阿基米德三角形性质在解圆锥曲线题中的应用

曹彩霞

过任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点.那么△PAB称作阿基米德三角形.该三角形满足以下性质：（1）P点必在抛物线的准线上;（2）△PAB为直角三角形，且角P为直角;（3）PF⊥AB（即符合射影定理）;（4）P必在与该焦点所对应的准线上.阿基米德三角形的性质较多，因此同学们要充分理解其性质，并在解题的过程中合理运用，这有助于提升解答圆锥曲线问题的效率.

一、在解答定点问题中的应用

定点问题是圆锥曲线中的常考题型，解答该类题型的一般思路是，运用坐标表示出点的位置，并根据题干中的隱藏信息建立与点坐标有关的函数关系式，如此便可以将原问题转化为函数问题.从整体来看，利用该思路解题的难度不大，但是如何快速准确地确定函数关系式成了首先要面对的难题，此时运用阿基米德三角形的相关性质可以帮助我们快速建立函数关系.

例1.如图1所示，椭圆 ： 的左焦点为 、右焦点为 ，离心率 ，过 的直线交椭圆于 两点，且 的周长为8.（1）求椭圆 的方程;（2）设直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，试探究在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆横过点 ？若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）略;（2）由（1）得椭圆的方程为 ，其焦点 .根据阿基米德三角形中的第3个性质可得，若圆锥曲线的动弦 过其焦点 ，则 .设 ，联立方程组可得 ，消去 得 ，解得 .又因为 ，所以 ，所以 .又因为 在 上，所以 ，因此 ， ，所以  .因此存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 .

其实，解答上述例题的方法有很多，但是答题思路是一致的.合理运用阿基米德三角形的性质，可以快速确定函数关系式，从而确定点 的坐标，证明结论.

二、在解答面积问题中的应用

由于圆锥曲线中的焦点较为特殊，导致过焦点的三角形也具有十分特殊的性质，因此我们若能正确把握三角形的特点，运用阿基米德三角形的性质，其面积问题也就迎刃而解了.

例2.如图2，已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上的两动点，且 ，过  两点分别作抛物线的切线，设其交点为 .（1）证明 为定值;（2）设 的面积为 ，写出 的表达式，并求 的最小值.

解析：（1）略;（2）由（1）可知，在 中，由阿基米德三角形的第3个性质得 ，因而 .根据抛物线的定义可得 ，

于是

所以 ，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为4.

上述解法运用了阿基米德三角形的性质、抛物线的定义、基本不等式求得面积的最小值.运用阿基米德三角形的性质解题，可以大大简化计算过程，无形中降低了解题的难度.

综上，我们不难看出，阿基米德三角形的性质在解答圆锥曲线问题中应用广泛.在解题时，同学们若能灵活运用阿基米德三角形的相关性质，可以给解题带来很大的帮助.

（作者单位：江苏省海门市四甲中学）