48×36）时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位.直到上数各位用完，中间的数便是结果.筹算除法也分三层，上层是商;中层是被除数，叫实;下层是除数，叫法.

算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替.

筹算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进行复杂的计算.它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验.另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化.

规、矩是两种测绘工具.规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形.商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现.春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图.

四、周髀算经

《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作.髀是量日影的标杆（亦称表），因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》.唐初凤选定数学教材时，取名《周髀算经》.

1.勾股定理

在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书.该书云：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，如图6.

2.等差数列

《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列.书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径.二之以增内衡径，得三衡径.次衡放（仿）此.”这相当于给出通项公式Dn=D1+（n-1）·2d，其中d为相邻两圆间的距离.

3.内插法

所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星（即金星、木星、水星、火星、土星）的行度，为制订历法服务.内插分两种--等间距内插和不等间距内插.等间距指的是自变量的间距相等.设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差 f（x+nh）-f（x+（n-1）h）（即一次差，其中n=1，2，…）为一不等于0的常数，则用一次内插法;若这些函数值之差的差（即二次差）为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推.用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系.

《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法.已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影长，推算其他节气的日影长.假定每两个节气的时间间隔相等，并以f（a），f（b）表示夏至及冬至的日影长，则有 其中f（n）是从夏至到冬至的第n个节气的日影长，Δ被称为损益数.

4.相似形与测量术

《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方.”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法.第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离.下面以第二句为例说明测量方法：設AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图7所示之可测距离DE.

其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了.